OU

M. Boussinesq a pris comme fonctions inconnues les coordonnées x^, y, d'un point quelconque du plan par rapport aux axes X, oy, (fig. 100) déterminés par la condition

Fig. WO.

XOX^ ^= U.

11 est facile d'exprimer les anciennes coordonnées x et y au moyen des nouvelles variables x, et y, ; on trouve les nouvelles', équations des caractéristiques après quelques calculs. Nous arriverons inimédiatement à ces équations de la manière suivante. L'élément A B de la première caractéristique, déterminé par ses projections dy et dx, se compose de l'élément A B' déterminé par les projections dy, et

(i) Comptes-rendus de l'Arad^^niie des Sciences de Paris, tome xwiii, p. 757.

dœ^ et du déplacement A k.' dû à la rotation du des axes œ^ y, ; cet élément A B fait un angle — a avec l'axe oœ^ ; on a donc :

fii/t H- x^ du dx, — y, du

=-= — tang a.

Eu exprimant que rélément de la seconde caractéristique fait Taugle + a avec ox,, on trouve de la même manière :

'^Vi + ^A àtt

ox

Eu exprimant les différentielles au moyen des dérivées partielles et en tenant compte des équations différentielles en u et v, on trouve les deux équations :

rjtl

or

'jy.

fox.

+ tang a [ -sr.^ +

oxt

— -7- tang a

rjH

rjX^ rjV y

àv

= y, tang a — x,.

— y. tang a — x,

En ajoutant, puis en soustrayant ces équations, ou obtient :

oy, ox,

—--(-tang a - — =

rjU QV

rjy, r,X^

+ tang a -; — « y, tang a. .

ov

ou

Ces équations sont linéaires à coefficients constants; on peut exprimer les fonctions inconnues par des intégrales définies.