EK « AB

La charge maxiina par mètre courant est donc donnée par la formule

Prenons, par exemple :

n = 1700 kgs, i = 3 métrés ; on obtient

p = 30.6 tonnes.

Les plus fortes locomotives sont encore loin de donner une charge aussi considérable ; il est vrai que cette charge provoque Téboulement des talus à une certaine distance de la plate-forme.

188. Autre construction. — La méthode que nous avons appliquée dans le numéro précédent, pour construire la solution conique EAM, est, en définitive, une méthode par approximation successive ; nous avons expliqué au numéro 123 comment il se fait que les différentes caractéristiques que l'on construit successivement, deviennent de plus en plus exactes. Nous pouvons opérer d'une autre manière. La solution conique est déterminée par deux équations différentielles ordinaires ; connaissant les valeurs initiales des fonctions inconnues, on peut construire la solution par différents procédés ; nous avons indiqué, au numéro 135, un moyen très simple de construire la caractéristique de Tun ou Tautre système ; nous avons déjà appliqué cette méthode aux numéros 181 et 182. Dans le problème que nous avons à résoudre, on ne donne pas les valeurs initiales des foiKîtions inconnues; on donne les valeurs de la fonction u sur les rayons AM et AE (fig. 121) ; ces deux conditions déterminent la solution conique, mais on ne peut pas la construire directement sans tâtonnement. On doit essayer une valeur de la pression p en un point du contour apparent : on trouvera toujours une solution à forte pression, car dans la solution linéaire, AE devient une caractéristique du premier système et les pressions sont négatives. On choisit la nappe de seconde espèce dont les caractéristiques sont concaves vers le sommet. La solution cherchée est celle qui est limitée à gauche par une caractéristique verticale. Si la pression est trop faible, la courbure totale de la caractéristique du second système sera trop petite, la caractéristique d'arrêt n'atteindra pas la position verticale ; si, au contraire, la pression est trop forte, la caractéristique d'arrêt dépassera la verticale. On construit deux fausses positions et l'on obtient la solution juste par une interpolation.

Nous allons appliquer cette méthode en prenant comme valeur d'essai la valeur de la pression au point E, obtenue par la méthode précédente et que nous portons (fig. 122) en T9, en tenant compte du changement d'échelle. Nous partons du point E avec la caractéristique du second système et du point situé aux deux tiers de AE avec la caractéristique du premier système ; nous trouvons le point 2 par la méthode générale. Nous répétons cette construction et nous trouvons les points 3 et 4. Nous partons ensuite du point 4 et du milieu de A4, nous obtenons le point 5; nous trouvons de même les points 6 et 7. Nous obtenons le point 8 en partant de 7 et du

Fig, Î22.

tiers de A7. Eafiii nous trouvons le point 9 sur la caractéristique d'arrêt en partant des points 8 et A. Il se fait que la caractéristique d'aYrèt est rigoureusement sur la verticale, de sorte que la construction du numéro précédent est aussi exacte qu'il est possible de l'exiger.

Cependant, si l'on compare la forme des deux caractéristiques du second système des figures 121 et 122, on trouve une différence assez sensible. C'est un fait que nous avons déjà constaté (123) : les erreurs commises dans la construction des caractéristiques peuvent être très apparentes sans qu'il en résulte des erreurs sensibles dans la détermination des pressions. Peut-être peut-on expliquer ce fait en remarquant que la caractéristique touche les facettes où l'angle de la pression avec la normale passe par un maximum ; dans les environs du maximum, les fonctions varient peu, donc une caractéristique grossièrement approchée peut conduire .à des résultats suf9samment exacts. Peut-être aussi est-ce pour ce motif que la méthode du prisme de plus grande poussée donne assez souvent des résultats acceptables, alors qu'elle repose sur une hypothèse manifestement erronée.

Si le point 9 ne s'était pas trouvé rigoureusement sur la verticale du point A, nous aurions augmenté ou diminué la pression, nous aurions obtenu une seconde fausse position de ce point et en joignant les deux points obtenus, nous aurions trouvé la position juste sur la verticale du point A. Si, cependant, les deux fausses positions étaient trop éloignées de la position juste, il faudrait recommencer les opérations pour obtenir une exactitude sufSsante.

189. La discontinuité finie. — Nous avons dit plus haut (187) que du milieu E de la plaque active partaient deux lignes de discontinuité finie. Nous allons indiquer comment on construit ces lignes. L'épure qui conduit à ce but est représentée sur la figure 123 ; nous décrirons d'abord les difiérentes parties de cette épure; nous expliquerons ensuite les détails de construction.

Le demi-profil du remblai est représenté en EAC ; les deux lignes de discontinuité sont évidemment symétriques par rapport à la verticale EL. Celle de gauche est indiquée par les chiffres 1 à 11 ; on voit sous cette courbe les caractéristiques de la solution intermédiaire ; les caractéristiques du premier système partent de la ligne de discontinuité pour venir rencontrer l'axe de symétrie vers lequel elles tournent leurs concavités, elles sont indiquées par les chiffres 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12 ; les caractéristiques du second système sont indiquées par les lettres B, D, F,G, H. On voit ensuite la courbe d'éboulement CC qui commence à l'intersection du talus et de la ligne de discontinuité.

L*épure circulaire occupe la partie supérieurede la flgure ; on voit au-dessus de Tépure des pressions dont le pôle est T. 14a courbe X

Fig. 123.

est la courbe (p, te) relative à la caractéristique du second système qui passerait par E si la solution conique n'était pas interrompue

par la discontinuité ; cette courbe {p, u) est la courbe de la figure 122, mais uous avQUs dû diminuer Téchelle des pressions en réduisant le poids spécifique à un quart. Un peu au-dessus de la courbe X, on voit la courbe Y; c'est la courbe des valeurs (p^u) dans la solution conique le long de la ligne de discontinuité. On voit ensuite à gauche et au-dessous la courbe Z ; c'est la courbe des valeurs {p\ u') dans la solution intermédiaire le long de cette même ligne de discontinuité. Enfin on voit à droite de la courbe Z les courbes (p, u) qui correspondent aux caractéristiques de la solution intermédiaire ; les courbes correspondantes sont indiquées par les mêmes nptations ; les courbes 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, correspondent aux caractéristiques du premier système; les courbes B, H, K, F, G, correspondent aux caractéristiques du second système. Nous avons dû représenter une partie de répure des pressions à une échelle quatre fois plus grande que l'ensemble.

Expliquons maintenant les différentes construolions. Le premier problème à résoudre est de déterminer, au point E, les tangentes aux lignes de discontinuité finie. Au point E de la solution conique de gauche, la caractéristique du premier système est horizontale ; le pôle des facettes est donc le point de l'épure circulaire. Dans la solution intermédiaire, il y a un axe de symétrie EL ; on peut faire deux hypothèses : supposer que cet axe est la direction de la pression maxima ou celle de la pression minima. Je dis que c'est la première hypothèse qu'il faut choisir. En effet, si la pression minima était dirigée suivant la verticale, la pression maxima serait horizontale ; il faudrait admettre que les parties inférieures du talus fussent poussées vers l'axe par des forces étrangères. On peut confirmer cette manière de voir par un autre raisonnement. Construisons un massif semblable en prenant un rapport de similitude infiniment petit et passons à la limite. La plate- forme et sa surcharge vont se réduire à zéro ; le massif est alors compris entre deux talus naturels ; on trouve une solution conique comprise entre les deux talus qui forment deux caractéristiques de systèmes opposés ; dans cette solution, on reconnaît facilement que l'axe de symétrie est la direction des pressions maxima. Il faut donc admettre qu'en s'éloignan,t à l'infini sur l'axe de symétrie, la pression maxima est dirigée suivant cet axe ; il doit en être de même au point E. Nous prenons donc au point E, dans la solution intermédiaire, EL comme, direction de la pression maxima ; cela revient à dire que le pôle des facettes est le point 0' et non le point 0", Nous trouverons alors la direction de la ligne de discontinuité par la construction connue (159) ; joignons les pôles et 0' ; traçons du centre I une circonférence qui

touche la cordé 00' ; menons la tangente SMN à cette circonférence ; les droites parallèles ON et OM donnent la direction cherchée. On recounait que la discontinuité a une importance considérable : la pression varie dans le rapport

p SN

l'angle At^ qui représente la déviation des caractéristiques est le supplément de Tangle OTO' ; c'est la moitié de l'angle mesuré par Tare 00'. On trouve donc une solution intermédiaire à pressions très fortes et c'est ce qui explique l'éboulement des talus.

La discontinuité au point E est une discontinuité double, mais grâce à l'axe de symétrie EL, le problème à résoudre n'est pas plus difficile que s'il s'agissait d'une discontinuité simple. On peut l'énoncer comme il suit: construire une solution s'appuyant sur la solution conique par une ligne de discontinuité et admettant la droite EL comme ligne des pressions maxima. Nous construisons la ligne de discontinuité par la méthode des fausses positions. Donnonsnous arbitrairement l'arc E6; le rayon A6 coupe la caractéristique de la solution conique en un point où l'on connaît la pression ; elle est représentée par le rayon T6 de la courbe X ; on en déduit la pression au point 6 par une quatrième proportionnelle ; elle est représentée par le rayon T6 de la courbe Y. Le pôle des facettes est situé sur la circonférence de l'épure circulaire et sur le prolongement du rayon T6. Nous nous donnons la tangente au point 6 de la ligne de discontinuité ; en menant une parallèle à cette tangente par le pôle des facettes, on trouve la pression SVI sur la ligne de discontinuité et le nouveau pôle 6' dans la solution intermédiaire. Nous pouvons alors tracer la caractéristique B du point 6 jusqu'à l'axe de symétrie, car nous connaissons les directions des tangentes extrêmes : ce sont les droites qui joignent les pôles 6' et 0' au point T'. Nous pouvons ensuite tracer la caractéristique du premier système qui coupe l'axe de symétrie sur la courbe B et la ligne de discontinuité en un certain point 3. On applique au point 3 la construction relative à la discontinuité ; on obtient les deux pôles 3 et 3'. Partant de ce point 3, nous pouvons construire les courbes (p, v) relatives aux deux arcs de caractéristiques qui joignent le point 3 au point 6 en passant par l'axe de symétrie ; on doit retrouver au point 6 la même pression jo' que celle que l'on a obtenue par la discontinuité. Avant d'arriver à cette coïncidence, il faut naturellement quelques çssais. Dans la solution conique, la pression p décroît assez rapidement du

point '3 au point 6 ; ou doit trouver également une décroissance rapide de la pression dans la solution intermédiaire. On n'obtient pas cette décroissance en donnant à la ligne de discontinuité une faible courbure. On se rapproche du but en donnant à Aw une valeur constante, ce qui revient à donner à la ligne de discontinuité la même courbure totale qu'à la caractéristique, pour des arcs compris entre les mêmes rayons passant par le sommet ; mais les pressions décroissent trop vite dans la solution intermédiaire. On en conclut que A?f décroit assez lentement et que, dans la construction relative h la discontinuité, la droite SN tourne de SN à SVI. La fausse position consiste à se donner le point VI ou la direction 6VI de la discontinuité au point G ; on trouve les autres tangentes par une interpolation. Deux essais conduisent à un résultat suffisamment exact. On pourrait cependant obtenir une exactitude plus grande en partant, par exemple, du point 3 au lieu du point 6, de manière à rester dans la région voisine de E. Il faut alors dresser une épure à une plus grande échelle. On peut, par exemple, représenter les environs du point E à nue échelle cinq fois plus grande ; Tépure des pressions ne sera pas changée si Ton réduit le poids spécifique à un vingtième. On reconnaît alors que l'influence du poids spécifique est insensible ; les courbes (p, u) deviennent des spirales et Ton trouve facilement la discontinuité au point 3 ; on peut alors continuer. Ayant obtenu la caractéristique B, on trace la caractéristique 4, ce qui donne un point sur B et un point sur Taxe de symétrie ; on trace la caractéristique 4 jusqu'à la rencontre de la caractéristique 6. On part d'un point de cette dernière caractéristique pour tracer la caractéristique D qui rencontre la ligne de discontinuité au point 8. On trouve la position juste de cepoint 8 par deux fausses positions. On trouve de môme la caractéristique F qui aboutit au point 10 ; on construit la caractéristique 10, puis la caractéristique G qui aboutit au point 11 et la caractéristique 11. Arrivé au point 11, il n'y a plus de doute possible, la ligne de discontinuité atteindra le talus.

La première idée qui se présente à l'esprit est de prolonger la ligne de discontinuité d'après la courbure de la partie obtenue ; on trouve alors une ligne faisant avec le talus CA un angle aigu. Je dis, qu'au contraire, la ligne de discontinuité doit prendre une courbure croissante et couper le talus naturel en G en se raccordant avec la caractéristique verticale. En eflfet, nous pouvons toujours isoler un volume infiniment petit dans les environs du point d'intersection du talus et de la ligne de discontinuité et construire la limite relative de ce volume. La ligne de discontinuité deviendra la droite CB (flg.124); cette droite de discontinuité engendrera une solution àcaractéristiques

convexes vers le sommet C. Cette solution n'a pas de caractéristiques

passant par C ; elle est limitée à gauche par un contour apparent.Blle ne peut donc être reliée à la solution qui dépend de la courbe d'éboulement que par une ligne de discontinuité CE.

^ Cette dernière solution devient linéaire aux limites relatives.

Donc la ligne de discontinuité CE s'obtient en cherchant la seconde discontinuité qui engendre une nouvelle solution linéaire. La caractéristique du second système a la forme FBEH. Cette disposition n'est pas réalisable dans les environs du point C de la âgure 123 ; les caractéristiques ne forment pas un contour apparent analogue à celui de la figure 124 ; on ne voit pas non plus comment les caractéristiques du second système pourraient aborder la discontinuité nouvelle suivant une direction HE. Il n'y a dès lors qu'une solution possible, c'est que la discontinuité s'éteigne en arrivant au talus ; il faut pour cela que la ligne de discontinuité touche une caractéristique. Si l'on essaie d'infléchir la ligne de discontinuité pour la rendre tangente au talus naturel, on n'arrive pas à trouver, dans la solution intermédiaire, un point de pression nulle sur le talus ; il faut, pour réaliser cette condition, que les caractéristiques du second système qui partent des points voisins du point 11, prennent des fortes courbures vers la droite ; alors la pression diminue rapidement et l'on peut trouver une caractéristique UC qui donne en G une pression nulle. Traçons donc la ligne de discontinuité de manière qu'elle coupe le talus en C en se raccordant avec la caractéristique verticale. Menons une caractéristique CU et construisons la courbe {p, u) qui y correspond; en choisissant convenablement les points U et C, on trouve, dans l'épure des pressions, une courbe qui part de U pour toucher en T un rayon vertical ; c'est la variation rapide de l'angle u qui permet cette décroissance de la pression. Remarquons cependant que nous nous sommes contentés d'une approximation assez grossière ; pour obtenir plus d'exactitude, il faudrait dresser une épure à une échelle beaucoup plus grande, multiplier le nombre des caractéristiques et déterminer un certain nombre de points de la ligne de discontinuité entre les points 11 et C.

190. Surface d^éboulement. — Si Ton se contente d'une approximation grossière, on peut déterminer la courbe d'éboulement CG d'une manière très expéditive. En partant de la courbe 11, on peut d'abord mener les caractéristiques du second système en les supposant rectilignes ; on détermine les points où la pression est nulle ; on obtient une première ébauche de la surface libre en tenant comptdu point C. Mais il faut établir entre la surface libre et la direction des caractéristiques, la relation que donne Tépure circulaire ; on infléchit les caractéristiques et on modifie la surface libre de manière à réaliser la concordance. La caractéristique qui aboutit au pour le plus haut est presque rectiligne, de sorte que ce point est déterminé avec assez d'exactitude.

Entrece point et le point C, les caractéristiques du second système prennent une courbure de plus en plus prononcée vers la droite ; les dernières tangentes à ces caractéristiques du second système prennent des directions qui varient rapidement jusqu'à la direction CA ; la courbe d'éboulement doit venir se raccorder en C avec le talus naturel, après avoir subi une inflexion. L'échelle que nous avons adoptée ne permet pas de tracer cette partie de courbe avec beaucoup d'exactitude, d'autant plus que dans la petite courbe concave vers le haut qui se trouve près du point C, il se produit certaines complications que nous allons examiner.

Fig. 125.

lilii adoptant une ôchello suffisamment grande, nous pouvons construire ausâi exactement que nous voulons les deux caractéristiques de systèmes opposés qui partent du point U ; ces deux caractéristiques déterminent une solution que nous pouvons construire par la méthode générale. Représentons (flg. 125), à une grande échelle, un arc CM de la caractéristique CU (fig. 123) voisin du point C ; soit MK une caractéristique du premier système partant d'un point M îxssez rapproché du point G pour que la tangente en M à cette caractéristique soit plus inclinée que le premier talus naturel. Suivons la caractéristique MK et appliquons l'équation

dp -■ 2p tang ^ du -\- VLdy , \

les deux termes du second membre sont négatifs, donc la pression diminue. En continuant à nous éloigner du point M, nous trouverons d'abord une tangente ayant l'inchnaison du talu^ naturel, et l'on aura en ce point

dy,^0\

nous trouverons ensuite un point où la pression passe par un minimum, quand nous aurons

dp =0, ou bien

n dy^ == — 2p tang cp du.

Construisons une nouvelle caractéristique du premier système, en partant d'un point B de plus en plus rapproché du point C ; la pression enB diminue jusqu'à zéro en s'approchant du point G; on trouvera donc une caractéristique BD telle que la pression mini ma soit égale à zéro ; soit D le point où l'on trouve cette pression minima ; on aura en ce point

rfp =- 0; on en déduit :

rfy. — 0;

c'est-à-dire que la caractéristique a une tangente parallèle au premier talus naturel. Les deux caractéristiques BC et BD possèdent donc les mêmes propriétés ; les pressions sont nulles en D et en C et les tangentes en ces points sont respectivement parallèles au premier et au second talus naturel. En construisant la solution déterminée

p<'ir cas deux caractéristiques, il se peut que Tou trouve une surface libre; cette solution n'est pas impossible, mais je dis qu'elle est infiniment peu probable. En effet, connaissant la caractéristique HC et faisant abstraction de BD, on peut construire une courbe d'éboulement par la méthode ordinaire ; il est infiniment peu probable que, dans cette solution complètement déterminée par BC, on trouve précisément la caractéristique BD ; on trouvera une caractéristique touchant la courbe BD au point B, mais dont la courbure sera plus ou moins grande. Il faut donc admettre qu'en construisant la solution CBD, on trouvera un contour apparent et non une surface libre.

Le cas d'une surface libre est cependant possible, d'autant plus que les courbes BC et BD résultent d'une construction qui ne comporte pas de fonctions arbitraires ; ces courbes pourraient i)osséder cette propriété intéressante de dépendre d'une surface libre, mais on nejvoit pas la possibilité de démontrer l'existence ou la fausseté de cette propriété. Nous examinerons les difTérents cas. Nous supposons d'abord que la solution CBD est limitée à une surface libre ; on trouvera cette surface libre en construisant la solution, mais il est facile de voir que du point C au point B, le pôle des facettes se déplace du point T' au point T et que la direction de la tangente à la surface libre varie de STf h ST. Le profil de cette surface est une courbe concave vers le haut dont les tangentes extrêmes sont parallèles aux deux talus naturels. Prolongeons alors la caractéristique BD au-delà du point D en DE ; la caractéristique DE détermine une courbe d'éboulement que l'on peut construire avec autant d'exactitude que l'on veut ; nous avons vu plus haut quelle est la forme de cette courbe ; le pôle des facettes décrit l'arc TV pour revenir en T' à l'infini. On remarquera que, sous la courbe CD, on a l'état d'équilibre qui correspond à la poussée des terres, tandis qu'au-delà du point D, on a l'état d'équilibre qui correspond à la butée des terres ; au point de passage, la tangente à la courbe deboulement est une ^^tangente inflexionnelle parallèle au premier talus naturel.

Reprenons maintenant le cas le plus probable, celui où la solution CBD présente un contour apparent. Nous pouvons encore réaliser les solutions déjà construites ; il suffit de couper la solution DBC par une ligne quelconque passant sous le contour apparent, et de produire artificiellement sur cette courbe les pressions qui conviennent à la solution calculée. Or, ces pressions sont excessivement petites et doivent être appliquées sur une étendue excessivement petite ; si nous les supprimons, l'équilibre sera rompu, la courbe d'éboulement sera modifiée, mais il parait évident que <5ette

modification sera très peu sensible et qu'on pourrait même la négliger. Nous devons cependant montrer comment on pourrait résoudre exactement le problème.

En construisant la solution CBD, nous trouvons un contour apparent qui prend naissance au point C ; nous sommes conduit à remplacer ce contour apparent par une ligne de discontinuité finie qui prend naissance également au point C. Cette ligne touchera la caractéristique du second système ou le talus naturel en GVt nous construirons une nouvelle solution satisfaisant aux deux conditions suivantes : 1** elle présente une surface libre, 2** elle s'appuie par une ligne de discontinuité sur la solution TCBD qui est complètement connue. La construction de cette nouvelle solution ne présente aucune difficulté ; on trouve successivement un arc de la courbe libre et, en suivant les caractéristiques du premier système, un arc de la ligne de discontinuité. Cette ligne enlève une partie des solutions construites antérieurement pour la remplacer pair une autre, mais les considérations qui précèdent font prévoir que cette solution nouvelle occupera un espace très réduit dans le cas qui nous occupe. Il est donc vraisemblable que la ligne de discontinuité restera dans le voisinage de la surface libre ; elle pourrait même se confondre avec la surface libre et Ton retrouverait le cas particulier où il n'y a ni contour apparent ni discontinuité.

Il faut évidemment dresser l'épure pour obtenir des résultats certains sur la propagation de la discontinuité. Nous nous contenterons de donner quelques prévisions. Il peut se faire, et cela parait même inévitable dans le cas qui nous occupe, que la ligne de discontinuité touche une caractéristique du premier système en un certain point F ; dans ce cas, la discontinuité s'éteint en F ; on trouve dans la nouvelle solution une caractéristique du premier système qui se raccorde à la caractéristique FK ; cette caractéristique détermine la nouvelle courbe d'éboulement. Le point F pourrait s'éloigner à l'infini ; la discontinuité s'éteindrait insensil»lement. La ligne de discontinuité peut toucher la caractéristique BD au point D ; l'ancienne courbe d'éboulement subsiste alors au-delà du point D. Ënân la ligne de discontinuité pourrait atteindre la surface libre en deçà du point D ; on reconnaît alors que la ligne de discontinuité se continue par un ou plusieurs ou une infinité de ricochets sur la surface libre.

On peut, comme contrôle, renverser l'énoncé du problème. On donne la surface libre qui vient d'être calculée ; on demande l'état d'équilibre. On ne retrouve pas les deux discontinuités du point C, si l'on n'ajoute pas une nouvelle condition ; cette condition, c'est que la solution linéaire est imposée sous le talus CA. Il y a alors conflit au

point Centre les deux solutions ; c'est pour résoudre ce conflit qu'il nait au point C une discontinuité double.

191. Singularités. — Nous avons rencontré des points tels que les points D et C de la figure 125 où la pression est nulle et où les tangentes aux caractéristiques ont l'inclinaison des talus naturels. Considérons l'un de ces points, le point D, par exemple, et étudions rétat d'équilibre dans les environs de ce point. Prenons comme axe des X le talus naturel passant par D et comme axe des y la perpendiculaire menée à cet axe par le même point D. Soient r le rayon de courbure de la caractéristique DB au point D, s l'angle de la tangente avec Taxe des œ en un point voisin ; nous considérerons c comme une petite quantité du premier ordre et nous ne tiendrons compte, dans les calculs qui vont suivre, que des termes les plus importants. On peut mettre approximativement l'équation de la caractéristique DB sous la forme

la pression est donnée approximativement par la formule

p^Uy ; on a, en un point de la courbe,

Appliquons l* équation (36) du numéro 114 qui donne la variation du rayon de courbure de l'autre caractéristique ; on trouve, à l'approximation admise

d\^ 2p 2cos <p P' ^

di f^ r e cos f

l'intégration donne

4 cos<p

[l — \/7 tanglogCe],

En faisant converger e vers zéro, le rayon de courbure oscille entre les deux infinis et ces oscillations deviennent de plus en plus rapides.

Les caractéristiques présentent donc des singularités très

compliquées, impossibles à réaliser dans un état d'équilibre, à

moins qu'une ligne de discontinuité à une infinité de ricochets

n'enlèvent ces singularités. Remarquons qu'il y a une certaine

analogie entre ces singularités et celles que nous avons constatées

dans les solutions coniques lorsque la caractéristique d'arrêt fait un

angle très petit avec le talus naturel de même espèce : c'est

alors que l'on peut obtenir des solutions à nappes très nombreuses.

Ces singularités ne se produisent pas dans le cas de la figure 125,

car nous supposons que l'on a construit les caractéristiques BC et BD

sans engendrer un contour apparent en dehors de l'angle CBD ; il

faut donc admettre que le calcul qui précède n'est pas applicable

et que le rayon de courbure r cesse d'être une quantité finie.

Effectivement, ces singularités disparaissent si le rayon de courbure

de la caractéristique BD s'annule en même temps que la pression.

Prenons, par exemple :

on obtient :

niz*

et l'équation en p devient :

l'intégration donne :

dt

3 cos <p p*

lie .

3 cos 9

On peut alors trouver, à droite de DB, une surface libre ; mais le profil obtenu est en réalité un contour apparent ; on trouve une solution qui correspond à la poussée des terres ; il y en a une autre qui correspond à la butée ; le profil est donc une arête saillante formant contour apparent. Si on se donne une seconde caractéristique BC, on modifie les pressions et l'arête saillante devient un contour apparent ordinaire.

192. Equilib7*e limite, — La charge que nous avons calculée au numéro 187 provoque l'éboulement des talus ; on peut demander de déterminer la charge maxima que le remblai peut supporter sans aucun éboulement.

Nous pouvons construire, sur la verticale AM (fig. 12(5), une infinité de solutions oniques. La plus simple est celle pour laquelle la pression est normale à la plaque. Dans ce cas, il n'y a plus de

discontinuité finie au point E; la caractéristique EMX et sa symétrique sont de systèmes opposés et déterminent une solution continue.

Fig. 126.

On trouve très facilenuMit la pression en E en remplaçant l'arc ME par deux tangentes égales. Le diagramme des pressions normales est le triangle AKB. On trouve la charge :

P -=no.8i l\

Prenons encore

II = 1700 kilogs, / = 3 mètres ;

on obtient :