SOLUTIONS A FAIBLES PRESSIONS

142. Solutions à une nappe. — Donnons-nous les valeurs de p et i^ sur un rayon initial A (fig. 91) dirigé suivant la verticale. Supposons que OA est la direction de la pression maxima en chacun de ses points et adoptons la pression^ qui correspond à la solution linéaire ; les caractéristiques OB et AB ^ forment avec OA l'angle que nous avons désigné par a. Supposons alors que la pression p diminue d'une quantité aussi petite que l'on veut ; nous obtiendrons une nappe de première espèce à faibles pressions ; donc les caractéristiques sont concaves vers le sommet. Les intégrales sont continues pap rapport aux valeurs initiales ; nous pouvons donc obtenir un arc AB' qui différera aussi peu que l'on voudra de la droite AB ; il faut cependant se défier du point B, car OB est une caractéristique rectiligne et les intégrales présentent des singularités pour les valeurs qui correspondent à ces caractéristiques.

Nous pourrons donc nous approcher du point B, mais nous nous arrêterons d'abord en un point B' sans atteindre le rayon OB.

Fig. 91.

Il s*agit alors de prolonger la caractéristique au-delà du point B'. Faisons d'abord Thypothèse que la courbure reste très petite ; en B' le rayon vecteur fait avec la courbe un angle aigu un peu plus petit que Tangle B qui est égal à 2a ; cet angle que nous désignerons par e croit quand 9 diminue ; on a, en effet,

t = u + a — 9, de du

de de

et nous supposons que la dérivée de u reste très petite. On trouvera donc un rayon OC qui donnera un angle s égal à 2a. Ce rayon OC sera une caractéristique du premier système, car il ne peut être un contour apparent puisqu'un contour apparent du premier système ne peut limiter à droite une solution à faibles pressions.

Il reste à exclure Thypothése où la courbure, au-delà du point B', prendrait une valeur assez forte pour que £ cesse de croître. Cette hypothèse est inadmissible, car si on se déplace d'un arc très petit B'C, la pression p varie très peu et dès que l'on donne une courbure sensible à cet arc, la valeur de ic diminue et il en résulte une diminution sensible de jo' ; cela est impossible, car p' doit être égal ou plus grand que p.

Si nous prenons en A des valeurs décroissantes de p, nous démontrerons comme précédemment que la caractéristique OC va continuer à s'écarter de la verticale ; mais il y a une limite qu'elle ne pourra pas dépasser, c'est le talus naturel OD. Soit AD, la solution limitée à droite par le talus naturel ; diminuons la pression en A d'une quantité aussi petite que Ton veut ; nous obtiendrons une caractéristique AD' différant aussi peu que l'on veut de l'arc AD. En prolongeant l'arc AD' par un arc à faible courbure, on obtiendrait une caractéristique passant au-dessus du talus naturel et qui donnerait une pression négative. C'est une impossibilité, car la pression serait nulle sur un rayon intermédiaire et l'on aurait un talus plan qui commanderait une solution linéaire. Remarquons que la pression p est nulle en D ; en D' les pressions p et p' sont peu différentes, donc très petites ; si on prolonge l'arc AD', la pression p diminue et l'équation (52) indique que la courbure augmente très rapidement et peut même devenir infiniment grande. Il faut donc prolonger l'arc AD' par un arc à très forte courbure qui touchera un de ses rayons vecteurs ; ce rayon sera un contour apparent du second système. En prolongeant la solution, on trouvera une seconde nappe de seconde espèce, à

caractéristiques convexes vers le sommet, puis une troisième nappe qui pourra être limitée à droite par une caractéristique du premier système.

Reprenons les solutions à une nappe, limitées à droite par des caractéristiques du premier système ; la droite OA est un axe de symétrie ; on complétera ces solutions en traçant des caract^sristiques symétriques de celles qui sont tracées ; on trouve ainsi des solutions à une seule nappe limitée par deux caractéristiques rectilignes de systèmes opposés. L'angle de ces caractéristiques varie de 2a à 4a.

Nous pouvons alors faire tourner le rayon OA, en supposant toujours que ce rayon donne la direction de la pression maxima en chacun de ses points ; pour chaque position du rayon OA, nous ferons la même discussion.

Il faudra diminuer la pression qui correspond à la solution linéaire jusqu'au moment où l'une des caractéristiques atteindra le talus naturel. Toutes ces solutions peuvent être construites par la méthode indiquée au numéro 135. La détermination des caractéristiques rectilignes se fait avec la plus grande facilité ; si on connaît, par exemple, le point B' sur les deux épures, on se donne la caractéristique OC, on détermine la pression en G en suivant OC et B'C ; on trouve deux pressions qui doivent être égales si OC est bien choisi ; on fait deux essais et l'on trouve l'extrémité de la pression exacte à l'intersection de deux droites ; on obtient en même temps la direction vraie de la caractéristique cherchée.

On peut aussi construire les solutions à une nappe en partant de l'une ou de l'autre des deux caractéristiques rectilignes. On augmente graduellement la courbure du premier arc de la caractéristique qui part d'un point de la caractéristique initiale.

143. Solutions à trois nappes. — Donnons-nous encore un rayon vertical OA (flg. 92) et supposons qu'il soit dirigé suivant la pression minima en chacun de ses points. Ce rayon sera la bissectrice de l'angle obtus formé par les caractéristiques menées par un de ses points. Prenons d'abord la solution linéaire ; nous obtiendrons AB comme caractéristique du premier système et OB comme caractéristique du second système ; cette solution est celle qui serait commandée par un terrain horizontal, quand il s'agit de la butée des terres.

Faisons décroître la pression p au point A ; nous obtiendrons une nappe de seconde espèce à faibles pressions ; les caractéristiques tournent leur convexité vers le sommet. Soit AG la caractéristique de premier système ; on trouvera toujours un rayon 00 qui formera avec cette caractéristique un angle aigu égal à 2a ; ce rayon OC ne

Fil». 92

sera pas une caractéristique, car les nappes à caractéristiques convexes n'ont pas de caractéristiques rectilignes ; ce rayon sera donc un contour apparent du second système et le point C un point de rebroussenient de la'caractéristique AC. En continuant la solution, on trouve une nappe de première espèce qui peut être limitée à gauche par une caractéristique du second système. On peut partir de la solution ACD et augmenter la pression en A pour revenir à la solution linéaire ; comme la nappe de première espèce OCD ne peut s'appliquer sur OBA qui est de seconde espèce, il faut admettre que les droites OC et OD convergent toutes deux vers Op. Les épures que Ton peut construire indiquent qu'il faut diminuer fortement la pression en A pour obtenir une nappe de première espèce d'une certaine étendue angulaire. Si on continue à faire décroître la pression, on augmente autant qu'on le veut la courbure de la caractéristique AC ; la droite OC se rapproche de la verticale ; la droite OD s'en rapproche d'abord, la dépasse et finit par atteindre le talus naturel OM ; on a la solution AEM. Toutes les solutions sont symétriques par rapport à oA. On voit que la surface conique qui représente les pressions, a d'abord la forme d'un cône ouvert par en haut; les deux nappes supérieures finissent par se couper et la section du cône prend la forme d'une ligne joignant deux points d'arrêt en formant une boucle au milieu.

Nous pouvons encore donner au rayon OA toutes les directions du plan ; partir de la solution linéaire, diminuer la pression et obtenir des solutions à trois nappes de formes très variées. Lorsque les caractéristiques rectilignes forment un angle plus grand que 2a et de sens convenable, on peut construire sur ces caractéristiques une solution à une nappe ; on voit donc qu'il arrive fréquemment que sur deux caractéristiques, on peut construire une solution à une nappe et une solution à trois nappes. Cela se présente notamment pour les deux talus naturels. On peut construire une solution à une nappe dans laquelle la caractéristique du second système est une courbe

M'K qui, à Tinfini, est parallèle à OM ; on peut aussi construire une solution à trois nappes, dans laquelle la caractéristique est M'E'A qui prolongée toucherait le rayon OE et deviendrait aussi parallèle à OM à l'inflni. Partons de la caractéristique OM' : il doit être possible, en faisant varier la constante, de passer de la solution à trois nappes à la solution à une nappe, et vice versa.

Si Ton part de M'K, on diminuera la constante pour augmenter la courbure ; il semble évident que Ton trouvera d'abord un point de rebroussement très éloigné sur une droite faisant avec OM un angle très petit ; réciproquement, si Ton part de M'E', le point de rebroussement disparaîtra en s'échappant à l'infini sur une droite ayant OM pour limite.

D'autre part, une nappe de seconde espèce ne peut s'appliquer sur une nappe de première espèce ; il faut donc qu'en s'approchant de la solution à une nappe, les deux contours apparents, ainsi que la caractéristique rectiligne, aient la même limite OM. Nous avons dit que pour la solution symétrique, la section du cône est une ligne joignant deux points d'arrêt en faisant une boucle au milieu ; pour la solution à une nappe les points d'arrêt sont les mêmes, mais réunis par un© courbe sans boucle. Nous passons du premier cas au second en conservant le point d'arrêt de droite ; la boucle s'éloigne vers la gauche et a pour limite le point d'arrêt de gauche ; entre temps, le point d'arrêt de gauche s'est déplacé pour revenir à sa position primitive. Ce raisonnement est d'application plus générale ; il explique comment on peut passer, sans discontinuité, d'une solution donnée à une solution présentant deux nappes de plus ; la caractéristique d'arrêt se déplace jusqu'au moment où elle se confond avec le talus naturel ; elle est alors remplacée par une surface conique dont la section est une boucle infiniment réduite qui s'agrandit en se déplaçant.

144. Solutions à nappes nombreicses. — Reprenons la solution AD de la figure 91 ; c'est une solution à une nappe limitée par les deux talus naturels. En diminuant très peu la pression en A, nous obtiendrons deux nappes de plus aux deux extrémités ; nous aurons donc une solution à cinq nappes.

En déplaçant OA, on obtiendra des solutions à cinq nappes présentant des dispositions très variées. Partons de la solution AEM de la figure 92 ; en diminuant très peu la pression en A, nous trouverons une solution à sept nappes, et ainsi de suite. Les tracés graphiques indiquent qu'il suffit de diminuer assez peu la pression initiale pour obtenir des solutions à nappes très nombreuses ; on a une solution

de passage quand Tune des caractéristiques d'arrêt se confond avec un talus naturel ; la ligne d'arrêt exécute des oscillations de plus en plus petites au fur et à mesure que les nappes deviennent nombreuses.

145. Solution linéaire. — La solution linéaire est un cas particulier des solutions coniques ; elle sépare les solutions à fortes pressions des solutions à faibles pressions ; on doit donc pouvoir la déduire , au moins comme limite, des solutions que nous venons d'examiner :

Soient OA, OB, (flg.

93), les caractéristiques d'une solution linéaire , respectivement du premier et du second système ; elles divisent la solution en trois parties: la partie centrale AOB est une nappe de pre- Fig. 93.

mière espèce ; les deux autres parties sont des nappes de seconde espèce. Dans les solutions coniques, les caractéristiques rectilignes menées par le sommet sont des lignes d'arrêt ; la solution linéaire fait exception ; nous ne pourrons donc pas obtenir la solution linéaire tout entière en partant d'une solution conique ; nous obtiendrons séparément chacune des parties.

Partons de la génératrice OA et donnons à la constante C de l'équation (57) une très grande valeur ; écrivons cette équation sous la forme :

e — 6^ = (m — Uo) log C — (w — Uo) log (u — Wo).

Si la constante G est suffisamment grande, on obtiendra une valeur très grande de — 9© en donnant une valeur très petite ku — Wo- H résulte de là que la caractéristique AE est une courbe à très faible courbure. En faisant croître C indéfiniment, on obtiendra la droite AF comme limite, c'est-à-dire que la partie AOB de la solution linéaire est la limite d'une solution conique déterminée par la caractéristique OA et une constante infiniment grande. L'équation rappelée plus haut devient alors, en divisant par log C :

Partons de la même caractéristique OA et donnons à la constante

C une valeur positive infiniment petite. Nous obtiendrons à gauche de OA, une nappe de première espéce,limitée à gauche par un contour apparent très voisin de OA. Nous trouverons ensuite une nappe de seconde espèce suivie d'une troisième nappe qui sera de première espèce et pourra être limitée à gauche par une caractéristique du second système. Remarquons que Ton a :

lim (log G) == — 00 ;

on trouvera donc encore la solution linéaire à la limite ; mais il faut examiner ce que deviennent les trois nappes. La première nappe se réduit à zéro, la seconde nappe aura pour limite la solution linéaire, et l'arc MG de la caractéristique du second système aura pour limite la droite AC ; mais la troisième nappe qui est de première espèce ne peut pas avoir pour limite la solution COA qui est de seconde espèce. Pour expliquer ce que devient cette nappe de première espèce, il suffit de rappeler que la solution linéaire est double, il y a la solution qui donne la poussée des terres et la solution qui donne la butée des terres ; les pressions sont représentées par deux plans qui se coupent suivant OC ; par le point G il passe alors deux caractéristiques du second système CA et ON. Or, ces deux solutions sont inséparables ; on obtient l'une ou l'autre, selon le signe que l'on donne à un radical. La solution conique va donc nous donner ces deux solutions ; le cône se résout en deux plans ; la nappe de première espèce a pour limite une partie de la solution linéaire qui donne la butée des terres; la courbe AGK se résout en deux droites, à l'instar d'une hyperbole qui se réduit en ses deux asymptotes.

Si la caractéristique OA prend la direction du talus naturel, la nappe AOC n'existe plus ; on peut se demander ce que l'on va obtenir en prenant une constante très petite. Nous savons, par la discussion du numéro précédent, qu'en prenant une constante très petite, nous trouverons des solutions à nappes de plus en plus nombreuses ; une pareille solution n'a pas de limite ; aussi la solution que l'on obtient par cette limite disparait.