AB
Fig. 98.
et l'angle u (jue fait la pression maxima avec l'axe ox\ cet angle détermine la direction de la caractéristique AB qui fait l'angle u — a avec l'axe ox et par consé-
queiil la droite AB elle-inéine. Soir, p^ la pression ?iii point A ; la pression en B est donnée pai* la formule
P ^ IK — '•;• cos (u -j- a).
Il s'agit de voir si les équations de la se<*onde caractéristique sont satisfaites.
On satisfait à la première de (îes équations :
oy -- tang {u -^ a' occ ,
en traçant les caractéristiques du second système de manière qu'elles coupent celles du premier système sous up angle constant 2«. Il reste donc à vérifier la seconde équation qui est
(î;9 =-- — 2p tang ^ .0//. 4~ H ^^ <'^^^ (^^ — ^f)-
Nous devons remplacei* p par la valeur écrite plus haut ; nous devons aussi remplacer or et fîa- par leurs valeurs que nous obtiendrons dans la limite relative du triangle BDR ofi BD est Tare de la développante de la courbe CA. On a d'abord
di =^ limr BE
cos îf'
Nous calculerons Cr en remarquant que
(CA 4- >•>) =- liinr DE = r tang 'f. dn.
vSi R désigne le rayon de courbure en A de la courbe CA, on a
CA --- R on ;
on a donc
or -- r tang^|.(3/A — Kou.
L'équation des caractéristiques du second système devient en remplaçant p, cîr et ^jt par leurs valeurs et en opérant quelques simplifications :
^p^ | 2 />„ tang z> rln = 4 II cos (ic -f a) tang 'f . r du — Il R cos (?^ + a) /m.
Cette équation doit être satisfaite quel que soit r; on doit donc avoir
4 n cos \u + a) tango =- 0.
(Jette équation doit être satisfaite quel que soit u ; on <ioit dona avoir
Cette équation ne peut pas être satisfaite, parce que nous supposons les terres pesantes ; Tliypothése de droites de glissement non parallèles est donc réduite à Tabsurde.
155. SohUio7i conokle. — Supposons les terres non pesantes ; \ 'équation des i-aractéristiques du second système se réduit à
rjpo -- — 2jK, tang ç Zti ;
o n satisfait i\ cette équation en prenant
— 271 tang î!
/>« —Ce
Les o(|uaiions des deux caratttéristiques étant satisfaites, les équations aux dérivées partielles le sont aussi (32, 3°). II suffit donc, pour obtenir une solution oft les caractéristiques du premier système sont^ios tanguntes à la courbe CA, de calculer la pression po le long
de cetlt» courbe par la formule précédente. On obtiendra la pression p (Ml un point quelconque B du j)lan, en suivant la caractéristique AB ;
Oh a :
dp —0
^ — 2u tang c.
Si on représente les fonctions p et u en les portant en ordonnées suivant une perpendiculaire au plan, on obtient deux surfaces réglées ; les caractéristiques rectilignes sont les projections de génératrices rectilignes parallèles au plan.
La courbe CA peut être choisie arbitrairement ; supposons qu'elle se réduit à un seul point. Kn projection sur le plan, les caractéristiques forment un faisceau de droites^ passant, par ce point; les caractéristiques du second système coupent ces droites sous un angle constant; ce sont donc des spirales logarithmiques.Dans Tespace, les fonctions ;> et u sont représentées par des surfaces conoïdes ; le foyer
des caractéristiques du premier système est la projection des directrices rectilignes de ces surfaces réglées ; ces directrices forment une caractéristique du second système, car en ^'approchant du foyer, les arcs de spirales logarithmiques ont pour limites le foyer lui-même. Les deux équations des caractéristiques du second système sont du reste satisfaites par ces directrices ; la première est satisfaite, car on a :
(îy = , oo? — ;
la deuxième équation se réduit à
(î/> -= — 2p tang y iti ;
il suffit d'associer les points des directrices de manière à satisfaire à rintégrale de cette équation qui est :
p = Ce
— 2wtang <p
On pourrait évidemment construire des solutions conoïdes où le foyer appartiendrait aux caractéristiques du premier système et où les caractéristiques rectilignes seraient les caractéristiques du second système. Il suffit de regarder la figure de l'autre côté du plan pour que les caractéristiques passent d'un système à l'autre.
156. Cds général où la pesanteur est nulle. — Nous rencontrerons le cas le plus général, dans lequel la pesanteur est nulle,en nous donnant arbitrairement deux caractéristiques AC et AB (flg. 99) de
systèmes opposés. Nous allons démontrer que les caractéristiques forment deux familles de courbes telles que les arcs d'un système compris entre deux courbes de l'autre système ont même courbure totale.
Soit ABDC un quadrangle formé par deux caractéristiques du premier système et deux caractéristiques du second système. Soient :
Po Wo, p, w,, />, ^«,, p w,les valeurs des fonctions p, î^ aux points A, B, C, D. Nous pouvons calculer la pression p en suivant le contour ABD ou le contour ACD ; nous devons obtenir le même résultat. On trouve, en suivant AB qui est une caractéristique du premier système :
Fig. 99,
dp = 2p tang cp du, log p, — log p, ^ 2 (u, — u,) tang 'f ;
en suivant BD qui est une caractéristique du second système, on a :
^p i« — 2 p tang <p ou,
log p — log p, = — 2 (M — u,) tang 9.
On en déduit
log p — log p.
2 tang (f
En suivant le contour A C D, on trouve de la même manière :
log p — log p, , . , , .
2 tang ç ' ^ * •/ 1 V
En soustrayant ces deux équations membre à membre, on obtient
2 (w, — u^) — 2 (u — w J =-• d'où Ton tire
ti^ — u^ ^ u — u„
La première équation démontre que les arcs AB et CD ont même courbure totale ; la seconde démontre que les arcs AC et BD ont aussi même courbure totale. On démontre de la même manière que les arcs AB, CD, EF, GH, etc., compris outre deux caractéristiques de systèmes opposés, ont tous même courbure totale ; c'est ce qu'il fallait démontrer.
Cette propriété permet de construire approximativement les caractéristiques. On donne les arcs AB et AC ; on connait donc les courbures totales des arcs inconnus CD et DB ; on en déduit les directions des tangentes aux caractéristiques au point D ; on peut alors tracer approximativement les arcs CD et BD en les remplaçant par deux tangentes égales. Les caractéristiques étant tracées, on calcule facilement la pression en un point quelconque si on connait la pression au point A; il suffit de passer du point A au point quelconque en suivant deux caractéristiques de système opposé, comme nous l'avons fait précédemment en passant du point A au point D. On peut construire l'épure des pressions ; les courbes qui correspondent aux caractéristiques sont des spirales logarithmiques.
L'épure devient plus facile à construire, si l'on choisit sur les caractéristiques données des arcs de même courbure totale ; on obtient de suite les directions des tangentes aux caractéristiques.
Le cas dont nous venons de nous occuper h été étudié analytiq dément par M. Boljssinesfi (i) qui est parvenu à intégrer les équations du problème, en y appliquant la transformation de Legendre, Nous arriverons au même but en trans^formant les équations des caractéristiques. Les équations des caractéristiques du premier système sont :
dp ^ 2 p d2i tang 9, di/ = tting (h — a) du* ;
celles des caractéristiques du second système sont :
5p ^ — 2 p ou tang 9, of/ =^^ tang (u 4" fi) oœ.
Nous ])rendi*ons comme nouvelles variables indépcndîintes :
li et V =^
\ogp
2 tang 9 ' les premières équations des caractéristiques deviennent :
dv -- du,
M. Boussinesq a pris comme fonctions inconnues les coordonnées â?,, y, d'un point quelconque du plan par rapport aux axes x^ oy^ {fig, 1(X)) déterminés l)ar la condition
xnx^ -= u.
Fi(j, 100,
Il est facile d'exprimer les anciennes coordonnées XGiy au moyen des nouvelles variables x^ et y, ; on trouve les nouvelles équations des caractéristiques après quelques calculs. Nous arriverons immé-' diatement à ces équations de la manière suivante. L'élément A B de la première caractéristique, déterminé par ses projections dy et dœ, se compose de l'élément A B' déterminé par les projections dy, et
(1) Comptes -rendus de l'AcadiMnie *des Srienoes de Paris, tome xwiii, p. 757.
dx, et du déplacement A A' dû à la rotation du des axes x, y^ ; cet élément A B fait un angle — a avec Taxe ox^ ; on a donc ;
dy, + ^i d^^ dx^ — y, du
== — tang a.
En exprimant que l'élément de la seconde caractéristique fait l'angle + a avec ox^, on trouve de la même manière :
Sx, ~ y. S^^ ^ ^^"«^ '''
En exprimant les diflTérentielles au moyen des dérivées partielles et en tenant compte des équations différentielles en u et v, on trouve les deux équations :
'^' +-^ + tanga
rjU
or
^ tang a
rjU
OU
OV y
OXt
= y, tang a — x,.
— y, tanga — a\
En ajoutant, puis en soustrayant ces équations, on obtient :
— - + tang a - — =-
^iJ
nX'
