HF

Fig. 89.

r 4p tang ^

d'où p < p'.

Si la solution était à gauche du contour apparent, on aurait au contraire :

HF-- - r d'où

Ainsi un contour apparent du premier système limite à gauche une solution à faibles pressions et limite à droite une solution à fortes pressions, tandis que la caractéristique du premier système limite à droite une solution à faibles pressions et limite à gauche une solution à fortes pressions.

On démontre delà même manière qu'un contour apparent de second système limite à droite une solution à faibles pressions et limite à gauche une solution à fortes pressions.

On peut dès lors se faire une idée de la disposition des nappes d'une solution conique. Supposons une solution à faibles pressions et partons d'une caractéristique rectiligne du premier système. La première nappe sera de première espèce, limitée à droite par la

caractéristique rectiligne de premier système, à gauche par un contour apparent du même système ; puis les nappes seront alternativement de seconde et de première espèce, les contours apparents de second et de premier système. Les nappes de première espèce sont h caractéristiques concaves vers le sommet ; ce sont les seules qui peuvent avoir des génératrices d'arrêt ; le nombre de nappes est donc impair ; la dernière nappe doit avoir une limite à gauche ; cette limite est donc une caractéristique de second système. Une solution conique ne peut donc pas avoir deux caractéristiques rectilignes de même système. La caractéristique de second système présente la forme indiquée (figure 90j. Le premier arc AB est concave vers le sommet ; le point A situé sur la caractéristique initiale est un point d'arrêt, le point B est un point de rebroussement situé sur un contour apparent de premier système. Le second arc BC est convexe vers le sommet, il touche en C un contour apparent de second système. Le troisième arc CD présente en D un rebroussement sur un contour apparent de premier système, et ainsi de suite. Le dernier arc EF présente une branche infinie qui est parallèle à Tinfini à la caractéristique de second système qui limite la solution.

Pour une solution à fortes pressions, on aurait une disposition analogue, mais il fau-

Fig.

drait changer les systèmes des caractéristiques et des contours apparents.

141. Représentation par une congrue^ice de courbes. — Portons les variables q, u, 9 en coordonnées ; une solution des équations différentielles sera représentée par une courbe ; l'intégrale générale, qui contient deux constantes arbitraires, sera représentée par une infinité double de courbes. Une caractéristique rectiligne est représentée par un point ; l'ensemble des caractéristiques rectilignes du premier système est représenté par une courbe D, l'ensemble des caractéristiques rectilignes du second système par une courbe D'. Par un point de D, il passe une infinité simple de solutions ; par tous

les points de D, il passe une infinité double de solutions. De même par tous les points de D', il passe une infinité double de solutions. Il n'est pas démontré que ces trois infinités doubles se confondent ; il n'est pas douteux cependant qu'il en est ainsi. Il serait sans exemple que pour un système d'équations différentielles indécomposables, on puisse décomposer l'intégrale générale en deux ou plusieurs intégrales à deux constantes arbitraires.

L'intégrale générale est donc représentée par une congruence de courbes à deux directrices. De plus, il ne parait pas douteux que les points où ces courbes s'appuient sur les directrices sont toujours réels ; car généralement un point devient imaginaire quand il fait partie d'un groupe de deux points qui se confondent avant de donner naissance à deux points imaginaires conjugués ; or, nous avons démontré précédemment qu'une solution ne contient jamais deux caractéristiques de même système, c'est-à-dire que la courbe qui la représente ne peut pas passer par deux points de la courbe D ou deux points de la courbe D'. Ces propositions n'étant pas démontrées, on peut les considérer comme de simples prévisions ; on peut les vérifier en discutant ou en construisant les différentes solutions.