AB < Z

le talus inférieur n*est plus en équilibre sous la plaque glissante. Il faut supposer un angle ; plus petit que l'angle du frottement et donner à cet angle la plus grande valeur possible, pour obtenir la résistance maxima. Il y a une relation entre l'angle / et la longueur de la plaque. Pour une valeur donnée de ;", on cherchera la longueur minima de la plaque par une construction analogue à celle qui nous a donné la longueur / ; la seule différence est que le diagramme rectiligne qui permet l'angle du frottement sous la plaque est remplacé par le diagramme rectiligne qui permet l'angle; ; on calculera la plus grande réduction des pressions sur le segment extrême, en supposant l'angle f sous ce segment. En diminuant l'angle ;, les ordonnées du diagramme rectiligne augmentent ; les ordonnées de la courbe des moments ANM augmentent ; il en résulte que le point M et les points N et P se rapprochent du point A ; on trouve que la longueur minima de la plaque diminue de Z à zéro pour un angle / qui diminue depuis <p jusqu'à la valeur qui est réalisée dans la solution linéaire commandée par le talus. Soit (;', \) un groupe de valeurs correspondantes ; on ne peut augmenter l'angle ; sans augmenter X ; mais on peut diminuer / et conserver A qui est alors plus grande que la longueur minima , de sorte que la valeur de ; est maxima pour une longueur donnée X et la longueur A est minima pour un angle donné /. Nous avons considéré les deux cas extrêmes d'une plaque indéfiniment flexible ou absolument invariable ; examinons le cas de la réalité. Au point de vue absolu, il faut accepter la même solution que pour la plaque indéfiniment flexible, car si la plaque fléchit, il se produit des mouvements dans les terres et l'équilibre est rompu. Mais on peut considérer ces petits mouvements comme n'ayant aucun inconvénient et alors on peut accepter la même solution que pour la plaque invariable.

206. Résistance de la plaque à V enfoncement. — Nous supposons la plaque sollicitée par une force horizontale dirigée vers les

terres et augmentant graduellement; quelle est la grandeur de cette force au moment où la plaque est sur le point de s'enfoncer dans le talus ? Nous» avons déjà indiqué (197) comment on détermine la butée du massif supérieur. Il nous reste à chercher la résistauce du massif inférieur.

Soient : AH

(flg. 143) le talus inférieur, et AB la plaque. Nous supposons que la plaque est sur le point de glisser sur les terres inférieures; en un |)oint quelconque de la face inférieure, la caractéristique du pre- Q mier système

est dirigée ^ig^ ^43. suivant la

plaque elle-même; la droite AB est un contour apparent du premier système, car si cette droite était une caractéristique, on trouverait des pressions négatives ; il résulte aussi de là que la solution est toujours à fortes pressions et située au-dessous de la plaque , quelle que soit la pression positive que Ton se donne sous la plaque. Le talus inférieur AH commande une solution linéaire de poussée ou de butée. Nous obtiendrons la butée maxima, en prenant la solution linéaire de butée AKH et en construisant une solution conique sur la caractéristique AK et le contour apparent AB, tous deux du premier système ; nous trouvons ainsi, sous la plaque AB, les fortes pressions que nous avons obtenues dans le cas d'un remblai de chemin de fer (187) ; les composantes normales de ces pressions sont beaucoup plus grandes que les pressions normales supérieures. Pour résoudre le problème proposé, nous devons adopter des pressions normales inférieures égales aux pressions normales supérieures. Nous avons désigné par Q (197) la pression au point B des terres supérieures ; la pression des terres inférieures aura la même valeur : car ces deux pressions forment l'angle du frottement avec la normale à la

plaque et 1 égalité des composantes normales entraine Tégalité des pressions. La résultante des deux composantes tangentielles est alors

R = 2 Q sin (p.

On pourrait construire l'état d'équilibre du massif inférieur, mais cela n'est pas indispensable ; nous avons dû diminuer les pressions maxima que le massif inférieur peut supporter, il y a donc un excès de stabilité. On trouverait sous la plaque, comme au numéro 203, deux nappes d'espèces différentes ; Tune pourrait être reliée à la poussée sous le talus et Tautre à la butée ; il y a indétermination comme dans tous les équilibres intermédiaires.

Lorsque l'inclinaison du talus supérieur est inférieure à Tangle p., la caractéristique AE passe sous la plaque et nous avons vu que la butée maxima du talus supérieur s'obtient par la solution linéaire. On trouve donc au-dessus de la plaque une pression P faisant un certain angle i avec la normale à la plaque. On en déduit la pression normale inférieure et les deux composantes tangentielles ; la résultante de ces dernières est

^ ^ P sin (i + y) cos 7

On obtient la résistance totale en multipliant la résistance à l'extrémité par la moitié de la longueur de la plaque.

207. Surface d'éboulement sous une voûte chargée. — Soit EF (flg. 144) un talus naturel ; on établit une construction qui se compose d'un plan vertical fixe et rigide CBD et d'un plan horizontal AB invariablement lié au plan vertical ; le plan horizontal est chargé de

terre jusqu'au niveau CE ; on demande de construire la courbe d'éboulementTN qui se produit sous le plan AB .

Fig. 144.

Dans la réalisation pratique de cette construction, le plan horizontal sera remplacé par une suite de voûtes reposant sur des contreforts ;

nous substituons un plan aux voûtes et nous négligeons le frottement sur les piédroits, afin de pouvoir appliquer la théorie des massifs prismatiq^ues.

Le plan libre CE commande une solution linéaire ; menons par A la caractéristique AM du premier système. Les terres tendent à glisser sous la voûte ; il y a donc aussi en A une caractéristique AH du premier système qui touche la voûte. Nous construirons une solution pseudo-conoïde en prenant A comme foyer ou caractéristique ponctuelle du second système, et AM comme caractéristique initiale du premier système ; nous limiterons cette solution à la caractéristique AH qui touche la voûte. Nous construirons ensuite une solution sur la caractéristique AH et le contour apparent AB ; nous obtiendrons une pression nulle en un certain point T ; la courbe d'éboulement TN sera déterminée par la caractéristique du premier S3rstème qui passe par ce point.

Nous avons de cette manière dressé les épures des figures 145 et 146 ; la figure 145 est le plan du massif et des caractéristiques ; la

Fig. 145.

flgure 146 est l'épure des pressions. Nous avons admis un coefficient de frottement égal à deux tiers. La voûte est AT (fig. 145) ; le niveau supérieur des terres sort des limites du dessin ; mais nous avons représenté, par une échelle verticale partant du point A, les centièmes de la hauteur des terres supportées. Les caractéristiques du premier système sont numérotées ; la caractéristique 1 est la caractéristique rectiligne de la solution linéaire ; la solution pseudo-conoïde est comprise entre la caractéristique 1 et la caractéristique 8 ; la solution qui touche la voûte est comprise entre la caractéristique 8 et la caractéristique 13 qui détermine la courbe d'éboulement TR. Pour ramener Tépure dans les limites du dessin, nous avons mené une coupe XY et nous avons transporté, vers le bas et vers la droite, la partie de l'épure située à gauche de cette coupe. Les caractéristiques du second système sont représentées par des lettres ; le point A est la première, la courbe M est la dernière des caractéristiques que nous avons construites ; les autres caractéristiques ne sont tracées que là où elles ont été utilisées.

Nous avons indiqué par les mêmes notations les courbes (p, u) de l'épure des pressions (flg. 146). Cette épure comprend deux parties dressées à deux échelles différentes. Les pressions sur les caractéristiques 1 à 4 sont très grandes, aussi nous avons réduit le poids spécifique à un quart. Les pressions sur les caractéristiques suivantes sont plus petites ; nous avons réduit le poids spécifique à l'unité. La pression en A sur la caractéristique 1 est représentée par le rayon qui joint le pôle de l'épure des pressions au point (A, 1) de cette épure ; les pressions en A sur les différentes caractéristiques qui passent par ce point sont représentées par la spirale A ; au point P se produit le changement d'échelle, la spirale continue dans la seconde partie de l'épure jusqu'à la courbe 8. Cette spirale peut être construite par tangentes successives ; on peut aussi calculer les rayons vecteurs par logarithmes. Nous avons, au numéro 157, exposé une méthode qui permet de construire la courbure e d'un arc s de caractéristique porté à partir du foyer ; cette courbure est donnée par la formule

On peut construire h' et obtenir l'angle représenté par le premier terme. On arrive à une construction plus élégante en remplaçant //' par sa valeur ; on trouve alors

s cos w sin (w + ^) , f.

Rappelons que nous avons posé :

tang &> >» 3 tang ^ , >j = « 4- ^•

Menons les droites OS et ON telles que

8oœ = 2a, NOS - <ù.

Soit, par exemple, à construire la courbure d'un arc de la caractéristique 4 ; ou a .

portons

et projetons orthogonalement OS sur ON ; je dis que l'on a

g « ~ NPO + p.

En effet, décrivons l'arc de cercle ON' du point P comme centre ; au degré d'approximation où nous nous plaçons, on a

ON' ^ ON sin NOP «- — ON sin (w + yj),