CONSTRUCTIONS DE SOLUTIONS CONTINUES RÉGULIÈRES
OU IRRÉGULIÉRES.
110. P7'oblême général . — On donne les pressions le long d'une
^ Jf courbe ABCO (fig. 69) ; on peut
donner les fonctions p et ?a ou deux des composantes qui figurent dans réquation (11). On peut aussi donner, en grandeur et direction, la pression sur la courbe ; on sait qu'on peut alors déterminer, par l'épure circulaire, toutes les pressions au point considéré. Nous supposons que la courbe ABCD peut être assimilée à une suite d'arcs réguliers et que les fonctions p et tt sont régulières pour chaque arc ; au point de jonction les fonctions sont continues, mais il peut y avoir des discontinuités dans les valeurs des dérivées. L'arc AB détermine une solution régulière que nous limiterons aux caractéristiques AK et EB ; de même les arcs BC et CI) déterminent les solutions BCF et CDH. Les caractéristitiues BE et BF déterminent une solution régulière P^BFd ; les caractéristiques KG et Cil détermineront la solution régulière KCHK ; les caractéristiques OE et EK détermineront la solution GEKL,et on continuerait de même en utilisant les antres arcs des courbes initiales. 11 s'agit de calculer les coordonnées de ces diflrrents points et les fonctions ;; et u en ces points.
Fiff. 69.
Nous supposerons d'abord que la courbe initiale est subdivis(^e eu arcs sulllsarnuieut petits pour pouvoir négliger les quantités très petites du second ordre. La détermination d'un nouveau point revient à résoudre le problème suivant. On donne deux points A et B, c'està-dire que Ton donne :
en A, X, y, p, u, en H, x\ \j\ p\ iC ;
on demande de trouver les coordonnées et 1rs fonctions
' i^'\ y", p"» w" en E.
Il suffit, pour résoudre ce problème, d'appliquer les équations des caractéristiques aux arcs AE et EB ; on a :
dy =^ dx tang {it — a),
dp =- 2p tang (p dit — li ds cos {n + a),
i]f — ix' tang {u + a) y
op^ =^ 2// tang ^ ou' -f ll^î^' cos (n' — a).
Nous supposons les arcs assez petits pour que les accroissements puissent approximativement être substitués aux différentielles ; nous (écrirons donc :
ffy -. f/' ^ y, ^y ^ y't yf^
dp -— />" — p, dp' ^. p" — p\
du -- u'^ — ic, du' = îi" — ît'.
Nous aurons alors quatre équations linéaires à quatre inconnues.
On peut obtenir une plus grande approximation en intégrant les équations par la formule du trapèze ; cela revient à remplacer les coefficients par la moyenne arithmétique de leurs valeurs aux deux extrémités de l'arc courbe considéré. On a alors :
tang (a — a) + tang (u" — a) % =-- 2 ^"^^
Ap =- (p + ;)'0 tang z, Au -f U Aj/.,
et ainsi de suite. En remplaçant les accroissements par leurs valeurs, on trouve quatre équations à quatre inconnues ; mais elles ne sont
pas linéaires. Aussi vaut-il mieux employer la méthode des approximations successives. Le premier calcul sera utilisé pour calculer les coerticients des dilïcrences ; on trouve alors par des équations linéaires des valeurs plus exactes de w'\ //", ;)", u".
C'est en appliquant le problème que nous venons de résoudre que Ton trouvera successivement les points F, G, H, K, L et ainsi de suite. On voit que les pressions au point L dépendent de Tare ABCD ; en changeant les pressions sur une partie de cet arc, on modifie les pressions en L. Il résulte de là que toute méthode d'intégration qui ne reposerait pas sur la considération des caractéristiques, doit être considérée comme inexacte. Ainsi, par exemple, en intégrant suivant la verticale, en utilisant les dérivées partielles par rapport à y, on, fera dépendre uniquement le point L du point L' ou d'un arc voisin de L', alors que le point L dépend des arcs AB et CD. On pourrait espérer réussir lorsque les courbes ABCD sont régulières, car en introduisant un petit arc d'une courbe régulière, on introduit son prolongement analytique ; mais dans une intégration approchée, on modifiera quelque peu ce petit arc et le prolongement analytique sera complètement changé.
117. Tnlég7*aiioH graphique. — Les calculs que nous venons d'indiquer peuvent être avantageusement remplacés par une méthode graphique. A tout point A (x, y) du plan {^\^. 70), nous ferons correspondre un point A' de l'épure des pressions ; nous obtiendrons ce point en portant a et p en coordonnées i)olaires. Nous porterons l'angle 7t — a à partir d'un axe horizontal Ox ; cela revient à porter l'angle u à partir d'un axe initial disant l'angle — a avec l'axe Ox. Le rayon vecteur qui représentera la pression p donnera en n)ème temps la direction de la tangente à la caractéristique du premier .système. La détermination de toutes les pressions revient à résoudre le problème suivant :
connaissant les points A et B sur les deux épures {ûg, 70), c'est-àdire
X, y, p, îù et x\ y\ p\ u\
trouver sur les deux épures le point E situé à l'intersection des caractéristiques AE et BE de système opposé.
Nous négligerons d'abord, dans une première approximation, les quantités très petites du second
Fig. 70.
ordre. Nous obtiendrons le point E dans le plan en remplaçant les caratîtéristiques AE et BE par leurs tangentes ; remarquons que AE est parallèle à O'A' et que BE fait avec O'B' un angle constant égal à 2a. En menant les droites AD et BF parallèles aux deux talus naturels, on aura
Ay. - DE, Ay, -= FE.
Par le point A' de Tépure des pressions, menons deux axes rectangulaires œ'pLy\ dont Tun A'y' soit le prolongement de oA'. Si lepointE' est assez voisin de A', on peut admettre approximativement que les coordonnées du point E' par rapport aux axes x'My', sont :
y' = dp, x' = pdu.
L'équation de la caractéristique devient :
y' -= 2{tangç. x' + U. dy,.
Il résulte de là que le point E' se trouve sur une droite que Ton construit en portant :
A'R = II. dy, = n. DE
et en remarquant que cette di'oite, qui a pour coefficient angulaire 2 tang ip, fait avec Taxe A'x' un angle constant 'j/ que Ton peut construire facilement ; on a :
tang ']/ =■ 2 tang '^.
Nous pouvons appliquer le même raisonnement à la seconde caractéristique ; l'équation
op' — — 2 p' tang (p ou' + Il oy.
exprime que le point E' est approximativement sur une droite SE' que l'on obtient en portant :
et en remarquant qu'elle fait avec OS ou avec la normale à OS un angle constant ; on a :
ORE' = OSE' = -y — 'I-
Les droites RE' et SE' déterminent le point E' par leur intersection. On peut alors revenir sur la détermination du point E ; on connaît la tangente à la première caractéristique au point E ; cette tangente est parallèle à OE' ; on en déduit la tangente à la seconde caractéristique au même point E ; on pourra tracer les courbes AE et BE e\\ admettant que les tangentes aux extrémités d'un arc se coupent en un point situé à égale distance de ces extrémités.
118. Tracé plus exact. — Nous allons modifier le tracé précédent en tenant compte des petites quantités du second ordre. Supposons le problème résolu et remplaçons (fig. 71) les arcs AE et BE par les polygones ACE, BDE formés par les tangentes extrêmes. Nous calculerons plus loin les erreurs commises par cette substitution. Appliquons l'équation de la première caractéristique à la droite AC ; nous aurons :
La pression en C est donc :
p + VLK
h désignant Taccroissement de y, en passant de A en C. On portera alors :
Au point C, il y a variation brusque de Tangle it ; nous considérerons le point C comme la limite d'un arc de caractéristique cà
courbure infiniment grande ; en appliquant Téquation de la caractéristique à cet arc, nous trouvons :
dxj, =0, dp = 2ptang<pdt^,
2 tang ç u p ^ Ce
C'est réquation d'une spirale logarithmique qui coupé les rayons vecteurs sous un angle complémentaire de l'angle '|. La variation de pression en C, sur l'arc infiniment petit dont il a été question et qui est réduit à zéro, sera représentée par un arc C'C" de spirale.
Nous devons alors nous déplacer sur la droite CE ; on a :
du = 0, dp = n dy, ;
la pression augmente de :
n Ay, = Uk.
On portera :
C"E' ^ Uk
et l'on aura la pression O'E' au point E.
On peut appliquer le même raisonnement à l'arc BE de la seconde caractéristique ; on la remplace par le polygone BDE. On trouve pour le segment BI).
du = 0, 8p = n 5y„
Le point D sera considéré comme la limite d'un arc infiniment petit ; on a :
5y ^ «= o, ojo = — 2 jD tang (p ou,
— 2u tang (f p ^ C e
Les pressions en D sont représontoes par un arc de spirale loga-
rithinique D'D". Enfin pour le segment DR, l'accroissement de pression est :
D"E' = IIA',
Les arcs de spirales GG" et D'D" peuvent être tracés avec la plus grande facilité. On peut d'abord construire les spirales X et Y en prenant des constantes arbitraires ; on y arrive, soit en calculant les rayons vecteurs par logarithmes, soit par tangentes successives, en utilisant la propriété que ces spirales coupent les rayons vecteurs sous un angle constant complémentaire de l'angle ^. On trace une circonférence quelconque passant par le point ; les directions des tangentes aux spirales sont données par les droites qui joignent deux pointa axes U et U' au point où le rayon vecteur rencontre la circonférence. On peut utiliser l'épure circulaire ; on a :
tang ^ -^ 2 tang y -= tang KSO.
Les pôles des directions des tangentes sont le point V situé sur SK et le point V tel que :
arc OV = arc OV.
Toutes les spirales sont homothétiques des spirales X et Y ; les directions des cordes C'C" et D'D" sont données par les cordes homothétiques.
On peut aussi construire un patron en forme de cœur, au moyen des deux spirales ; en fixant le pôle au pôle de l'épure des pressions, on construit les arcs de spirales avec autant de facilité que les lignes droites.
jNous avons supposé le problème résolu ; montrons maintenant comment on déterminera le point E et la pression en ce point. Si l'on a appliqué la méthode du numéro précédent, on connait la position du point E avec assez d'approximation pour fixer définitivement les points G et D ; on prendra AC ei BI) égaux approximativement aux moitiés des cordes AE et BE. On se donne CE et on construit la pression OE' en partant de A et en partant de B ; on trouve deux points différents au lieu d'un seul. On fait tourner CE, les deux points décrivent deux courbes qui se coupent au point E' cherché. Les fausses positions du point E' sont si rapprochées de la vraie position, que les courbes seront remplacées par des droites. Il arrivera même souvent que le premier essai donnera deux fausses positions du
point E' si rapprochées, qu'on remplacera les courbes par les tangentes. On sait construire ces tangentes si Ton suppose que la rotation de CE est insensible et que Ton peut considérer k et K comme constants.
On peut aussi opérer de la manière suivante. On a tracé définitivement AC, BI) et les spirales G'CetD'D" ; le point cherché E' doit satisfaire à la condition :
Le lieu des points E, satisfaisant à la condition que k — K est constant, est une verticale ; on a donc :
C"I)" = Il (A - A') = n. M N.
On essaie une direction CE ou OE' et Ton porte cette valeur de C"D" ; on trouvera une fausse position H du point D" qui ne sera pas sur la spirale D'D" ; ce point H décrira une courbe qui coupera cette spirale au point cherché.
Avant de commencer Tépure des pressions, il faut choisir Téchelle des pressions jy ; ce qu'il y a de plus simple, c'est de représenter la pression p par la hauteur d'une colonne de terre dont le poids est cette pression, c'est-à-dire de représenter la pression p par
Si on divise les équations dos caractéristiques par II, et si on remplace alors
par /),
on obtient les mêmes équations que si Ton avait pris un poids spécifique égal à l'unité ; il en est de même des équations aux dérivées partielles. On a alors :
Quelquefois il peut être utile de prendre une échelle plus grande ; pour doubler ou tripler l'échelle des pressions, il suffit de prendre un poids si)écif1qne é^al à deux ou à trois. On aura alors :
A'cr = 2h ou 3A, etc.
On remarquera que les épures ainsi construites peuvent être appliquées à un poids spécifique quelconque ; ce n*est que pour construire réchelle des pressions en kilogrammes qu'il faudra utiliser le poids spécifique des terres. Enfin Téchelle des longueurs peut être choisie arbitrairement sans changer Tépure ; cela résulte du principe de similitude exposé au numéro 102.
119. Démonstration. — Il nous reste à démonti'er que l'intégration graphique qui précède est exacte au troisième ordre près. Reprenons l'équation de la première caractéristique :
dji = 2p tang ^ du + II dy^.
Soit :
dy, , , ^ c lu — u.Y
-^ ^Y = a + b {it -• u:) + g +...
On peut intégrer l'équation de la caractéristique de w, à w, ; on trouve :
u^ 2 tang (p (w, — u^) Ç 2 tang 9 {ii^ — u)
Pi = P. ^ + U J ^ ^ ^^•
Or, on a :
2tangyK-w) 2tangcpK-w) e ^i-\ ^
4 tang* y {u^ — ny + 1.2 "^••"
Posons :
La valeur de p, devient :
2 tang ç (m, — M,) p.. = P. e + n (F. + 2 tang <p P. + ),
Nous pouvons construire cette expression en portant (flg. 72) :
BC = HAy. -= nP.
AB et CD étant les arcs de la spirale
2 tang (p u p^Ce
On obtient :
2tang(p(?^, — -wj
P.==^Poe
2 tang ç (w, — u')
+ IlAy. e
ou bien :
Fiiî. 72.
2 tang o (^i^ — u^) p,—p,e * +11 [F. + 2 tang y (^^, — w') F. + ...]
En identifiant cette valeur avec la valeur de p, qu'il s'agit de construire, on trouve :
{u, — li) F, = F, + ...
Cette équation détermine le rayon OB suivant lequel il faut porter A«/, ; on trouve facilement :
Gela donne une première méthode d'intégration.
Cherchons maintenant à construire 79, en divisant ly^ en deux parties A et A et en portant :
AE = n A , FD == n A,
EF étant toujours un arc de la spirale dont il a été question précédemment. On a alors :
2 tang <p (?fc, — u^) Pi = </>o + n A) e + U k
ou bien :
2 tang <f (m. —u^) p, ^ p„e + n ! AH" A + 2 tang 9 (u^ - ll^^)h + ...J
En identifiant avec la valeur qu'il s'agit de construire, on trouve :
Il s'agit de montrer que ces valeurs de A et A sont précisément les Ay, relatifs aux tangentes menées aux extrémités de l'arc de la caractéristique. Si nous donnons à A et A ces nouvelles significations, on a :
A cotg Wj, -f- A cotg w, -= J cotg w. df/.
Or :
cotg (ù = cotg [w, - {u, — u)] --- cotg W, H !t-5
sm*w^ {u^ — tiy 2 cosci), "• ;"2 sin'w. '^ •••
dy = Fdw.
On a donc :
AcOtgWo + A cotg û), = F, COtg'O, -|- -:— I
sm 0),
2 F, cotg M^ ■^ sin'wi "^ •••
Remplaçons F, par h I A ; il vient :
Or : Wo == w. — (w, — iio)
On trouve finalement :
h [it, — iio) = F, + ...
Cela démontre que les valeurs de A et A obtenues par les tangentes sont celles qui donnent /;, au troisième ordre prés. On a d'ailleurs, à l'approximation que nous avons admise :
71^ — tlp
h{u, —Uo) = F^ ^ - ■ F..
Cela prouve que Ton peut admettre l'égalité approximative des tangentes qui remplacent l'arc de la caractéristique.
En utilisant les formules que nous venons d'établir, on peut imaginer une construction où l'on tient compte des quantités très petites du troisième ordre. Nous conservons à A la même signification, mais nous écrivons sa valeur en tenant compte des termes du troisième ordre :
A (cotg «„ — cotg w J -= . , ' + . , cotgû). + ...
Sin (ù^ Mil 0)|
h (m. — zi,) [1 + {u, — ^^J cotg «J =- F. + 2 F, cotg co,.
On trouve facilement :
u, — it^
On a donc :
h {u, — u,) = F. [ 1 — cotg 6), J
Au lion d'introduire A et A daus rintcgratiou graphique, nous reiTiplacerous h par y;, valeur à déterminer, et k par Ay, — y; ; en identifiant les valeurs de /;,, on trouve alors :
yj {u^ — u,) [ l + {u, — u,) tang cp ] = F, + 2 tang ^ V\ + ... Remplaçons F, par sa valeur écrite plus haut, il vient :
/ it, — llo
y; {u, — Wo) =- F. I 1 — ^1 tang ^
Des valeurs de h et de yj, on tire :
y; u^ — tto
= 1 5 (tang ç — cotgw,)
On peut remplacer w. par Wq et écrire :
Tt — h cos (w^ + f ) ?^. - "o
A sin fo„ cos ç 3
Soient : AE et El) les deux tangentes aux extrémités de Tare de la caractéristique, AT, la direction du premier talus naturel, h -^ EM. Par le point E menons une perpendiculaire à AE ou à la coi-de Al); ; soit EK les deux tiers du serment de cette droite intercepté par la corde ; menons KH, li^ne horizontale qui détermine le i)oint H de ME prolongé ; je dis que Ton a :
n = mi
En effet, on a, à rapi)roximation admise :
2 u, — ^^o h ii — n^ EK = — AE —-5— = -. • -^ — -,
3 2 sm 0)0 3
Dans le triangle EKH, on a :
EH cos (&)o + 9)
EK " cos(p
On en déduit :
EH cos («0+ Cp) M, — Uo
h sin (i)o cos cp 3 '
EH = >3 — A, yj = A + EH = HM.
C'est ce qu'il fallait démontrer.
Cette méthode ne peut être appliquée que dans un travail de perfectionnement. Si Ton a déterminé plusieurs arcs successifs d'une même caractéristique, on pourra construire sur l'épure des pressions la courbe (s, u) en portant en rayon vecteur l'arc de la caractéristique augmenté d'une constante arbitraire; le rayon de courbure de la caractéristique est égal à
du '
en menant les tangentes à la courbefs, u), on peut trouver les rayons de courbures avec une certaine approximation. On démontre facilement que si l'on connait le rapport des rayons de courbure aux extrémités A et B de l'arc de la caractéristique» le point E, intersection des tangentes extrêmes, divise, dans le rapport de ces rayons, le tiers central de la projection de l'arc sur la tangente en A. On démontre cette propriété approximativement en prenant la tangente à l'origine de l'arc comme axe des x ; l'équation de la courbe se met sous la forme :
aœ* bx* , ...
L'abscisse du point d'intersection des tangentes est :
On a :
a; / bx \
1 — A p a = — , bx = ; —
La construction donne :
xo^ + 2x\\ X 3'y + zio
3 (p + p') 3 2p + Ap '
valeur qui se ramène facilement à la précédente.
On peut encore déterminer autrement la position du point d'intersection des tangentes extrêmes. Menons à la caractéristique une tangente intermédiaire également inclinée sur les tangentes aux extrémités de Tare considéré.
L'abscisse ^r" du point de contact est donnée par :
bx''^ , \ T ' bx^ 1
(ix^^ + —2 r = 2" L ^ "• 2~ "^ ••• I
X bx*
Sa En comparant cette valeur à celle de x', on trouve :
Or, on i)eut trouver .r" en menant un rayon vecteur suivant la bissectrice de l'angle des rayons extrêmes de l'arc de lacourbe ^ç, 11), Au moyen de cette bissectrice, on divise le A^en deux parties dont l'une est approximativement égale à x'\
De toutes ces méthodes, celle que nous avons exposée au numéro précédent nous parait la plus avantageuse ; elle est snflisamment exacte, si les ^u sont suffisamment petits. Il y a cependant des cas où l'on ne peut pas réduire ces A?/. ; cela se présente quand la caractéristique a une courbure très grande ; même en prenan', un arc très petit, on ne réduit pas A?^.. Ci^pendant la construction est encore applicable, car Terreur ne porte que sur le terme en dy^ et ce terme est très petit.
Rappelons la remarque du numéro 24. Au point de vue théorique, il y a une lacune à combler. Il faudrait démontrer qu'en prenant des arcs ou des A?/ suffisamment petits, les erreurs commises sont moindres que toute quantité donnée, si petite qu'elle soit. Cette démonstration parait difficile, mais on peut y suppléer. Ayant dressé une épure, on peut recommencer les opérations en prenant des arcs
plus petits ; on reconiiait ainsi, en comparant les résultats, que la méthode est d'une exactitude qui, au point de vue pratique, équivaut à l'exactitude absolue.
120. Caractéristiques à la sur/ace libre. — Le problème que Ton doit résoudre en pratique est ordinairement celui-ci : on donne la surface libre des terres et les parois du mur, déterminer les pressions. Les pressions sur la surface libre sont égales à zéro ; on reconnaît immédiatement que l'équation (16) qui donne les directions des caractéristiques est indéterminée. Pour lever cette indétermination, nous nous placerons en un point infiniment voisin de la surface libre, en donnant, à l'ordonnée f/ du point de la surface libre, un accroissement infiniment petit Ay. Nous poserons :
et nous aurons :
pxx — p\v.r Ay -f ..., p'j^ ^- p\ri, ày + ...,Puv ==pW Ay + ...
Si l'on porte ces valeurs dans l'équation (16) et si on fait converger Ay vers zéro, on trouve :
dy 2p'jy ± {p\r,r + p\y ) sln cp cos ç
dX "' - (/>V.r — P'yy ) - ip'j-x + P\u ) SiH* ?
On voit que les directions des caractéristiques sont les mêmes que si les pressions étaient /?'.,., , p[r,^ , p^,, .
Soit
dy
l'équation de la tangente au point considéré de la surface libre ; exprimons que les pressions restent égales à zéro quand on se déplace sur la surface libre ; on a :
-î — dx 4- -— i — dy ^^ o
ox ^y
— -— dx + du —'
f.x ' ryy -'
Nous tirons de ces équations, les valeurs des dérivées partielles par rapport à x ; nous trouvons, en remplaçant le rapport dy : dx par — tang i :
= pVr tang t.
ox
àp,v 6x
= p'a:v tang t,
py„ tangi.
Substituons dans les équations aux dérivées partielles de Téquilibre, nous obtenons :
p\rx tang i + p\,y = (17),
pV// tang i + p\y -= n (18).
Portons ensuite dans Téquation (11) les valeurs de p,r., , P-n* Puv ^^ point {y -|- Ay, x) écrites plus haut et passons à la limite après avoir divisé par le carré de Ay, nous trouvons :
Ces équations (17), (18), (19), sont précisément celles que nous avons obtenues au numéro 104 en étudiant la solution linéaire ,- elles donnent les pressions qui se produiraient à une profondeur verticale égale à 1, si la surface libre était la tangente prolongée indéfiniment. Il résulte de cette analyse que les directions des caractéristiques ne dépendent que de l'angle i et sont les mêmes que dans la solution linéaire que Ton obtiendrait en prolongeant la tangente indéfiniment dans les deux sens. On les obtient facilement par Tépure circulaire. Soient (flg. 69) : 01 l'épure circulaire, ABCD la surface libre ; menons les droites Oa, Oô, Oc, 0^^ parallèles aux tangentes en A, B, C, D ; les points a, b, c, d sont les pôles des facettes ; les directions des caractéristiques en A, B, G, D sont aQ', bQ\ cQ\ dQ' pour le premier système et aQ, ÔQ, cQ, dQ pour le second système. On peut alors tracer l'épure des pressions en appliquant la méthode générale.
On peut aussi déterminer la valeur de ic à la surface libre au moyen des équations (23) et (24) qui déterminent les fonctions p et u :
si ou remplace p par zéro, ou trouve deux équatious ne conlonaut que les deux dérivées partielles dcp ; eu exprimant que p reste égal à zéro eu se déplaçant sur la surface libre, on trouve entre ces mômes dérivées une nouvelle équation ; si on élimine ces dérivées entre les trois équations, on obtient une relation entre u et le cofflcient augulaire de la tangente.
Enfin, on peut aussi appliquer le principe de similitude en prenant le point considéré de la surface libre comme centre de similitude. Si le rapport de similitude tend vers Tinfini, la surface libre devient plane ; or, les directions des caractéristiques ne changent pas ; donc, au point pris comme centre de similitude, les caractéristiques ont la même direction que si la courbe libre était remplacée par sa tangente.
Supposons que Ton donne un point, la tangente et le rayon de courbure de la courbe libre et proposons-nous de déterminer les rayons de courbure des deux caractéristiques qui passent par ce point. Le problème sera résolu si Ton calcule les deux dérivées partielles de la fonction u. Nous avons démontré précédemment que la direction des caractéristiques à la surface libre ou la fonction te dépend des dérivées premières des pressions jt9.rj, p,,y, Pyy . Par un calcul analogue, on exprimerait la différentielle totale de la fonction u au moyen des dérivées secondes des pressions et Ton calculerait ces dérivées secondes au moyen des équations qui lient les pressions et en exprimant que les différentielles secondes des pressions sont égales à zéro le long de la courbe libre. On peut aussi utiliser les équations (23) et (24) ; on prend les dérivées de ces équations et on égale à zéro la différentielle seconde de p suivant la courbe libre ; on remplace p par zéro ; on trouve que les dérivées secondes de u disparaissent, mais les dérivées secondes de p doivent satisfaire à des équations surabondantes ; en éliminant ces dérivées secondes,
Fig. 73.
on trouve deux équations qui déterminent les dérivées premières de la fonction a. On peut déduire de ces calculs une construction très élégante des centres de courbure des caractéristiques, mais nous allons démontrer cette construction par une voie plus rapide.
Soient (fig. 73) : A, le point considéré, AB la tangente et C le centre de courbure de la courbe libre ; construisons par Tépure circulaire les caractéristiques AD et BI) pour la solution linéaire qui correspond à la tangente AB ; portons en sens contraire du rayon de courbure :
