tonnes

Entre les deux états d'équilibre que nous avons trouvés, il y en a une infinité d'autres. On peut admettre en E une discontinuité croissant de zéro à la valeur obtenue dans la figure 123. La ligne de discontinuité variera depuis la caractéristique EMX de la figure 126 jusqu'à la ligne EC de la figure 123. Il y aura deux classes de solutions ; celles où la discontinuité se perd dans le remblai et celles où elle atteint le talus pour y provoquer une courbe d'éboulement ; la solution de passage est celle qui correspond à l'équilibre limite cherché. La détermination de cet équilibre limite est une opération assez longue, mais elle n'est pas nécessaire si l'on demande seulement si le remblai est en équilibre sous une charge donnée. Dans ce cas, ou

construit le diagramme triangulaire des pressions normales qui correspond, k la charge donnée ; on construit par tâtonnements les deux solutions coniques qui réalisent ce diagramme et Ton vérifie si la discontinuité finie se perd dans le remblai.

Il y a d'autres états d'équilibre que l'on peut examiner ; on peut abandonner le diagramme triangulaire, se donner un diagramme riuelconque des pressions normales, se donner la fonction u sous la plaque ou admettre les solutions ^coniques jusqu'à un point quelconque de l'axe de symétrie ; mais il semble que ces solutions donnent une charge moindre que le]diagramme triangulaire, et alors elles ne présentent pas d'intérêt.

193. Charge quelconque. — On peut se donner arbitrairement la ligne d'action de la force qui sollicite la plaque fictive, pourvu qu'elle forme avec la verticale un angle plus petit que l'angle du frottement des terres. En faisant croître la force à partir de zéro, il arrivera un moment où l'éboulement commencera ; on obtiendra un équilibre limite. Comme la ligne d'action de la force dépend de deux paramètres, il y a une infinité double d'états d'équilibre limite. Occuponsnous d'abord de l'équilibre du massif supérieur et supposons que les terres glissent sous la plaque ; divisons la largeur de la plaque en trois segments : un segment AD (fig. 127) où la pression sera nulle.

Fig. 127.

un segment DE où les terres glisseront vers la gauche, un segment EB où les terres glisseront vers la droite. En déplaçant les points D et E, on obtiendra l'infinité double des états d'équilibre. La butée des terres sur le segment EB s'obtient par une solution coniquej;;ia butée des terres sur DE s'obtient par une solution qui n'est conique que sur une certaine étendue. On construit les solutions linéaires AHD et MAC ; on les relie par une solution Sjntermédiaire comprise entre deux lignes de discontinuité finie, puis on construit une solution sur le contour apparent DE et la caractéristique du premier système qui part du point D ; cette dernière caractéristique comprend une partie do la droite DH, une courbe convexe vers le point A et une verticale.

On peut représenter une force située dans un plan par son moment linéaire autour d'un point fixe pris en dehors du plan ; en représentant de cette manière toutes les forces limites, on obtiendra une surface qui représentera l'ensemble de tous les états d'équilibre limite. Mais on peut se borner <à chercher la force limite pour une ligne d'action donnée ; on y arrive de la manière suivante. On peut toujours imaginer un massif semblable au massif donné; on peut alors prendre AD arbitrairement et construire le diagramme DF des pressions normales sous le segment DE ; on choisit une fausse position du point E et je dis qu'on peut construire le segment EB et le diagramme KB des pressions sous ce segment. En effet, la force totale P est la résultante de la pression R sur DE et de la pression S sur EB ; les directions de ces trois forces étant connues, on détermine immédiatement leurs rapports. La direction de la droite BK est connue par la solution conique dont le sommet est B ; on détermine EB par la condition :

DEF EKB

Par une double intégration graphique du diagramme des pressions, on trouvera le point d'application de la charge. On amènera ce point dans la position juste en déplaçant le point E. Il faut alors vérifier que la discontinuité en E est possible et en déterminer la propagation.

On peut aussi chercher les solutions où la discontinuité dupointEest (fig. 128) réduite à zéro. Les pressions sur les deux segments DE et EB doivent alors avoir la même direction ; cette direction est celle de la charge. Il y a encore une infinité double d'états d'équilibre, car on

peut faire varier le segment AI) et la direction des pressions. Si l'on donne la ligne d'action de la force, on peut trouver l'état d'équilibre limite par une méthode analogue à celle que que nous avons exposée plus haut. On imagine un massif semblable, on se donne AD, on construit le diagramme DEF des pressions normales. On choisit une

fausse position du point E, on construit le diagramme EFB en menant FB suivant une direction connue par la solution conique qui régne sous EB ; on détermine le centre de la charge et on l'amène dans une position juste en faisant varier le point E.

Enfin ou peut demander si le remblai est en équilibre sous l'action d'une force plus grande, complètement connue. On se donne les directions des pressions sur les segments DE et EB (flg. 127), et Ton cherche la force maxima par les mêmes opérations que celles que nous avons faites dans le cas du glissement des terres sous la plaque. En faisant varier les directions des pressions, on obtiendra une force maxima égale à la force donnée. On vérifie si la discontinuité se perd dans le remblai. Il y a une certaine indétermination, puisqu'on dispose de deux directions pour réaliser une condition. On pourrait aussi supposer que la fonction u varie d'après une loi quelconque sous la plaque, et trouver encore d'autes solutions.

194. Influence du sol inférieur. Supposons que le remblai repose sur un sol de même nature. Soient CD (flg. 129) le terrain naturel, CA l'un des talus du remblai. La droite CD commande uue solution linéaire DCP' ; la droite CA est une caractéristique du premier système ; on construit une solution conique de sommet sur les deux caractéristiques CA et CF de systèmes opposés. On trouve alors une caractéristique AM curviligne passant

Fig. 129

pai" le point A et c'est cette caractéristique que Ton introduit dans la dêlermination des pressions sous la plaque. On trouve des pressions plus grandes que dans le cas où cette caractéristique est verticale. Si le point C s'éloigne à l'infini, on retrouve la cara'^téristique verticale.

On peut aussi supposer un sol ayant un coefldcient de frottement

plus considérable que le remblai ; on détermine les pressions sous la surface CM du sol et Ton calcule les fonctions (p, te) au-dessus de cette surface en tenant compte du changement du coefficient de frottement.

Enfin, on peut supposer un sol solide ; on prend alors CM comme contour apparent ; on trouve la caractéristique AM', les pressions sont encore plus fortes que dans les cas précédents.

195. Problème de la plaque horizontale enfoncée dans un talus. — Dans les murs de soutènement ordinaires, on fait équilibre à la poussée des terres, en construisant des murs de grand poids ; certains constructeurs ont cherché des combinaisons qui tendent à équilibrer la poussée des terres par la résistance de la terre ellemême. L'une de ces combinaisons est la suivante : on établit (flg. 130) une paroi rigide ED fixée, à sa partie inférieure, sur une fondation invariable ; cette paroi est articulée à une plaque horizontale CB engagée dans les terres et c'est la résistance au glissep ment de la plaque qui doit

"y^ ' maintenir la paroi ED en équilibre. On peut faire à ce y système Tobjection suivante :

/" on ne peut pas vaincre la

y ^/^ B poussée des terres en prenant

/ appui sur la terre qui pousse.

y"^ Aussi les inventeurs disent :

y menons le talus naturel DA ;

Pig. 130. au-delà de ce talus naturel,

les terres ne poussent plus ; on peut calculer le poids des terres qui reposent sur le segment AB de la plaque et en déduire la résistance au glissement de la plaque sur les terres inférieures. Nous n'admettons pas cette division du massif, par le talus naturel, en terres qui poussent et qui ne poussent pas ; nous montrerons plus loin comment on peut déterminer complètement l'équilibre limite des terres soutenues par une construction de cette espèce ; mais il y a là un problème intéressant à résoudre ; quelle est la force de traction maxima que l'on peut appliquer à une plaque horizontale enfoncée dans un talus, sans que l'équilibre soit rompu ? Si le talus est indéfini et a l'inclinaison du talus naturel, il nous parait évident que cette force est rigoureusement nulle, car le talus naturel indéfini en hauteur est dans un état d'équilibre limite et la plus petite force dirigée vers le vide suffit pour troubler cet équilibre ; cependant, le poids qui repose sur la plaque peut être très considérable ; ce n'est donc pas en calculant le frottement dû à ce poids que nous pourrons

résoudre ce problème exactement ; la question est beaucoup compliquée. Nous généraliserons le problème en supposant deux talus de directions diflërentes et quelconques au-dessus et au-dessous de la plaque ; nous étudierons successivement Téquilibre . du massif supérieur et inférieur ; nous supposerons le talus supérieur indéfini ou limité ; enfin nous calculerons la résistance à la traction et à l'enfoncement de la plaque.