f 3 sin cp
,1 -h sin cp
3 sin cp — 1 1 — sin (p '
4 sin ©
cos * ©
Initial, on te solu-
ressions
autour
^ODiour
'essioib Mes, aurofli
Les équations différentielles deviennent, après quelques calculs :
du =
d tang V
a* — p* tang" t?
2 dq
d (a* cos* ?' — p* sin*t?) «• cos* t? — ?• sin* t?
qui ont pour intégrale générale
2 api^ = logC
a -|- ,3 tang î^ a — p tang i;
y» == c' (a* cos* r — p* sin* r).
Lorsque la constante C est négative, on peut faire v égal à un quadrant ; on trouve :
2 « p Mo = log (— C),
ql r C.
Eliminons les constantes en introduisant ces valeurs dans l'intôgrale générale ; on obtient
2 a p (n — Uo) — log --^—î-î 5 — ,
p tang r — x
* =^ Ql (sin* r — - — cosH*»).
P' Prenons comme rayon initial, le rayon qui correspond aux valeurs
u == Ho , ï -- ?o ;
nous ferons varier u de /^o à l'infini, en faisant décroître v
de
n oc
— à ?y =- arc tg — ;
on reconnaît facilement que cette dernière valeur de v est plus
grande que a ; il n'y a donc pas de contour apparent et 6 varie de Q» à Tinfini. Les caractéristiques ont la forme de spirales ; la caractéristique du premier système coupe les rayons vecteurs sous un angle qui varie
de -^ — a à v^ — a ;
la caractéristique du second système forme avec les rayons vecteurs un angle qui varie
de — + a à ^y -|- a ;
les rayons vecteurs de cette dernière caractéristique passent par un minimum pour
Le rayon initial est un axe de symétrie. En partant de ce rayon, la pression décroit de g© à zéro. La surface conique qui représente les pressions dans le plan est engendrée par une droite dont la projection sur le plan effectue une infinité de révolutions autour du sommet et dans les deux sens à partir d'un axe de symétrie ; la génératrice fait avec le plan un angle qui décroit indéfiniment en partant de la génératrice située dans le plan de symétrie.
Lorsque la constante G est positive, on peut faire r égal à zéro ; on trouve :
2 a p i^o = log G
Eliminons les constantes en introduisant ces valeurs dans l'intégrale générale ; on obtient :
2 aP {il — Uo) =■ log
a — p tang v
= ql (cos* V — — r sin* vf*
Prenons, comme rayon initial, le rayon qui correspond aux valeurs
nous ferons varier uàeUok Tinfini, en faisant croitre v de zéro à v^ ; il y aura un contour apparent pour
Nous savons déjà que nous avons d'abord une nappe de première espèce, que les projections des caractéristiques sont convexes vers le sommet ; on vérifierait facilement que Ô décroit jusqu'au contour apparent. La caractéristique du second système présente alors un rebroussement et devient concave vers le sommet ; la caractéristique du premier système touche le contour apparent et devient aussi concave vers le sommet.
Les angles formés par les caractéristiques et les rayons vecteurs tendent alors vers les limites
comme dans le premier cas. On reconnaît facilement que la pression q décroît à partir du rayon initial qui est un axe de symétrie.
En résumé, on peut trouver une solution à une nappe de seconde espèce d'une étendue angulaire infinie ou bien une solution à trois nappes dont une est de première espèce tandis que les deux autres sont de seconde espèce et d'une étendue angulaire infinie. Ces solutions seraient exactes si les terres n'étaient pas pesantes ; elles ne sont qu'approchées lorsque la terre est pesante et que les pressions sont très grandes. Nous avons vu que la pression décroit jusqu'à zéro, il arrivera donc un moment où ces solutions cesseront d'être approchées ; on se trouvera alors dans les conditions ordinaires et la solution se terminera par une succession de nappes et une caractéristique.
Nous avons posé
3 sin CD — 1
1 — sin CD
nous avons donc supposé
sm ç > —
ea excluant les cas où le coefficient de frottement est très petit. Dans ce cas, on doit poser
1 — 3 sin cp
1 — sin (p '
on trouve les intégrales
tang V = -r- tang a (3 (w — Uo),
q- == ql (cos* ^ +- '^ sin'- v}-
En faisant croit. . ii de Uo à l'infini, v croit de zéro à Tinfini et l'on trouve une infinité a. lappes séparées par des contours apparents que l'on obtient en posant
tang V = dt tang a.
Prenons comme rayon initial le rayon qui correspond aux valeurs
2^ = Mo, V = Oy q =^ qo l
c'est un axe de symétrie.
Nous savons déjà que nous trouverons à droite de cet axe une demi nappe de première espèce ; on peut le reconnaître en discutant la valeur de 9. Cette nappe est limitée à droite par un contour apparent du premier système que l'on obtient en posant :
tang V == a.
En faisant croître f jusqu'à un quadrant, on trouvera une demi nappe de seconde espèce ; le rayon qui correspond à la valeur d*un quadrant est évidemment un axe de symétrie. Soit G l'angle qui détermine ce second axe de symétrie ; on a :
« P («. - iQ ^ -2' ^' = ~ 6, -= u, — v„ 9o =" î<o, 6 , — 9o = M, — M, — t\
» W ^^la W ^lil» . M^^ .^ ^ ^~
Or,
donc,
Y 1 — sm (p ^
Il résulte de là que la nappe de seconde espèce a une étendue angulaire plus grande que la nappe de première espèce. Des nappes identiques vont se produire successivement dans les deux sens.
Il y a ensuite à considérer le cas intermédiaire où Ton a :
smcp - —^ ;
On trouva
tang V a* {u — Wg),
q* = ql cos' V.
On trouve une solution à 3 nappes ; Tune est de seconde espèce et limitée par les contours apparents qui correspondent à
tang t? == ± a ;,
les deux autres sont de seconde espèce et leurs étendues angulaires sont infinies.
Ce cas intermédiaire est à la fois la limite du premier et du second cas. Dans le premier cas, la solution à deux nappes disparaît et la solution à trois nappes se transforme en faisant converger <p vers la valeur de passage. Dans le second cas, on trouve
lim (6. — So) = 00
en partant d'une nappe de première espèce, on trouve deux nappes de seconde espèce illimitée. Si on exclut les valeurs très petites de <p, on trouve que l'étendue angulaire des nappes de seconde espèce est toujours très grande ; la pression sur Taxe de symétrie d'une de ces nappes est donnée par la formule
lar^m
elle est beaucoup plus petite que g© ; oh revient donc aux pressions ordinaires et Tinfluence du poids des terres se fait sentir. Il serait assez long d'examiner complètement toutes les dispositions qui peuvent se présenter.
150. Solution linéaire. La solution linéaire peut s'obtenir comme limite des solutions à fortes pressions ; il suffit de reprendre les raisonnements du numéro 145, mais en donnant, à la constante de réquation (57), une valeur négative infiniment grande et une valeur négative infiniment petite. La constante infiniment grande donne une solution à trois nappes ; la première, qui est de seconde espèce, a pour limite la nappe AOCCflg. 93); la seconde a pour limite la nappe COH ; la troisième disparait. La constante infiniment petite donne une solution à trois nappes ; les deux extrêmes disparaissent ; la nappe intermédiaire, qui est de première espèce, a pour limite la nappe AOB de la solution linéaire.
Applications.
151. Profil polygonal. — Nous avons vu (124) que, si le profil des terres comprend un angle rectiligne, les côtés commandent deux solutions linéaires que Ton doit réunir par une solution conique déterminée par deux caractéristiques de systèmes opposés. Lorsque les caractéristiques forment un angle plus grand que Tangle formé par les caractéristiques en un point non singulier, on trouve une solution à une nappe. Gela se présente, dans la poussée des terres, lorsque l'angle est convexe vers le haut ; c'est le cas de la figure 76 du numéro 124, on obtient une nappe, de première espèce à faibles pressions (142). Cela se présente aussi, dans la butée des terres, quand l'angle est concave vers le haut ; l'épure circulaire indique immédiatement que les caractéristiques rectilignes forment un angle plus grand que le supplément de 2a; on obtient une nappe de seconde espèce à forte pression (146).
Dans la figure 81 du numéro 126, nous avons supposé un angle concave vers le haut et cherché l'état d'équilibre qui correspond à la poussée des terres. On est amené à construire une solution conique sur deux caractéristiques formant un angle plus petit que l'angle ordinaire ; il n'existe pas de solution à une nappe, car les caractéristiques seraient convexes vers le sommet, et dans ce cas, il n'y a pas de caractéristique rectiligne (138). On peut construire une solution à forte pression à trois nappes (147), comprenant deux petites nappes de seconde espèce qui envahissent les solutions linéaires et une nappe de première espèce. Cette solution est physiquement impos-
sible, mais elle fait prévoir la véritable solution qui est une nappe de première espèce, séparée des solutions linéaires par des discontinuités finies. On peut construire sur les deux caractéristiques une solution à trois nappes à faibles pressions (143), mais elle ne conduit à rien.
Dans la butée des terres, c'est le cas de Tangle convexe vers le haut qui donne deux caractéristiques rectilignes faisant un angle plus petit que Tangle ordinaire. On trouve une solution à faibles pressions, à trois nappes (143) ; les nappes extrêmes, qui sont de première espèce, envahissent les solutions linéaires.
Cette solution est physiquement impossible, mais elle fait prévoir la solution vraie qui est une nappe de seconde espèce à faibles pressions séparées des solutions linéaires par deux lignes de discontinuité finie.
152. Murs de soutènement, — Dans la butée comme dans la poussée des terres, on doit construire une nappe comprise entre le mur et une caractéristique ; c'est une nappe de solution conique si le profil du mur et la caractéristique sont rectilignes. Le mur forme généralement contour apparent ; la nappe est possible si le mur ne dépasse pas la caractéristique. En prolongeant cette nappe, on trouvera presjque toujours une solution à trois nappes ; pour obtenir une solution à nappes nombreuses, il faut que le mur et la caractéristique forment avec le talus naturel des angles très petits, ce qui est exceptionnel. Si on suppose un mur indéfiniment poli ou à faible coefficient de frottement, il peut être impossible de construire une nappe satisfaisant aux conditions du mur et de la caractéristique. Soit (fig. 96j un mur indéfiniment poli AB présentant un fruit vers les terres ; on doit construire une nappe sur la caractéristique AC et admettant AB comme facette principale à pression minima ; cette nappe est impossible, car si elle existait, on obtiendrait une caractéristique convexe vers le sommet, et une nappe de cette nature ne peut avoir de caractéristique. La caractéristique du second système est concave en partant de la caractéristique AC ; on trouvera une caractéristique de la forme CEB présentant un rebroussement en Ë ; elle appartient à une solution à fortes pressions Pig. 96.
et généralement à trois nappes ; elle comprend une nappe de seconde espèce AGE, une nappe de première espèce dont une partie seulement est conservée. On peut démontrer qu'il est toujours possible de satisfaire à la condition du mur, car en faisant varier la constante qui détermine la solution construite sur AC comme caractéristique, on doit obtenir les deux solutions linéaires situées au-dessus et en dessous de AC. En prenant une constante infiniment petite, on trouvera une caractéristique qui aura pour limite le prolongement de DC et fait un angle trop grand avec le mur. En augmentant indéfiniment la valeur absolue de la constante, la caractéristique aura pour limite la caractéristique brisée GDF appartenant aux deux solutions linéaires déterminées par le plan libre AD. Le contour apparent du second système peut donc se relever jusqu'à la droite AH, parallèle à DF, et passera par la position AB. Dans ce dernier cas, la caractéristique fait un angle nul avec le mur. Entre les deux solutions qui fournissent un angle trop grand et un angle nul, il existe une solution qui donne un angle juste.
153. Solution psetuio-coniqiie. — Nous supposons que le profil du terrain comprend deux courbes formant un angle curviligne. Le sommet de cet angle sera un point singulier analogue an sommet d'une solution conique. Les deux courbes commandent deux solutions régulières ; on doit les réunir par une solution déterminée par deux caractéristiques curvilignes de systèmes différents ; ces dernières forment un angle plus petit ou plus grand que l'angle formé par les caractéristiques en un point non singulier. Au sommet de cet angle, la fonction u prend une infinité de valeurs comprises entre deux limites. Considérons un fragment infiniment petit du massif autour du point singulier ; adoptons un rapport de similitude infiniment grand et passons à la limite ; nous obtiendrons, comme limite relative, une solution conique dans laquelle les courbes ixissant par le point singulier sont remplacées par leurs tangentes ; les caractéristiques rectilignes de cette solution conique sont les tangentes aux caractéristiques curvilignes de la solution primitive. On obtient ainsi approximativement les formes des caractéristiques à grande courbure dans les environs du point singulier ; on peut reconnaître l'existence de contours apparents ou de discontinuités finies. On peut aussi étudier de cette manière la forme approximative des caractéristiques dans les environs du point d'intersection d'un mur curviligne et d'un terrain curviligne.
(A contimier.)
MÉMOIRE
