COS (D

on a encore

dy dœ

y' -= ITZr =^i — Wo.

L'équation (57) donne :

COS (f ^ y

On en déduit :

dy =^y^ dx = '^ ( log -^ - 1 ) dy\

COS© \ y

2 COS f \ y

On peut déduire de là un résultat utile. Pour construire une solution en partant d'une caractéristique rectiligne, il faut se donner la constante G ou un élément qui la remplace ; on peut se donner la courbure totale d'un arc AB de la caractéristique de l'autre système.

Pour appliquer l'intégration graphique approchée, nous remplacerons cet arc par les deux tangentes extrêmes ; on peut alors se demander s'il ne convient pas, pour tenir compte de ce que la courbure est nulle au point A, de prendre des tangentes inégales. L'abscisse du point d'intersection des deux tangentes est donnée par la formule

On en déduit facilement pour x décroissant indéfiniment :

lim — -- == -r- • X 2

Ce résultat s'explique facilement ; la courbure est nulle au point A, mais le contact de la courbe avec sa tangente n'est pas du second ordre ; c'est un contact logarithmique qui se rapproche plus d'un contact du premier ordre que tout autre contact algébrique.

Nous avons considéré le cas d'une caractéristique du premier système et d'une constante positive, nous aurions pu traiter de la même manière les autres cas. Quand la constante est petite en grandeur absolue, on trouve une nappe limitée par une caractéristique rectiligne et un contour apparent qui touche les caractéristiques de même système. Lorsque la constante est plus grande, on trouve que l'angle e peut changer de signe ; le rayon vecteur qui correspond à la valeur zéro de s est une caractéristique de système opposé, mais on s'éloigne trop de la caractéristique initiale, pour admettre la formule (57).

140. Classification des solutions coniques. — Nous diviserons les solutions coniques en deux classes : les solutions à faibles pressions et les solutions à fortes pressions. Nous justifierons cette classification par le théorème suivant : si en un point d'une solution conique la pression p est plus petite ou plus grande que la pression jp' dans la solution linéaire qui admet la valeur de u au point considéré comme valeur constante de w, cette inégalité subsiste dans le même sens dans toute l'étendue de la solution analytique, sauf sur les génératrices d'arrêt où l'inégalité devient une égalité.

En effet, si l'inégalité changeait de sens, il y aurait un point de la solution où l'on aurait

prenons les valeurs de 6, w, q en ce point comme valeurs initiales ; nous savons qu'il y a qu'une seule intégrale qui satisfait à ces conditions initiales ; or, la solution linéaire y satisfait certainement puisqu'elle donne la même pression pour les mêmes valeurs de et de u ; donc l'égalité précédente existerait dans toute la solution, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ce raisonnement n'est en défaut que si Ton se place sur une carétéristique rectiligne ; par cette caractéristique rectiligne, il passe une infinité de solutions, y compris la solution linéaire ; on a toujours sur cette caractéristique

mais comme c'est une génératrice d'arrêt, le changement de sens de l'inégalité ne peut pas se produire.

Nous avons, au numéro 134, divisé les nappes d'une solution conique en deux espèces ; une nappe est de première ou de seconde espèce selon que la première ou la seconde des deux inégalités suivantes est satisfaite :

— sin (w -|- a — 6) sin (u — a — 6) ^ 0.

Il résulte de là que les génératrices qui séparent deux nappes d'espèces différentes doivent satisfaire à Tune des deux égalités suivantes :

Les caractéristiques rectilignes satisfont à l'une de ces équations, mais comme ce sont des génératrices d'arrêt, elles ne peuvent séparer deux nappes d'une même solution analytique. Mais les génératrices qui forment contour apparent satisfont aussi à l'une de ces deux équations, car leurs projections enveloppent les caractéristiques de l'un ou l'autre système. On voit donc que si une solution conique se compose de nappes de plusieurs espèces, ces nappes sont séparées par des contours apparents.

Nous avons vu au numéro 134 que selon la classe de la solution et l'espèce de la nappe considérée, les caractéristiques tournaient leur concavité ou leur convexité vers le sommet. Il faut donc qu'entre deux limites successives, contour apparent ou génératrices d'arrêt,, les caractéristiques ne présentent pas d'inflexion. On peut démontrer directement qu'il en est ainsi.

On ne pourrait avoir d'inflexion que si l'on avait :

du

ce qui exige

Z = on p = p\

Nous avons démontré plus haut que cette dernière égalité n'existe que sur les génératrices d'arrêt d'une solution non linéaire. Les caractéristiques de l'autre système présentent un point d'arrêt ; il n'y a pas d'inflexion.

Nous avons, au numéro 138, établi une règle pour déterminer si la caractéristique rectiligne limite la solution à droite ou à gauche. Les contours apparents limitent aussi les solutions dans le plan ; on peut les classer en deux systèmes, selon qu'ils touchent les caractéristiques du premier ou du second système. Nous allons démontrer

qu'un contour apparent d'un système limite à droite une solution qui peut être limitée à gauche par une caractéristique de ce système, et vice versa. >

Soit (fig. 89) OA un contour apparent ^ du premier système ; r le rayon de courbure au point A de la caractéristique qui touche le contour apparent ; appliquons la formule (52) du numéro 133 :

HF

4p tangcp

Le point H est le centre de courbure de la caractéristique du premier système ; le point F est le centre de courbure de la caractéristique du second système et se confond avec le point de rebroussement ; on a donc

on en déduit

HF = + r

Fig. 89.

r 4p tang <p

d'où p<p''

Si la solution était à gauche du contour apparent, oir «lurait au contraire :

HF =- - r d'où

Ainsi un contour apparent du premier système limite à gaucho une solution à faibles pressions et liiiiite à droite une solution à fortes pressions, tandis que la caractéristique du premier système limite à droite une solution à faibles pressions et limite à gauche une solution à fortes pressions.

On démontre delà même manière qu'un contour apparent de second système limite à droite une solution à faibles pressions et limite k gauche une solution à fortes pressions.

On peut dès lors se faire une idée de la disposition des nappes d'une solution conique. Supposons une solution à faibles pressions et partons d'une caractéristique re(îtiligne du premier système. La première nappe sera de première espèce, limitée h droite par la

caractéristique roctiligQo de premier système, à gauche par un contour apparent du même système ; puis les nappes seront alternativement de seconde et de première espèce, les contours apparents de second et de premier système. Les nappes de première espèce- sont à caractéristiques concaves vers le sommet ; ce sont les seules qui peuvent avoir des génératrices d'arrêt ; le nombre de nappes est donc impair ; la dernière nappe doit avoir une limite h gauche ; cette limite est donc une caractéristique de second système. Une solution conique ne peut donc pas avoir deux caractéristiques rectilignes de même système. La caractéristique de second système présente la forme indiquée (figure 90J. Le premier arc AB est concave vers le sommet ; le point A situé sur la caractéristique initiale est un point d'arrêt, le point B est un point de rebroussement situé sur un contour apparent de premier système. Le second arc BC est convexe vers le sommet, il touche en C un contour apparent de second système. Le troisième arc CD présente en D un rebroussement sur un contour apparent de premier système, et ainsi de suite. Le dernier arc EF présente une branche infinie qui est parallèle à l'infini à la caractéristique de second système qui limite la solution.

Pour une solution à fortes pressions, on aurait une disposition analogue, mais il fau- Fig. 90 drait changer les systèmes des caractéristiques et des contours apparents.

14L Représentation pm* une congricence de courbes, — Portons les variables g, u, Q en coordonnées ; une solution des équations différentielles sera représentée par une courbe ; l'intégrale générale, qui contient deux constantes arbitraires, sera représentée par une infinité double de courbes. Une caractéristique rectiligne est représentée par un point ; l'ensemble des caractéristiques rectilignes du premier système est représenté par une courbe D, l'ensemble des caractéristiques rectilignes du second système par une courbe D'. Par un point de D, il passe une infinité simple de solutions ; par tous

les points de D, il passe une infinité double de solutions. De même par tous les points de D', il passe une infinité double de solutions, n n'est pas démontré que ces trois infinités doubles se confondent ; il n'est pas douteux cependant qu'il en est ainsi. Il serait sans exemple que pour un système d'équations différentielles indécomposables, on puisse décomposer l'intégrale générale en deux ou plusieurs intégrales à dQux constantes arbitraires.

L'intégrale générale est donc représentée par une congruence de courbes à deux directrices. De plus, il ne parait pas douteux que les points où ces courbes s'appuient sur les directrices sont toujours réels ; car généralement un point devient imaginaire quand il fait partie d'un groupe de deux points qui se confondent avant de donner naissance à deux points imaginaires conjugués ; or, nous avons démontré précédemment qu'une solution ne contient jamais deux caractéristiques de même système, c'est-à-dire que la courbe qui la représente ne peut pas passer par deux points de la courbe D ou deux points de la courbe D'. Ces propositions n'étant pas démontrées, on peut les considérer comme de simples prévisions ; on peut les vérifier en discutant ou en construisant les différentes solutions.