P SB

De ces deux équations, on tire

p' SA

p SB

Lorsque la caractéristique du premier système présente une très forte courbure, on a approximativement

dp ^^2p tang %> du ;

les accroissements de p et de n sont de même signe. Il en est de même pour une ligne de discontinuité ; on reconnaît facilement que Taccroissement de la pression est de même signe que l'accroissement de u. Nous pourrions choisir une disposition où c'est la caractéristique du second système qui subit une déviation instantanée au ; on reconnaît qu'alors l'accroissement de pression est de signe contraire à Au ; on voit l'analogie qu'il y a avec la formule

op =- — 2 p tang » ou

applicable à une caractéristique du second système à très forte courbure.

On peut (îoiistruire deux ellipses de pression pour tout point N de la ligne de discontinuité ; chacune d'elles se rapporte à Tune des deux solutions. Les rayons vecteurs qui représentent la pression P sont égaux. Dans la première solution, la pression P est représentée par SA et sa conjugée par SB ^ dans la seconde solution, au contraire, la pression P est représentée par SB et sa conjuguée par SA. On voit qu*il y a deux conjuguées de la pression P, Tune plus petite que P à gauche de NM, l'autre plus grande que P à droite de NM,

159. Discontinuité simple. — La manière la plus simi)le de déterminer une solution du problème de l'équilibre limite, est de se donner une ligne arbitraire GML (ttg. 102) et les fonctions p et a le long de cette lifi:ne. Nous supposons que (IM et ML déterminent deux solutions régulières différentes GMR et LMK ; nous supposons de plus qu'au point M, en se dô))laçant de (,t en L, la fonction u subit un accroissement fini et positif A/^, de sorte que les caractéristiques MR et MK forment un angle

RMK -- '>a — A u,.

Construisons d'abord une solution pseudo-conoïde RMR' telle que les deux caractéristiques iMR et MR' du second système forment en M l'angle A?«. Le point M est la projection d'une caractéristique du premier système ; les pressions p sur MR et />' sur MR' satisfont à l'équation

Nous pouvons alors construire une solution -ordinaire sur les (îiiractéristiques MR' et MK qui forment un angle égal à 2a, L'ensemble des solutions que nous aurons ainsi construites satisfait à toutes les conditions théoriques du problème ; mais c'est une soluticm physiquement impossible, car, sur l'espace RMR'. il devrait exister trois solutions dilférentes séparées par les ('(mtours apparents MR et MR'. Pour obtenir une solution physiciuement possible, nous devons remplacer la solution pseudoHîonoïde par une ligne MN de discontinuité finie.

Nous nous donnons la solution ('ommandée par GM ; soit o le pôle des facettes dans l'ôpiire circulai r*î relative au point M de cette solution. Passons au point M de la solution NMK ; le pôle se déplace brusquement ; le nouveau pôle o' est déterminé [)ar l'an^h» \ft \ on doit avoir :

oDo' \u.

Supposons le problème résolu ; menons oA et o'B parallèlement à la facette MN de discontinuité ; nous devons obtenir la même pression sur cette facette dans les deux solutions ; on doit avoir :

i -^ CSB = CSA ;

donc les droites SB et SA ont même direction. Or, on a :

arc 00^ = arc BA, corde oo^ = corde BA ;

on trouvera donc la droite SBA en menant par S une tangente à la circonférence décrite du point C comme centre et touchant la corde oo[, La direction de la tangente MN à la ligne de discontinuité sera donnée par les droites oA et o'B. Il est évident que la variation de pression n'est plus la même que dans la solution pseudo-conoïde ; la pression augmente toujours en passant d'une valeur p à une valeur p ; mais on a :

SA p ^ p

Nous pouvons obtenir une seconde solution où la pression décroit au lieu de .croître. Construisons d'abord une solution pseudo-conoïde sur MK et M, en prenant :

K'MK --= ^u.

Le point M est alors la projection d'une caractéristique du second système, et l'on a :

en désignant par p la pression sur MK' et p' la pression sur MK. On peut alors construire luie solution ordinaire sur les caractéristiques MR et MK', qui forment un angle égal à 2«* L'ensemble de<s solutions ainsi construites satisfait aux conditions théoriques du problème, mais il y a impossibilité physique à réaliser dans l'étendue KMK' trois pressions différentes. On obtient une solution physiquement possible en remplaçant la solution pseudo-conoïde par une ligne de discontinuité finie.

Cette nouvelle ligne de discontinuité finie s'obtient par la construction qui nous a donné la précédente. En menant par S une tangente

au cercle qui touche la corde o& et qui a le point C pour centre, on trouve les deux solutions SBA et SA'B' ; la première nous a donné la ligne MN, la seconde nous donnera la ligne MN' parallèle aux droites oM et o'B' ; on a alors