Solution pseudo-conoïde. — Abandonnons le cas théorique

où la pesanteur est nulle ; nous allons montrer que, sans faire cette hypothèse, ou peut construire une solution ayant beaucoup d'analogie avec la solution conoïde. On sait que Ton détermine une solution par deux caractéristiques de systèmes opposés ; donnons-nous une caractéristique ordinaire BM (fig. 101) que nous supposerons du premier système pour fixer les idées' ; donnons-nous ensuite une caractéristique BK du second système et choisissons pour cette dernière une courbe forte courbure, à de telle sorte Mg. iOL que la fonction tt varie d'une manière appré-

ciable sur une longueur très petite de la courbe. Les caractéristiques du premier système forment avec la caractéristique BK des angles égaux à 2tt ; on obtiendra donc des courbes EN, GP, KQ, qui divergeront en s'éloignant de BK. Les pressions sur Tare BK doivent satisfaire à l'équation

op = — 2p tang cp ht -\- Il dy^.

Si la courbure de BK est assez grande, nous pourrons négliger le dernier terme de cette équation et écrire :

iSjD « — 2 jD tang ^ Sw, — 2 (M — u^ tang «

Faisons décroître indéfiniment la longueur de l'arc BK en lui conservant une courbure totale finie ; la caractéristique se réduirîi en un point et la formule précédente sera rigoureusement exacte. Soit A ce point limite de BK ; ce point est un foyer des caractéristiques du premier système ; il est la projection d'une caractéristique que l'on forme en associant les valeurs de jy et de w qui satisfont à l'équation précédente ; à chaque système de valeurs correspond une caractéristique du premier système qui émerge du point A. Si, dans les environs du point A, on néglige l'influence du poids des terres et si on remplace AB par sa tangente en A, on retrouve la solution conoïde ; dans la solution qui nous occupe, les droites sont remplacées par des lignes courbes. Si l'on porte les fonctions p et u en ordonnées perpendiculaires au plan, la caractéristique A est représentée par deux droites, projetées en A, qui font partie des surfaces qui représentent les fonctions/? et u. Les caractéristiques du premier système rencontrent ces droites qui jouent le rôle de directrices ; c'est ce qui explique le nom de solution pseudo-oonoïde.

On peut construire la solution pseudo-conoïde par la méthode générale. On donne les caractéristiques AB et A de systèmes opposés ; on construit les courbes correspondantes de l'épure des pressions ; la caractéristique A a pour correspondante une spirale logarithmique. Choisissons deux segments suffisamment petits AB et AC de ces deux caractéristiques ; on trouvera le point E, situé à l'intersection des caractéristiques CE et BE, en appliquant la méthode ordinaire ; la seule particularité qu'il y a à remarquer est que le quadrangle ABEC est représenté par un triangle en projection sur

loplan. On détermine siicoessiveiiiont les points G, K puis M, N, P, Q et ainsi de suite.

Si Ton prt^nd AB assez petit, ou pourra remplacer les arcs f\in partent du point A par leurs tangentes et construire la solution cono'ide comme solution approchée, mais on obtiendra une plus grande approximation en remplaçant Ciis arcs par leurs cercles de courbure. Nous allons montrer que l'on peut déterminer les courbures de ces arcs au point A, si Ton connaît la courbure de Tun d'eux. A cet effet, reprenons l'équation (34) qui donne la variation de la courbure c de la caractéristique du premier système le long d'une caractéristique du second système. Nous appliquerons cette équation en suivant la caractéristique projetée en A ; nous devons alors poser :

nous obtenons

de p — -^ + pc tan^' tt- — n cos (u + a) =- 0.

dit '

Divisons par p et remplaçons p par la valeur écrite plus haut, nous obtenons Téquation linéaire

de n 2 in — H.) tang cd.

-T— + e tang cp =-= — cos iu + n) e ^ ®

du ' ' p.

L'intégrale de l'équation sans second membre est

— (u. — ?/.„) tang c c =^ V e

L'équation proposée devient alors

dv n . , . •'^ 0^' — ^*o) t^"«' ?

-T — ^- — cos (u -\- a) e ■ du p„ ^ '

On trouve, en intégrant deux fois par parties.

, n sin (u 4- a) + 3 tang© cos in + a) 3 (u. — nj tang et. ^ p. 1+9 tang'cf.

Nous simplifierons cette formule en posant :

tang oi = 3 tang o

sin {ic + r,) cosw

il vient alors :

^{u— u^) tang '^

h ^-^ /îï. „ — 2 (m — !«,) taug v \ (60)

On peut construire les différents rayons de courbure» de la manière suivante. Les hauteurs h sont représentées par l'épure des pressions ; on construit facilement h\ La constante a est dét(U*minée par le rayon de courbure r^ de la courbe AB, rayon de courbure que nous supposons connu ; on a

On construit la spirale logarithmique :

on a alors :

{u — iCo) tang 3p

On peut construire /•', et ;• en utilisant les propriétés de la division harmonique.

Ayant tracé les cercles de courbure qui remplacent les courbes AE, AG, AK, ou construit facilement la caractéristique BEGK ; (»n peut alors déterminer de deux manières les pressions sur cette caractéristique, ce qui permet d'apprécier les erreurs commises.

On peut encore simplifier les opérations de la manière suivante.- Soient : Sq la longueur de l'arc AB, s la longueur de Tare AK d'une caracîtéristique quelconque ; on peut admettre comme première approximation que 5 est le même que dans la solution conoïde, et «îcrire

Appelons So et £ les courbures totales de Tare A B et de Tare A K ; on a :

r ' En remplaçant ^ et r par leurs valeurs, on trouve

On détermine la nouvelle constante ? en appliquant ré(iuation à. Tare AB.

Connaissant les courbures des arcs AE, AG, AK, on peut construire ces arcs en les remplaçant par deux tangentes et en prenant la moitié de s pour la longueur de la première tangente. Soit II l'angle qui détermine la première tangente de lare AK ; la seconde tangente est déterminée par Tangle

Construisons un triangle rectangle sur ,v comme côté, en prenant K comme second côté ; le rayon de l'épure des pressions perpendiculaires à l'hypothénuse de ce triangle déterminera l'angle

il suffira d'ajouter un ani^le constant pour obtenir la direction de la tangente au point K.

§ 8. DISCONTINUITÉS FIMES.

158. Surface de discontinuité finie. — Nous avons déjà annoncé (126) qu'il peut exister, dans un massif en équilibre limite, une surface de discontinuité finie, c'est-à-dire une surface telle, qu'en la

traversant, les fonctions p et u subissent des accroissements finis. Considérons la surface projetée sur la ligne MN (flg.

102) ; nous supposons l'état d'équilibre à gauche de NM complètement déterminé ; ainsi au point N les pressions sont représentées par l'épure circulaire ; le point o est le pôle des facettes ; la pression sur la face NM est représentée par SA. Nous pouvons renverser la question et dire : donnonsnous les pressions P sur la surface MN et les angles i que forment ces pressions avec les normales à la surface, et cherchons la solution d'équilibre.

Pour construire l'épure circulaire relative au point N, nous construirons l'angle i en CSA et alors nous obtiendrons deux solutions. Nous retrouverons la solution déjà supposée à gauche de NM en supposant que la pression P est représentée par SA ; mais nous trouverons une seconde solution en supposant que cette même pression est représentée par SB ; nous trouverons le nouveau pôle o' des facettes en menant Bo' parallèlement à la facette MN. Si nous iuloptons cette seconde solution tout le long de MN, nous pouvons construire un nouvel état d'équilibre et supposer que cet état d'équilibre existe à droite de NM. L'ensemble des deux solutions forme évidemment un état d'équilibre du mîissif, car il y a équilibre à gauche et à droite de la ligne MN et sur cette ligne on trouve, des deux côtés, des pressions égîUes et de directions opposées.

Traçons les caractéristiques qui passent par N en utilisant l'épure circulaire et en évitant de prolonger la caractéristique relative à une solution dans la région occupée par l'autre solution ; nous trouvons

Fig, 102.

NG et NE pour la première solution, NF et NH pour la seconde solution. Ou voit que les caractéristiciues du second système se coupent en N et s'y arrêtent sans pouvoir être prolongées vers le bas, tandis que la caractéristique du premier système traverse en descendant la ligne de discontinuité et y subit une déviation angulaire

ùiu= oDo',

En même temps, la pression subit un accroissement fini et passe de p à p\ Dans la première solution, qui correspond au pôle o, la pression V sur la face NM est représentée par SA et là pression p pur SI) ; ou a donc