AT == A'S, AK =- A'C

la proportion qui donne P peut s'écrire

P Bff

Si l'on mène H'P perpendiculairement à SC, on construit un triangle BH'P dont les côtés sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle A'SC et Ton trouve que la pression BP satisfait à la proportion précédente.

Cependant, on peut encore trouver cette pression par une construction beaucoup plus simple. Soit AC le talus ; menons A'C ; par B menons une perpendiculaire BF au côté A'C jusqu'à la rencontre du talus ; je dis que BF représente la pression P cherchée. En effet, menons la verticale BD jusqu'au talus et exprimons l'équilibre du massif DBA ; nous trouvons ainsi que la pression totale sur AB se compose du poids du volume ABD et de la pression sur DB, pression qui est parallèle au talus. Cette décomposition s'applique aussi à la pression en B par unité de surface ; il suffit de diviser les composantes par la moitié de AB. Les deux composantes de la pression P sont alors, si on réduit le poids spécifique à l'unité : Pune composante verticale représentée par DB ; 2** une composante FD parallèle

àU talus et que nous ne connaissons pas. Mais, au lieu de déterminer cette composante, nous utilisons la propriété que la pression FB est perpendiculaire à la droite A'C et nous arrivons ainsi à la construction simple que nous avons annoncée.

On peut considérer BF comjfie la pression de la plaque sur les terres supérieures ; la pression des terres sur la plaque est FB ou BP. On peut faire varier l'inclinaison du talus et construire la courbe décrite par le point F ; on aura la représentation de toutes les pressions en B. Nous avons préféré construire la courbe décrite par le point P ; on peut déduire le point P du point F, mais on peut aussi obtenir le point P en menant A'P parallèlement au talus AF et BP perpendiculairement à la droite A'C. Si nous faisons mouvoir le point G sur la circonférence de Tépure circulaire, nous trouvons deux points de la courbe pour chaque talus. Ainsi, pour le talus AF, nous pouvons prendre le pôle G ou le pôle D ; nous trouvons les pressions BP et BP'. La pression BP' correspond à la seconde solution linéaire ; elle suppose que les terres glissent vers le haut suivant une caractéristique ; mais les points P et P' décrivent deux parties d'une même courbe analytique, car on passe de la première à la seconde solution linéaire par le changement de signe d'un radical. La courbe est symétrique par rapport à l'axe AB ; nous n'avons pas représenté la moitié de la courbe qui se trouve au-dessus de cet axe : elle correspond aux talus qui passent sous la plaque et qui, au point de vue analytique, donneraient des pressions négatives sur la plaque. Nous avons choisi les quatre talus marqués par les chifTros 1, 2, 3 et 4 ; nous avons obtenu 4 groupes de deux points ; cependant, pour le talus naturel, qui est marqué par le chiffre 1, les deux points coïncident, les deux solutions linéaires se confondent.

On peut trouver facilement l'équation de la courbe ; elle est du quatrième degré. De la construction, on peut déduire que cette courbe est unicursale, car, à un point G de la circonférence, correspond un point unique F ou P de la courbe, et la relation entre les coordonnées est algébrique ; or, la circonférence est unicursale, les coordonnées du point G peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d'un paramétre ; les coordonnées du point F ou P peuvent donc aussi s'exprimer par des fonctions rationnelles de ce même paramètre. Au point B,la courbe a un point double et les deux tangentes se confondent sur la verticale ; en effet, si le talus AF se rapproche indéfiniment de la droite AB, la droite BF devient perpendiculaire à A'A.

Pour le talus AF que nous avons considéré, la pression P fait un certain angle i avec la normale à la plaque ; la plaque est donc

poussée vers le vide, et pour la maintenir en équilibre, il faudra y appliquer une^foi'ce horizontale dont, la valeur est

V =■■= P sin i X

AB

Nous avons dit plus haut que cette valeur est une limite inférieure ; on peut le démontrer directement. En effet, si Ton diminue cette force, le massif EBA ne sera plus en équilibre et glissera vers le vide ; les secondes lignes de glisseonent fonctionnent ; le massif RBM se déforme par glissement parallèle à MB pour remplir le vide formé par le déplacement de BE ; quelques éboulements secondaires se produisent vers les points E et M.

197. Poussée maxima ou butée du rYuissif supérieur. — Supposons la plaque maintenue en équilibre par la force horizontale minima P dirigée vers les terres •; faisons croitre graduellement cette force ; il arrivera un moment où la plaque se déplacera vers les terres ; au moment* où l'équilibre est sur le point de se rompre, la force horizontale prendra une valeur H et fera équilibre à une force c<^>ntraire qui est la composante horizontale de la butée des terres. Pour obtenir cet état d'équilibre, nous devons évidemment supposer sous le talus la seconde solution linéaire où les terres tendent à glisser vers le haut suivant une caractéristique, c'est-à-dire celle qui correspond au pôle D de la figure 131. Nous avons représenté, sur la figure 132, les caractéristiques ME et AE du premier et du second système ; le talus AM commande la solution AEM, mais l'angle EAB peut être occupé par une solution conique quelconque construite sur la caractéristique AE. L'une de ces solutions est la solution

linéaire prolongée qui nous a donné la pression P . faisant Tangle ^' avec la normale à la plaque ; mais on peut aussi construire des solutions à fortes pressions et la dernière limite de l'équilibre s'obtiendra en supposant que la plaque est sur le point de glisser sous les terres supérieures ; on déterminera cet état d'équilibre en construisant une solution conique sur la caractéristique AE et le contour apparent AB du second système. Le problème est identiquement celui que Ton doit résoudre pour trouver la butée des terres i|ur un mur AB. On trouve très facilement la pression Q en B par une construction que nous avons déjà souvent appliquée et que nous n'avons pas reproduite sur la figure. Nous avons représenté cette pression en BQ sur la figure 131. La force horizontale totale qui pousse la plaque au moment où l'équilibre est sur le point de se rompre, est donnée par la formule

H = Q sm ç X — •

198. États (^équilibre intermédiaires. — Nous pouvons faire varier la force horizontale qui pousse la plaque, entre les deux limites F et H, et chercher les états d'équilibre correspondants. Nous pouvons d'abord construire sur AE (fig. 132) des solutions coniques comprises entre la solution EB et la solution linéaire ED ; ce sont des solutions à fortes pressions, les caractéristiques sont concaves vers le sommet, mais la courbure totale de l'arc de la caractéristique du premier système peut diminuer jusqu'à zéro ; on a alors la solution linéaire qui nous a donné la pression P' au point B ; l'angle de la pression avec la normale à la plaque varie de <p à i\ On peut ensuite construire sur la caractéristique AE des solutions à faibles pressions ; la caractéristique comprend un arc concave EP, un point de rebroussement, puis un arc convexe FH ; la solution présente un contour apparent qu'il faut remplacer par une discontinuité finie. Nous mènerons donc une ligne de discontinuité finie AR enlevant une partie de la solution linéaire de butée et, par les méthodes indiquées précédemment, nous déterminerons les fonctions (p, u) en un point R sous la ligne de discontinuité, nous construirons la solution conique engendrée par la discontinuité et nous déterminerons la pression sur la plaque. Nous pouvons faire tourner la ligne de discontinuité depuis la position AE jusqu'à la position AM ; dans ce dernier cas, la solution linéaire de butée disparait complètement, on retrouve la solution linéaire de poussée qui nous a donné la pression P en B. On peut donc faire varier la pression en B depuis la pression Q jusqu'à

la pression P en passant par F ; l'angle de la pression avec la normale à la plaque varie depuis l'angle îp jusque l'angle i en passant pari' ; l'extrémité de la pression en B décrit une courbe que Ton peut construire par points et que nous avons représentée en QP'P sur la ftgure 131 ; elle est formée de deux arcs PP' et P'Q de courbes analytiquement différentes.

Toutes ces solutions peuvent être considérées comme des solutions limite^, si l'on se donne la direction des pressions. Elles répondent à la question suivante : on soutient la plaque par des pressions qui suivent la loi du triangle et qui agissent suivant une direction donnée, on demande la limite supérieure de ces pressions. Enîeffet, on doit alors supposer que les terres sont sur le point de glisser vers le haut; on choisira donc, sous le talus, la solution de butée; en faisant varier l'angle des pressions avec la normale, on retrouve les pressions représentées par la courbe QP'P. Mais on peut aussi chercher les limites inférieures de ces pressions de direction donnée ; on doit alors supposer que les terres sont sur le point de glisser vers le bas ; on choisira donc la solution linéaire de poussée sous le talus. Partons de l'état d'équilibre qui nous a donné la pression Q ; nous pouvons modifier cette solution aussi peu que nous voulons, en supposant la poussée sous le talus, mais en menant une ligne de de discontinuité faisant un angle suffisamment petit avec le talus ; car si cet angle tend vers zéro, la solution de poussée disparait complètement pour être remplacée par la butée, et l'on retrouve la solution qui nous a donné la pressidh Q. En menant une ligne de discontinuité faisant un angle suffisamment petit avec le talus, nous obtiendrons une solution qui différera infiniment peu de la solution linéaire de butée et qui, par conséquent, sera limitée par une caractéristique voisine de AE (flg. 132) ; on construira une solution sur cette caractéristique et le contour apparent AB. Mais la solution engendrée par la discontinuité finie est à caractéristiques convexes vers le sommet ; non seulement la caractéristique AE s'est déplacée, mais il s'est formé un contour apparent et une petite nappe supplémentaire dans le voisinage de AE ; il faut donc remplacer ce contour apparent par une seconde discontinuité finie. On trouve donc une solution qui se compose de trois solutions séparées par deux discontinuités finies, savoir : la solution linéaire de poussée, une solution engendrée par une. discontinuité voisine du talus, une solution construite sur le contour apparent AB et reliée à la précédente par une seconde ligne de discontinuité. En augmentant l'étendue angulaire de la solution linéaire de "poussée, on trouve une infinité d'états d'équilibre de cette espèce ; on trouve toujours des pressions faisant

l'angle du frottement avec la normale à la plaque, mais ces pressions diminuent. Il y a évidemment une limite inférieure ; on reconnaît, en effet, que si la première ligne de discontinuité fait avec le talus un angle de plus en plus grand, la caractéristique et le contour apparent de la solution qu'elle engendre se rapprochent de la plaque et finissent par la dépasser ; la seconde ligne de discontinuité finit par se confondre avec la plaque et la solution inférieure disparait. Comme la plaque AB n'a pas cessé d'être contour apparent, il faut qu'en ce moment la seconde ligne de discontinuité se confonde aussi avec le contour apparent de la seconde solution, ce qui indique que la troisième solution se réduit à zéro, pour devenir impossible. On trouve alors une pression Q' qui est la limite inférieure des })ressions qui font l'angle du frottement avec la normale à la plaque. Si on continue à augmenter l'étendue angulaire de la solution de poussée, le contour apparent de la solution qu'elle engendre dépasse la plaque, il n'y a plus de troisième solution admettant AB comme contour apparent ; on doit se borner à interrompre par la plaque la solution engendrée par la première discontinuité; on trouve des pressions qui forment avec la normale à la plaque un angle plus petit que l'angle du frottement. Si la première ligne de discontinuité continue à se mouvoir dans le même sens, elle finira par se confondre avec la plaque, la solution de poussée règne alors complètement au-dessus de la plaque ; on retrouve la pression P obtenue précédemment. En résumé, nous sommes parti de la pression Q représentée sur la figure 131 ; nous avons fait décroître cette pression jusqu'à Q* sans changer sa direction ; puis nous avons obtenu des pressions représentées par une courbe Q'P que l'on peut construire par points.

Coupons, par exemple, la solution linéaire de poussée par la droite ADC (fig. 133) ; nous trouvons la solution CAB dont les caractéristiques sont convexes vers le sommet ; le contour apparent passe

sous la plaque, mais il en est très rapproché ; il suflarait de relever un peu la ligne de discontinuité pour obtenir la pression Q'; on obtient une pres- Fig. i33, sion faisant

avec la normale à la plaque un angle très voisin de Tangle rç, ; elle est représentée sur la figure 131 par un point situé très prés du point Q'.

Prenons ensuite (fig. 134) une ligne de discontinuité ADC plus

rapprochée de la plaque ; on trouve une pression représentée sur la figure 131 par le point U ; on trouverait ainsi ^ -n / \ r autant de points

tJ/--^;\>^ que Ton voudrait

"^ — delà courbe PQ'.

fiïg. 134. ^ Supposons

maintenant une

pression en B dont Textrémité se trouve à Tintérieur du contour PP'QQ'P (fig. 131) ; elle est comprise entre la limite supérieure et la limite inférieure qui admettent l'équilibre; elle est donc aussi en équilibre. Nous n'avons plus alors un équilibre limite mais un équilibre intermédiaire ; on peut, dans une certaine mesure, augmenter ou diminuer la pression sans rompre l'équilibre. Comme dans tous les problèmes où le frottement intervient, Tétat d'équilibre intermédiaire est indéterminé. On peut partir de la limite supérieure et la modifier en introduisant la solution linéaire de poussée sous le talus dans un angle croissant à partir de zéro ; on peut partir de la limite inférieure et introduire la solution linéaire de butée sous le talus dans un angle croissant à partir de zéro. On se donne la direction des pressions et l'on cherche la seconde ligne de discontinuité. Cette indétermination existait déjà poui* les pressions comprises entre Q et Q' faisant l'angle du frottement avec la normale à la plaque ; nous les avons obtenues en partant de la limite supérieure ; nous pouvions les obtenir aussi en partant de la limite inférieure et en introduisant la soliulon linéaire de butée sous le talus dans un angle croissant à partir de zéro.

H y a enciore d'autres solutions possibles. Ainsi, on pourrait réduire * l'angle du fi-ottement à l'inclinaison du talus donné ; on trouverait un état d'équilibre intermédiaire et l'on vérifierait sans peine que l'extrémité de la pression obtenue est à l'intérieur du contour des solutions limites. Ces états d'équilibre présentent peu d'intérêt; dès qu'il y a un changement (quelconque dans les forces solhcitantes, il y a mouvement ou tassement dans un sens ou dans l'autre : l'angle du frottement atteint sa valeur limite. Cette valeur est certainement atteinte au moment où l'équilibre est sur le point de se rompre, et ce sont ces états d'équilibre limite qui sont les plus intéressants

On peut aussi introduire des discontinuités qui ne sont pas nécessaires. Soit flg. 1:55) AME la solution linéaire de butée ; prolongeonsla vers le bas et coupons-la par une ligne de discontinuité AR ; la

Fip, 135.

caractéristique du premier système forme un angle positif en R, puis prend une courbure négative. On peut obtenir la même valeur de la fonction u sur la plaque, en construisant une" solution conique sur AE, à caractéristiques concaves vers le sommet. Je dis que c'est la solution conique qui se produira et que la solution discontinue n'est pas stable. En elïet, supposons la solution discontinue réalisée jusqu'à la caractéristique MRD, et continuons la construction de la solution en appliquant la méthode générale. Les deux caractéristiques MO et MR, de systèmes opposés, déterminent la solution linéaire qui est limitée à la caractéristique RF. Au point R, la fonction u subit un accroissement brusque égal à l'angle R ; on peut le réaliser en prolongeant la ligne de discontinuité ou en construisant une solution pseudo-conoïde de foyer F. Or, cette dernière est la solution stable, car il suffirait de remplacer le point angulaire R par un arrondi, pour rendre la solution discontinue impossible. La solution discontinue est donc instable.

199. Discussion. — Nous avons supposé, dans l'étude précédente, que le talus supérieur avait l'inclinaison indiquée par le chiffre 2 sur la figure 131 ; il s'agit de voir comment le contour PP'QQ'P se transforme, lorsqu'on fait varier Tinclinaison du talus.

Si d'abord le talus s'incline davantage pour se confondre avec le tains naturel, les points F et P' se rapprochent et viennent se confoiulre ; les deux courbes du contour partent de ce point. Reprenons la. figure 1-^2; si l'inclinaison du talus augmente, l'épure circulaire in:1ique que l'angle MAE diminue pour se réduire à zéro lorsque le talus a l'inclinaison du talus naturel ; toutes les solutions obtenues par la discontinuité AR disparaissent ; ce ^ont celles qui nous ont donné l'arc PP' de la figure VM.

Supposons maintenant que Tinclinaison du talus diminue ; la droite AE de la figure 132 se rapproche de la plaque et il arrive un moment où l'angle ËA.6 est nul. Dans ce dernier cas, il est facile de voir que la solution linéaire de butée est la seule qui donne une pression formant avec la normale à la plaque un angle égal à l'angle du frottement, de sorte que les trois points P', Q et Q' de la figure 131 viennent se confondre en un point unique T. En effet, nous avons obtenu Tare P'Q en construisant les solutions coniques sur la caractéristique A.E et le contour apparent AB (flg. 132) ; toutes ces solutions se réduisent à la solution linéaire, quand l'angle AEB disparait ; le contour apparent devient une caractéristique. Nous avons obtenu la droite QQ' en imaginant une discontinuité sOus le talus de poussée ; mais dans le cas qui nous occupe, le contour apparent de la solution engendrée par la discontinuité passe immédiatement sous la plaque ; on trouve les limites inférieures représentées par une certaine courbe TN (flg. 131)^

Si l'inclinaison du talus continue à diminuer, la caractérîetique AE passe sous la plaque ; il n'est plus possible de réaliser une pression faisant l'angle du frottement avec la normale à la plaque. On a pour la butée un cas analogue à celui que nous avons rencontré dans la poussée ; la plaque ne peut plus glisser sous les terres ; la rupture de l'équilibre se produit par l'entrainement des terres et de la plaque, avec glissement vers le haut d'un autre massif compris entre les deux caractéristiques qui passent par l'extrémité de la plaque. Les limites supérieures et inférieures sont données par des courbes dont les extrémités représentent les pressions dans les deux solutions linéaires ; les autres points s'obtiennent en imaginant une discontinuité sous l'une ou l'autre de ces solutions linéaires.

200. États d'équilibre du massif inférieur. — Lorsque la plaque est sur le point de se déplacer vers le vide, les terres supérieures produisent au point B de la plaque une pression P (flg. 136)

faisant l'angle i avec la normale à la plaque ; au même point, les terres inférieures produisent une certaine pression S faisant un angle/ avec la normale à la plaque. Les composantes normales de ces pressions /R- doivent se faire équilibre ; on a donc

S cos ; = P cos i ;

j / I les composantes tangentielles se

F'n 1 ^fi composent en une résultante dirigée

^* * vers les terres et dont la valeur est

R = S sin ; — P sin i ;

en éliminant la réaction inconnue S, on trouve

j^ P^sm(/--i) ^^2^

cosj

On peut aussi trouver R en construisant le triangle BPS.

La résistance totale de ia plaque à la traction vers le vide s'obtiendra en multipliant R par ia moitié de la longueur de la plaque.

Nous connaissons la pression P et Tangle i ; mais avant d'appliquer la formule (72), il faudra déterminer Vangle^'. Il est facile de prévoir que deux cas vont se présenter. Si le talus supérieur est assez plat, les pressions normales sur la plaque seront peu importantes et la plaque pourra glisser sur les terres inférieures sans provoquer réboulement du talus; l'angle J est alors égal à l'angle du frottement ; on a donc

P sin (? — i) , ,

cos Cp ^ ^

Si, au contraire, le talus supérieur devient plus incliné, il est à prévoir que l'éboulement du talus inférieur pourra se produire avant le glissement de la plaque ; il faut alors déterminer l'angle ./ dp manière que le talus inférieur soit un plan d'éboulement et appliquer l'équation (72). Nous allons chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que la formule (73) soit applicable ; nous montrerons ensuite comment on détermine l'angle J dans les autres cas.

201. Ckis du glissement sur les terres infériew^es, — Lorsque les pressions de la plaque sur les terres inférieures forment l'angle du frottement avec la normale, ces pressions sont complètement déterminées, car elles ont mêmes compjsantes normales que les pressions sur les terres supérieures. Nous pouvons donc chercher toutes les solutions possibles au-dessous de la plaque et voir si elles sont compatibles avec l'équilibre du talus inférieur.

On reconnaît immédiatement que la plaque est un contour apparent ou une caractéristique du second système. La plaque AB sera une caractéristique si la pression a une certaine valeur qu'il est facile de déterminer ; elle est la môm^e que dans la solution linéaire ; répure circulaire donne immédiatement le pôle des facettes, lorsque la caractéristique du second système est dirigée suivant une ligne horizontale ; on trouve la solution de butée qui correspond au talus indiqué par le chiffre 3 sur la figure 131. La pression sur les terres

iiiférietires esl reproseiilée pat- HT ; on en dédiiil iiiiinédiaU'moiit la. [M-ession BR sur les lerres supérieures, en menant une horizontale TR jusqu'à la i-«noimtre avec la courbe des estrémités des pressions P ; on un (lodnii ensuite riucliuaisoti A'R qu'il Inut donner au talus siipérteni- pour réalieer cette pression. Soient (fig. 137) AM ce lalns, AM' l'inclinaison dw talus inférieur pour lequel AB est une caractéristique du second système, a, et ^, les angles de ces denx talus avec l'boi'izon. Je dis que le plan AM' est le plan d'ébonlement qui correspond au talus AM dans l'hypothèse du glissement de la plaque. En effet, le talus AM' est en équilibre ; un talus plus plat est, àplus forte raison, en équilibre; si, au couti'aire, nous donnons au talus inférieur une inclinaison plus grande, nous serons amené à construire une solution conique sui' la caraclôrlstiqui! AB et la caractéristique du premier système commandée par le talus ; l'angle de ces deux caractéristiques est plus petit que l'angle ordinaire EAB ; on trouve tme solution à trois nappes et il est impossible de conserver la caractéristique AB.

Fig. 1H7-

Supposons que le talus supérieur soit plus incliné que AM ; je dis que dans ce cas, l'hypothèse du glissement de la plaque sur les terres inférieures est irréalisable. En effet, si on admet cette hypothèse, âB cesse d'être une caractéristique pour devenir le contour apparent d'une solution à fortes pressions ; or, nous avons démontré (140) que les contours apparents du second système limitent à gauche les solutions à fortes pressions ; on trouve donc nue solution au-dessus de la plaque ; il n'existe pas de solution en dessous ; l'équilibre du talus inférieur est impossible.

Pour pouvoir construire uue solution au-dessous du contour apparent AB, c'est-à-dire limitée à droite par ce contour apparent, il faut supposer des pressions plus faibles que celles où AB est une caractéristique ; ii faut donc supposer que le talus supérieur est moins incliné que AM. On trouve alors une caractéristique du second système de la forme GBFC ; la solution est à trois nappes, car nous n'avons rencontré des solutions à faibles pressions et à nappes nombreuses que lorsque les contours apparents sont plus inclinés que le talus naturel ; la nappe BG est limitée a gauche par une caractéristique du second système (138) ; la nappe BF est comprise entre deux contours apparents de systèmes opposés ; la nappe CF est limitée à droite par une caractéristique du premier système.

Nous pouvons suivre les évolutions que subit cette solution conique lorsque Tinclinaison du talus supérieur croit à partir de zéro. Si le talus supérieur est horizontal, les terres qui reposent sur la plaque disparaissent ; on obtient les solutions linéaires commandées par le plan libre AB ; la caractéristique qui passe par B se compose des deux droites BD et BD'. La ligne GFBG a donc pour limite la ligne brisée DBD', lorsque l'inclinaison du talus supérieur tend vers zéro. Cela semble paradoxal, mais il faut remarquer que la courbure au point B de la caractéristique du second système augmente indéfiniment quand la pression diminue jusqu'à zéro et, comme cela arrive souvent dans ces circonstances, la courbe se brise et forme un angle. Si nous faisons croître l'inclinaison du talus supérieur depuis zéro jusque a,, la caractéristique AC décrit l'angle DAE.

Faisons d'abord abstraction du contour apparent AF et cherchons dans quel cas on peut relier la caractéristique AG au talus inférieur par une solution d'équilibre. Si la caractéristique AC ne dépasse pas la verticale, le talus inférieur peut être établi suivant le talus naturel, car ce talus naturel est une caracLôristique du second système et Ton peut construire une solution sur cette caractéristique et la caractéristique AC. Pour une certaine inclinaison oto du talus supérieur, la caractéristique AC prendra la position verticale ; elle sera rehée au talus naturel inférieur par la solution linéaire. Si l'inclinaison du talus supérieur dépasse «o» ^ caractéristique AC dépasse la verticale; on trouve un plan d'éboulement dont l'inclinaison fi est fonction de l'inclinaison a du talus supérieur.

Mais ces résultats ne sont qu'approximaiivement vrais, car le contour apparent doit être remplacé par une discontinuité finie ; la valeur «o et la relation « et ? doivent être déterminées d'une autre manière. Donnons-nous le plan d'éboulement AH ifig. 138) d'inclinaison plus grande que ?, ; soit AG la caractéristique du premier système

commandée par le talus AH ; menons une ligne de discontinuité AR : nous engendrons une solution qui présente un certain contour apparent. En faisant tourner AR depuis AG jusqu'à AH, on trouve les deux limites entre lesquelles le contour apparent évolue ; ce sont les caractéristiques du second système qui passent par A dans les deux solutions linéaires ; ce contour apparent peut donc se confondre avec la droite AB ; on cherche la solution qui satisfait à cette condition par la méthode des fausses positions ou des approximatives successives ; on trouve ainsi une pression

Fig. 138.

normale sur AB qui peut être engendrée par un talus supérieur d'inclinaison a. On peut aussi se donner a et trouver ^ ; connaissant a, on détermine les pressions sur les terres inférieures et l'on construit la solution qui règne sous la plaque ; on cherche alors la discontinuité AR qu'il faut mener dans cette solution pour engendrer la solution linéaire de butée, et l'on trouve le talus AH.On trouve une valeur unique pour a quand p est donné, et réciproquement. Si l'on fait croître a, p diminue, ce qui peut être considéré comme évident. La relation entre les angles a et p peut être mise sous les deux formes

a = P(p) ou ?=--/•(«).

Si le plan d*éboulement devient le talus naturel, on a

on a aussi

Le talus naturel inférieur est en équilibre pour un talus supérieur d'inclinaison ao ; on peut admettre comme évident que, pour une

inclinaison moindre, le talus naturel inférieur ou tout autre talus plus plat est, à plus forte raison, en équilibre ; de sorte que pour

a <ao

on peut toujours admettre le glissement de la plaque et appliquer la formule (73).

Si l'angle a est compris entre «o et a,, il y a un plkn d'éboulement correspondant ; le talus inférieur d'inclinaison ? sera, à plus forte raison, en équilibre, si l'on a

on peut encore appliquer la formule (73).

Mais si l'on a

il faut appliquer l'équation (72) et déterminer l'angle;. Enfin si l'on a

l'hypothèse du glissement n est jamais vraie ; on doit toujours appliquer la formule (72) et calculer l'angle,;.

202. Cas où la plaque entraîne les te?*res inférieures. — Supposons l'angle 7 compris entre olq et a« et

il en résulte que p est aussi compris entre 7 et p,. Connaissant l'angle p, on peut déterminer l'angle FiP» qu'il faut donner au talus supérieur pour que le talus inférieur soit un plan d'éboulement sous la plaque glissante ; on y arrive en construisant la figure 138. Or, on obtient ainsi un talus supérieur ayant une inclinaison plus petite que l'inclinaison donnée. Il faut donc faire tourner la discontinuité AR de manière à obtenir sous la plaque des pressions plus fortes. Si l'on augmente l'angle RAG, le contour apparent passe sous la plaque* et le problème n'est pas résolu ; il faut donc diminuer cet angle. Si l'on diminue cet angle jusqu'à zéro, on obtient la solution linéaire sous la plaque et la courbe de la figure 131 indique que pour réaliser l'égalité des composantes verticales des pressions; il faut donner au talus supérieur une inclinaison égale ou plus grande que a, . Nous obtiendrons donc la solution du problème en diminuant l'angle RAG de la figure 138 sans le prendre égal à zéro, sauf pour le cas limite

où ^ et a auraient les valeurs p, et z^ ; on trouvera, souô la plaque, une solution conique à caractéristiques convexes vers le sommet, sauf pour le cas limite où la solution devient linéaire. Cette solution conique doit satisfaire à deux conditions : les composantes normales des pressions sous la plaque sont données et la solution doit être relice h la solution commandée par le talus inférieur au moyen d'une ligne de discontinuité finie. Pour l'obtenir, on se donne deux fausses positions de AR et Ton interpole. On peut aussi employer la méthode des approximations successives. On se donne le premier ôlément AD (flg. 139) de la ligne de discontinuité ; on trace une caractéristique du premier système DE en la remplaçant par deux tangentes ; la première est domiée par la discontinuité, on détermine la seconde de manière à obtenir au point E la pression normale connue ; on admet que les erreurs commises dans le tracé de cette caractéristique auront une influence qui deviendra de plus en plus négligeable en s'éloignant du sommet. On trace alors successivement

Fig. 139.

la caractéristique DF du second système par la même méthode que la caractéristique DE, le triangle DMK par la méthode générale qui donne la propagation d'une discontinuité, le quadrangle KMFN, le triangle FNP,«t ainsi de suite. On aperçoit que le problème est résolu avec une approximation suffisante quand la discontinuité se propage en ligne droite et que l'angle u reste constant le long de la plaque. Nous avons choisi AD arbitrairement, il vaut mieux prendre AD de manière à obtenir en E et en F la.même valeur de u. Connaissant la valeur définitive de l'angle w, on trouve facilement l'angle / par l'épure circulaire.

Supposons enfin que l'inclinaison du talus supérieur soit plus grande que x^ ; quel que soit le talus inférieur, l'hypothèse du glis-

semant de la plaque sur les terres n'est plus possible ; il faut toujours (•onstruire uue solution donnant sur la plaque? des pres-ions normales connues et reliée à la solution linéaire de butée commandée par le talus inférieur ; mais dans ce cas, Tangle RAG peut s'annuler et Ton peut trouver une solution conique à caractéristiques concaves vers le sotnmet. La solution linéaire peut régner sous la plaque ; il est facile de trouver, par la courbe de la figure 131, les solutions linéaires de butée et de poussée qui donnent les mêmes pressions normales sur la plaqne,et les inclinaisons des talus qui réalisent ces solutions. Si, dans Tune de ces solutions, on conserve le talus inférienr et si Ton diminue l'inclinaison du talus supérieur, on obtient une solution à caractéristiques convexes ; si Ton augmente Tinclinaison du talus supérieur, on obtient une solution n caractéristiques concMves. Si Tangle? est plus petit que |3, , on trouve toujours des solutions à caractéristiques concaves. On construit les solutions à caractéristiques concaves par les mêmes méthodes que les autres solutions, mais la discontinuité finie n'existe plus.

203. États fVéquilibre intermédiaire du massif inférieur. — Parmi les états d'équilibre que nous avons rencontrés, il y en a qui sont des dernières limites ; ce sont ceux où le talus inférieur est un plan d'éboulement ; leboulement peut précéder le glissement de la plaque sur les terres ou se produire en même temps, selon que l'angle de la pression avec la normale à la plaque est plus petit ou égal à l'angle du frottement. Dans tous ces cas, on peut mener, par l'extrémité B de la plaque, une caractéristique du second système qui détache un fragment du massif ; c'est ce fragment qui glisse vers le vide; mais il se produit des glissements secondaires vers le haut, suivant les caractéristiques du premier système, et qui sont nécessités parla courbure et surtout par le point angulaire de la caractéristique du second système.

Nous avons rencontré d'autres états d'équilibre, mais nous ne les avons pas étudiés ; nous avons admis comme évident que, s'il y a équilibre, il y a, à plus forte raison, équilibre quand les talus deviennent plus plats, et nous n'avons pas cherché comment cet état équilibre était réalisé. Ce sont ces états d'équilibre intermédiaires que nous allons examiner.

Reprenons la figure 137 ; soit AH le talus inférieur dont l'inclinaison est comprise entre î' et p, ; nous supposons que l'inclinaison du talus supérieur croit à partir de zéro et nous admettons le glissement de la' plaque sur les terres inférieures. Nous av(»ns vu que les pressions sous la plaque sont connues et commandent une solution conique GBFC.Nous avons le choix entre deux. nappes : la nappe BF, qui est de seconde espèce, et la nappe BG,qui est de première espèce.

Le talus inférieur AH commande une solution linéaire ; mais nous avons aussi le choix entre la solution linéaire de poussée AKH, qui est de seconde espèce, et la solution linéaire de butée AK'H, qui est de première espèce ; ces deux solutions forment les nappes d'une même solution conique ayant AH comme contour apparent. 11 s*agit de relier les solutions commandées par la plaque et le talus au moyen d'une solution intermédiaire.et nous reconnaissons immédiatement qu'il y a indétermination. Parmi les trois solutions associées, la solution intermédiaire dort être d'une autre espèce que les deux^autres, car la solution intermédiaire est reliée aux autres par des caractéristiques ou des lignes de discontinuité finie qui séparent toujours des solutions d'espèces diftcrentes. Il résulte de là qile, si nous choisissons sous la plaque la solution BF qui est de seconde espèce, nous devrons choisir la poussée sous le talus, tandis que, si nous choisissons la solution BG soùs la plaque, nous prendrons la butée sous le talus. Nous examinerons successivement les deux dispositions.

Supposons d'abord le talus supérieur horizontal ; le massif supérieur disparait, les pressions sont nulles sur AB; il s'agit donc de relier les deux solutions linéaires de poussée AKH et ADB ; on construit la' solution intermédiaire sur les caractéristiques AD et AK ; on trouve une' solution conique à faibles pressions et à caractéristiques concaves vers le sommet ; c'est le cas de la poussée dés terres dans un angle saillant BAH, il n'y a pas de discontinuité finie (124). Faisons croître l'inclinaison du talus supérieur à partir de zéro ; nous trouvons sous la plaque une solution BPC, présentant un contour apparent AP et terminée par une caractéristique AC ; l'angle DAC croit à partir de zéro. Faisons d'abord abstraction du contour apparent AF ; nous construirons sur AC el AK une solution conique, mais, comme l'angle GAK ditninue, il arrivera un moment où cette solution sera linéaire, puis elle sera à fortes pressions et débordera l'angle de ses caractéristiques. Nous devons remplacer les contours apparents par des discontinuités finies ; nous obtiendrons d'abord une solution intermédiaire à caractéristiques concaves, limitée à gauche par une caractéristique et à droite par une discontinuité finie; cette solution intermédiaire deviendra linéaire, puis elle sera à fortes pressions et sera- limitée à droite et à gauche par des discontinuités finies. Si nous continuons à augmenter l'inclinaison du talus supérieur, il arrivera un moment où la caractéristique AC coïncidera avec AK' et. la solution théoi'iqne intermédiaire sera construite sur AK' et AK ; cette solution théorique sera l'ensemble des deux solutions linéaires ; poui* la rendre physiquement possible, il sufllra de supprimer la nappe K A H, c'est-àdire d'admettre la butée sous le talusi Nous arriverons à des résultats

peu différents, en supprimant le contour apparent AP par l'introduction d'une discontinuité finie. On voit donc que les deux discontinuités finies, dont nous avons constaté lexisteiice, vont se déplacer, et que la discontinuité de gauche finira par atteindre le talus et, à. ce moment, la solution de poussée disparait ; la solution totale se compose de la solution linéaire do butée reliée, par une discontinuité finie, à la solution commandée par la plaque. Cette solution limite est précisément celle que nous avons obtenue sur la figure 138, quand nous avons cherché le talus supérieur pour lequel AH est un plan d^éboulement. Examinons maintenant la seconde disposition ; prenons la solution de butée sous le talus et la solution BG sous la plaque. Si nous supposons la charge nulle sur la plaque, nous trouvons les deux solutions linéaires de butée, mais comme l'angle A est saillant, la solution intermédiaire s'appuie sur deux discontinuités finies. Effectivenient, les deux caractéristiques AK'.et AD' (fig. 137) forment un angle plus petit que l'angle ordinaire des caractéristiques, on trouve une solution qui déborde l'angle de ses caractéristiques ; il faut remplacer les deux contours apparents par deux discontinuités finies. Si l'inclinaison du talus supérieur croît à partir de zéro, on doit relier la solution BAC' à la solution HAK' ; on doit construire une solution surles deux caractéristiques AK' et AC ; l'angle de ces deux caractéristiques est toujours plus petit que l'angle ordinaire qui est EAB ; on trouve donc encore une solution intermédiaire à faibles pressions, reliée aux deux autres par deux discontinuités finies, mais la nappe C'AB se réduit de plus en plus et peut même se réduire à zéro; il arrivera donc un moment où la ligne de discontinuité de droite se confondra avec la plaque et comme la plaque ne cesse pas d'être contour apparent, la solution intermédiaire aura AB comme contour apparent. Nous retrouvons encore la solution de la figure 138 qui donne le talus correspondant à un plan d'éboulement donné.

Nous voyons qu'il y a indétermination dans l'état d'équilibre, lorsque l'inclinaison du talus supérieur satisfait à l'inégalité

mais si Ton a

les deux états d'équilibre ont une même limite; c'est alors une dernière limite et le problème est déterminé.

Nous avons supposé l'angle p plus grand que p^; prenons l'hypothèse contraire. Si l'on donne au talus supérieur l'inclinaison a,, on trouve sous la plaque la solution linéaire ; on reconnaît facilement qu'on

peut la relier à la poussée sous le talus par deux discontinuités finies, de sorte que le premier système de trois solutions subsiste encore. Si Ton adopte la seconde disposition, on reconnaît que la nappe BG disparait ; il reste donc un système de deux solutions : Tune est la butée des terres sous, le talus, l'autre est une solution à caractéristiques concaves, il n'y a plus de discontinuités finies. Lorsqu'on fait croître l'angle a à partir de zéro, le second système de trois solutions se modifie de la manière suivante : on trouve d'abord deux discontinuités finies comme dans un angle saillant de butée ; puis les discontinuités deviennent des caractéristiques ordinaires, comme dans l'angle reiltrant de butée ; enfin pour l'inclinaison a., la caractéristique de droite vient se confondre avec la plaque. On trouve donc encore deux états d'équilibre différents pour l'inclinaison a^, et cela était à prévoir puisque le talus inférieur présente un excès de stabilité.

Lorsque p est précisément égal à P«, la poussée sous le talus, dans la première disposition, disparaît au moment où Ton a la solution linéaire sous la plaque, et la discontinuité de droite devient une caractéristique ordinaire. Dans la seconde disposition, c'est la discontinuité de gauche qui devient une caractéristique ordinaire et la discontinuité de droite vient se confondre avec la plaque. L'état d'équilibre du massif inférieur est déterminé.

Lorsque l'angle âc dépasse 0e «, nous savons que l'angle du frottement ne peut pas être atteint sous la plaque ; il faut déterminer l'angle ;, de la pression avec la normale à la plaque, pour lequel le talus inférieur est un plan d'éboulement. Il y a aussi des états d'équilibre intermédiaires ; on peut se donner un angle j plus petit que celui qui réalise la condition précédente ; on détermine une solution sous la plaque et on la relie à la poussée ou à la butée sous le talus.

204. Gds d'un talus plan indéfini, — Considérons une plaque horizontale enfoncée dans un talus plan indéfini ; le talus inférieur est alors le prolongement du talus supérieur. Cherchons dans quel cas le massif inférieur est en équilibre sous la plaque glissante. Lorsque l'inclinaison du talus supérieur est égale à «o» le talus naturel est le plan d'éboulement du massif inférieur et ces deux talus forment un angle saillant ; lorsque l'inclinaison du talus supérieur est égale à a,, l'inclinaison du plan d'éboulement du massif inférieur est égale à p« et ces deux talus forment un angle rentrant ; il existe donc une inclinaison intermédiaire pour laquelle les deux talus sont dans un même plan ; cette inclinaison satisfait à l'équation

Soit A cette inclinaison ; on la trouvera par une interpolation entre deux fausses positions.

Si rinclinaison du talus plan estéga^ ou Inférieure à' A, VhypO* thôse du glissement de la plaque est compatible avec l^quilibre du massif inférieur ; car ce massif serait déjà en équilibre, s'il était limité par le plan d'éboulement ou le talus naturel, et ces plans ont une inclinaison égale ou plus grande que le talus donné. On doit alors appliquer la formule (73).

Si rinclinaison du talus plan est supérieure à A, le massif inférieur n'est pas en équilibre sous la plaque glissante, car pour réaliser cet équilibre, il faudrait donner au talus inférieur l'inclinaison du plan d'éboulement, c'est-à-dire une inclinaison moindre que l'inclinaison donnée. Il peut môme arriver qu'il n'y ait plus de plan d'éboulement ou d'équilibre sous la plaque glissante. Il faut alors déterminer l'angle;, pour lequel le talus redevient un plan d'éboulement, et appliquer la formule (72). Je dis que, dans la dernière limite de l'équilibre, on trouvera toujours sous la plaque une solution à caractéristiques convexes reliée à la butée par une discontinuité finie. £n effet, si Von. prolonge la solution linéaire de butée du talus inférieur jusqu'à la plaque, la courbe de la figure 131 indique que l'on obtient, sous la plaque, des pressions normales trop grandes ; si l'on prend la solution qui admet la plaque comme contour apparent, on trouve des pressions normales trop petites, car elles seraient en équilibre pour une inclinaison du talus supérieur plus petite que l'inclinaison donnée ; la solution vraie est comprise entre ces deux solutions ; on l'obtiendra en diminuant l'angle de la discontinuité finie et de la caractéristique du premier système de la solution linéaire de butée ; on obtiendra toujours une solution à caractéristiques convexes vers le sommet. Il y a cependant un cas limite où ce raisonnement est en défaut : c'est lorsque le talus a l'inclinaison du talus naturel ; dans ce cas, la solution linéaire de butée se confond avec la solution de poussée qui règne au-dessus de la plaque ; c'est cette solution qui réalise l'équilibre des pressions normales ; mais alors les pressions des deux côtés de la plaque sont égales et de sens contraires, la résistance à l'extraction de la plaque est rigoureusement nulle.

205. Cas cFun talus naturel limité par un plan horizontal, — Soient : HAGD (fig. 140) le profil du terrain, AB la plaque horizontale.

Fig. 140.

Nous chercherons d'abord la poussée minima du ^massif supérieur ; on reconnaît, comme au numéro 196, que le glissement sous les terres est impossible et que la solution commandée par la surface libre règne jusqu'à la plaque. Nous avons indiqué dans un caa semblable (124) comment on trouve les fonctions (p, u) sur le plan- A6 ; on en déduit par répure circulaire la grandeur et la direction de la pression P en un point quelconque de la plaque.

Nous supposerons d'abord la plaque indéfiniment flexible : les pressions normales supérieures et inférieures doivent se faire directement équilibre. Le talus naturel AH commande une solution linéaire limitée par une caractéristique verticale AV ; il s'agit de construire une solution satisfaisant aux deux conditions suivantes : les pressions normales sous la plaque sont données et la solution doit être reliée à la solution linéaire commandée par le talus, au moyen de la caractéristique AV ou une ligne de discontinuité finie* En prenant la limite relative d'un massif infiniment petit autour du point A, on est ramené au cas d'un talus indéfini ; dans le voisinage du point A, on a donc approximativement la solution linéaire, et les pressions supérieures et inférieures se font équilibre. En s'éloignant du point A, les pressions supérieures sont plus petites que dans le cas d'un talus naturel indéfini ; il est donc à prévoir que Ton obtiendra une ligne de discontinuité finie tangente au point A à la verticale. On construit répure par la méthode générale ; nous avons traité un cas semblable au numéro 201 (fig. 139). Si l'on continue à s'éloigner du point A, les pressions normales deviennent comparables à celles qui seraient produites par un talus de plus en plus plat ; il est donc à prévoir qu'en un certain point K, l'angle^' deviendra égal à l'angle du frottement ; et à partir de ce point, on pourra conserver cet angle jusqu'à rextrémité de la plaque. On peut alors construire à priori la solution qui règne sous la plaque, mais il faut la relier à la solution linéaire par une solution intermédiaire. Il est d'ailleurs inutile de construire l'épure, on obtient la résistance tangentielle par la formule (73) ou une composition de forces. On peut alors représenter toutes les forces tangentielles par un diagramme et trouver la résistance totale par une intégration graphique.

Supposons ensuite que la plaque soit d'une rigidité absolue ; il n'est plus nécessaire que les pressions normales soient identiques audessus et au-dessous de la plaque ; il suffit qu'elles forment deux systèmes de forces équivalents au point de vue de la statique des solides invariables. Soit (fig. 141) AEF le diagramme des pressions normales supérieures ; le talus inférieur sera strictement en équilibre sous la plaque glissante, si les pressions normales inférieures sont représen-

Fig. 141.

tées par le diagramme AP'B qui correspond au talus supérieur

p' d'inclinaison cf^ ; il sera, à plus forte raison, en équilibre, si les pressions normales inférieures sont diminuées et représentées par un diagramme AE'F". Cherchons donc un diagramme AE'F" statiquement équivalent au diagramme AEF. Soient: S et M la surface et le moment autour du point B du diagramme AEF, S' et M' les mêmes éléments pour le diagramme rectiligne AF' ; retranchons une certaine surface S'' de la surface S' et posons :

en désignant par 1 la distance du centre de gravité de la surface S" à la verticale du point B.

Faisons croitre la longueur de la plaque à partir de zéro ; nous savons que le glissement de la plaque est d'abord impossible ; cherchons à quel moment il devient possible. Construisons (âg. 142) les intégrales secondes AMP et ANM des diagrammes AEF et AF' ; soit M le point d'intersection de ces deux courbes et donnons à la plaque la longueur km ; on aura :

On doit donc donner h S" une largeur nulle ; les ordonnées sont infinies, les pi-essions deviennent moins l'inflni ; c'est une impossibilité. Menons une tangente comme NP aux deux courbes et donnons à la plaque la longueur Ap ; le diagramme AN'n sera équivalent au

diagramme donné, car les moments autour de tous les points du plan sont représentés par les ordonnées de la droite NP ; les pressions négatives sont disparues, .mais on trouve encore des pressions nulles

Fig. 142.

sur le segment np. Nous allons démontrer qu'il suffit d'augmenter la longueur Ap d'une petite quantité, à déterminer par une épure, pour que le glissement de la plaque soit possible.

Cherchons, en effet, les plus petites pressions que l'on peut obtenir sur un segment QB (flg. 140) porté à partir de l'extrémité de la plaque. Pat* le point B, passe une caractéristique BE du premier système commandée par la surface libre ; au point B, la caractéristique du seôond système est dirigée suivant la plaque ; il y a donc une discontinuité finie dans la variation de Tangle u ; mais c'est une discontinuité évanouissante. Nous pouvons construire une solution pseudo-conoïde en prenant B comme foyer et BE comme caractéristique du premier système ; nous limiterons cette solution à la caractéristique BF du premier système qui fait avec BAl'angle ordinaire des caractéristiques. Nous construirons alors une solution sur la caractéristique BF et sur BA considéré comme caractéristique du second système. A la vérité, nous pouvons aus^i mener par B une caractéristique curviligne du second système touchant la plaque et construire une nouvelle solution sur cette caractéristique et sur BA pris comme contour apparent ; mais on reconnaît facilement que les plus petites pressions s'obtiennent en prenant la plaque comme caractéristique. En effet, calculons la variation de la pression p sur un élément ds du contour apparent BA ; on peut passer d'une extrémité à l'autre de cet élément en suivant

deux arcs de caractéristiques de s^^^lèuies opposés ; la longueur de Tare du second système diffère infiniment peu de (2$ ; la longueur de l'autre arc est d'ordre supérieur ; soit p le rayon de courbure de Tare du second système, on trouve :

ds dp = — n ck sin (p + 4 p tang (p — ;

on voit que la pression décroît le plus vite lorsque le rayon de courbure est infini, c'est-à-dire quand la plaque est une caractéristique. On trouve alors un diagramme B'N pour les pressions normales. Les pressions deviennent très petites, car, dans la solution pseudo-conoïde, la pression décroit suivant la formule du n^ 157 ; pour un coefficient de frottement égal à deux tiers, on trouve que la pression varie dans le rapport de 4.18 à l'unité en passant de la caractéristique BE à la caractéristique BF. Au point Q, il se produit une chute de pression beaucoup plus grande encore. Nous admettons, sous la plaque, la solution conique qui touche la plaque ; elle est limitée par une caractéristique du second système que nous désignerons par QS, mais qui diffère de celle que nous avons considérée dans le cas de la plaque flexible. Nous prendrons Q comme foyer d'une solution pseudo-conoïde, QS comme caractéristique initiale, et nous ferons tourner cette caractéristique de 180 degrés autour du point Q. On trouve que la pression varie dans le rapport de 68.8 à l'unité en passant de la caractéristique QS à la caractéristique QG. On peut calculer la courbure au point Q de cette dernière caractéristique, en appliquant les formules du n<* 157 : on obtient une courbure très forte et, à cause de cette courbure, la pression décroit rapidement le long du contour apparent et peut même s'annuler en un certain point M. Oh trouve donc des pressions normales très petites sur le segment QB.

Nous pouvons, dans, une première approximation, négliger ces petites pressions et nous trouvons que la longueur minima de la plaque, qui admet le glissement sur les terres inférieures, est la longueur Ap construite sur la figure 142. Nous pouvons alors construire le diagramme des pressions négligées sur le segment np ; les moments de ce diagramme sont représentés par la tangente à l'extrémité de l'intégrale seconde. Cherchons ensuite, par la méthode des fausses positions, deux nouveaux points N et P (flg. 142) tels que la seconde tangente, par rapport à la première, représente précisément les moments du diagramme des pressions négligées ; nous obtiendrons une nouvelle longueur Ap, un peu plus grande que celle que nous avons obtenue en premier lieu ; c'est la longueur minima demandée.

Soit l cette longueur minima ; si l'on a

le talus inférieur est en équilibre sous la plaque glissante ; on applique, en chaque point, la formule (73) ou le triangle des forces qui la remplace. On représente alors les forces tangentielles par un diagramme et Ton obtient la résistance totale par une intégration graphique.

Si Ion a