SOLUTIONS A FORTES PRESSIONS

146. SoliUion à une nappe, — Partons de la solution linéaire (fig. 94) où la verticale OA est la direction des pressions minima ; soient AB, OB les caractéristiques du premier et du second système.

Augmentons la pression en A suffisamment peu ; nous obtiendrons une na])pe de seconde espèce à fortes pressions ; les

Fig. 94.

caractéristiques sont concaves vers le sommet ; on obtiendra une caractéristique AC différant d'une droite aussi i)eu que l'on voudra ; on trouvera un rayon OG qui forme avec la caractéristique un angle aigu égal à 2a ; c'est une caractéristique du second système, car un contour apparent du second système ne peut limiter à droite une solution à fortes pressions. On obtient donc une solution à une nappe limitée par deux caractéristiques de systèmes différents et disposées symétriquement par rapport à la verticale. En augmentant graduellement la pression en A, on trouve des solutions du même genre ; les caractéristiques se rapprochent des talus naturels OD et OD' ; on finit par obtenir une solution limitée par ces deux talus naturels. En faisant tourner OA, on trouve des solutions à une nappç non symétriques.

147. Solutions à trois nappes. — Partons de la solution linéaire (fig. 95) où la verticale OA est la direction des pressions maxima ; soient OB et AB les caractéristiques du premier et du second système.

Faisons croître la pression en A, nous obtiendrons une nappe de première espèce à fortes pressions ; donc les caractéristiques tournent leur convexité vers le sommet ; on trouvera comme limite à droite un contour apparent OC du premier système, puis une nappe GOD de seconde espèce.

En faisant croître la pression, la caractéristique OD du premier système se rapproche de la verticale, la dépasse et atteint le talus naturel OM. On obtient ainsi des solutions symétriques à trois nappes. En faisant tourner OA, on obtient des solutions non symétriques à trois nappes qui présentent les dispositions les plus variées.

148. Solutions à nappes nombreicses. — Reprenons la solution à une nappe limitée par les deux talus naturels ; c'est la solution AD de la figure 94. En augmentant suffisamment peu la pression en A, il se formera deux nouvelles nappes à chacime des extrémités, nous obtiendrons une solution à 5 nappes.

Fig. 95.

Reprenons ensuite la solution à trois nappes limitée par les deux talus naturels ; c'est la solution AEM de la figure 95 ; en augmentant suffisamment peu la pression en A, on trouvera une solution à 7 nappes, et ainsi de suite. En faisant tourner le rayon initial, on obtiendra des solutions non symétriques à nappes nombreuses.

Toute cette discussion est lort semblable à la discussion de^ solutions à faibles pressions. Il y a cependant une- différence sensible dans la disposition des nappes ; nous allons voir que si les pressions sont suffisamment grandes, la caractéristique peut tourner autour du sommet comme une spirale, avant de toucher le premier contour apparent.

149. Pressions très grandes. Nous supposerons les pressions tellement grandes, que Ton puisse, dans les équations différentielles, négliger les termes qui contiennent le poids spécifique ; nous aurons alors :

du Z cos * <p

dQ ~ ~x" "" 4 sin cp sin (u -\- a — é) sin {u — a — 6) '

dq Y 2q sin 9

du Z cos * «

Eliminons la variable 0, en posant

sin {2u — 29).

nous obtenons

du