SA

le rapport des pressions est renversé.

On remarquera l'analogie qu'il y a entre la question qui nous occupe et celle du ressaut varié (66). Comme dans le ressaut varié, on ne peut pas se donner arbitrairement les accroissements finis des deux fonctions inconnues ; on peut se donner At<, mais on doit déterminer convenablement le rapport des pressions. Dans le ressaut varié, nous avons trouvé deux valeurs de la vitesse de Fonde ; nous trouvons ici deux lignes de propagation de la discontinuité finie. Dans les deux cas, le choix de la solution est imposé par les conditions initiales.

160. Forniides, — Reprenons, pour fixer les idées, le cas de Taugmentation de pression de gauch(î à droite et proposons-nous de calculer le rapport des pressions au point M. Nous avons trouvé

iL ^ -^.

p SB '

nous avons aussi

lu = oD'o' - -^^ = BCI = AGI.

Dans les triangles ASC et BSC, on peut écrire les proportions

sin

AC sm i

AC sin t

On en déduit le rapport SA : SB, et par suite

p . cos (/ — \^i)

p cos {i -\- A?/)

Il nous reste à calculer Taugle i. Dans le triangle ASC, on a :

"se

sin i

cos au

or, on a aussi

= sin » ;

on a donc :

sin i = sin y cos au (48);

On peut vérifier que les formules (47) et (48) sont générales, si on tient compte des signes de / et de \u.

Dans la solution MN', c'est la caractéristique du second système ((ui présente une déviation angulaire In en passant de gauche à droite de N'M ; l'angle i change de signe; la formule (47) est toujours a])plicabie, mais la formule (48) devient

sin i = — sin ç» cos Aw (49).

Nous pouvons aussi déterminer la ligne de discontinuité M N en calculant les angles ? et ?' qu'elle fait avec les deux caractéristiques M R et M R'. Si nous mesurons les angles par les arcs correspondants de l'ôpure circuhiire, on a

3 =^, D'oA = -i- arc D'A,

rjl

On en déduit

Bo'D' -= 4- arc BD'.

1(31. Discontinuité évanouissante. — Donnons-nous encore les

fonctions p et u le lon^ d'une ligne GML (flg. 103), supposons que

(tM et ML déterminent deux solutions régulières GMR et MKL, mais,

contrairement cà ce qui précède, suppo- - sons que c'est en se déplaçant de droite L M j^ vers gauche (|ue l'on obtient un Aî^Jposi-

tif; les caractéristiques iMR et MK Informent alors un angle

RMK =- 2a + lu.

Construisons une solution pseudo- (îonoïde RMR', sur MR et M, telle que

Fi(j. 103.

RMR' -^ ^a.

Nous pouvons alors construire une solution ordinaire sur les (caractéristiques MR' et MK qui forment \\\\ an^ie é^al à 2r/. Le point M est la projection d'une caractéristique du si^cond système ; la pression p sur M R et la pression jo' sur M R' satisfont à la relation

Nous aurions pu construire la solution pseudo-conoïde KMK' ; le point M est alors la projection d'une caractéristique du premier système, et Ton a

• ;/ = p <> 2 ^« tïin» ?.

Nous écarterons cette solution en nous imposant une chute de pression.

Mais une autre ambiguïté apparait ; nous pouvons remplacer la solution pseudo-conoïde RMR' par une ligne de discontinuité finie MN ; nous pouvons même poser

\tt =: u' — H = {n^ — II) -\- (w, — ;r.,) 4

et obtenir n discontinuités finies. Toutes ces solutions sont physiquement possibles. Nous allons démontrer que, parmi toutes ces solutions, c'est la solution pseudo-conoïde qui donne la plus grande chut^ de pression-

» Remplaçons l'équation (47) par une équation difiérentielle ; à cet effet, faisons varier itJ ou àft; supposons que i est déterminé pour chaque valeur de u! par l'équation (49) ; on trouve, en prenjint les différentielles logarithmiques des deux membres de l'équation (47) et en réduisant ensuite le second membre au même dénominateur,

rfp' sin 2 Au . di -f- sin 2i . du'

p' cos* au — sin* i

Eu différentiant l'équation (49), on obtient :

cos i di -— - — sin q> sin lu du'.

Cette équation permet d'éliminer di de la précédente ; on trouve, en utilisant l'équation (49) et en effectuant quelques réductions,

^- ^ 2 tang i du', P

Cette équation est applicable au cas de n discontinuités finies ; pour la première discontinuité, on fera varier n' de ?/ à u^ ; pour la secondejdiscontinuité, on fera varier w' de m, à u, et l'on prendra

sin i = — sin © cos (u' — uj

et ainsi de suite. Or, la valeur absolue de Tangle i est toujours plus petite que Tangle ç ; on a donc

-~- > — 2 tang çp du\ p

En intégrant de u à ^^^ on trouve

log ±-^ > — 2 lu tang '^, P

ou bien

Cela démontre que la pression p' que Ton obtient par une ou n discontinuités finies est plus grande que celle que Ton obtient par la solution pseudo-conoïde, c'est donc cette dernière qui donne la plus grande chute de pression.

Signalons en passant que les résultats précédents peuvent être mis sous la forme d'un théorème d'analyse. On pose

i Au r^ II! — u,

sin 2 -- — sin o cos lu ;

on a

^u' cos (i — Au) ^ — 2 (M - ?^') tang z )t cos {i 'V- Au)

Le premier membre de cette dernière inégalité représente un produit de termes dont un seul est écrit ; le signe d'inégalité devient un signe d'égalité quand tous les An convergent vers zéro.

Je dis maintenant que parmi toutes ces solutions possibles, la solution pseudo-conoïde est la solution stable. En effet, nous pouvons supprimer la discontinuité en M, en modifiant infiniment peu les conditions initiales ; il sufiSt do supposer que le« fonctions varient

très rapidement sur une longueur inâniment petite, voisine du point M. On rend ainsi impossible les solutions discontinues ; il en résulte que ces solutions sont instables. Il faut du reste remarquer que la discontinuité brusque n'existera pas en fait ; si, par exemple, le profil d'un mur est polygonal, Tangle u subit en chaque sommet un accroissement brusque ; mais, en pratique, Tarête vive sera plus ou moins arrondie et la solution continue s'impose si elle est physiquement possible.

Nous aurions pu expliquer de la manière suivante pourquoi la solution qui se produit est précisément celle qui donne la plus grande chute de pression. Supposons un massif de terre limité par GM et reposant sur un mur de soutènement MR'. Nous devons chercher la solution déterminée par la caractéristique MR et admettant le mur comme contour apparent. Au point M, la direction de la caractéristique du second système varie brusquement de MR à MR' ; cela revient à se donner un accroissement fini. Au, mais la variation de la pression est une inconnue du problème. Nous avons trouvé une infinité d'équilibres limites; on peut admettre comme évident que si la résistance diminue insensiblement, les terres finiront par adopter l'état d'équilibre qui est le plus favorable à la stabilité du mur et qui constitue le véritable équilibre limite précédant Téboulement des terres. Cependant cette démonstration n'est pas complète ; elle revient à appliquer le principe de moindre résistance de Moseley ; ce principe n'est pas démontré, il n'est même pas énoncé d'une manière précise.

Les mêmes considérations s'appliquent à la butée des terres ; c'est encore la solution continue, quand elle est possible, qui a la priorité ; mais elle ne donne plus la moindre mais la plus grande résistance.

162. Construction de la ligne de discontinuité. — Reprenons le cas d'une ligne de discontinuité finie MN (fig. 102).

Nous avons montré comment on détermine la tangente au premier point; nous devons indiquer comment on peut tracer approximativement la courbe. Si d'abord nous négligeons les petites quantités du second ordre, nous pouvons appliquer la même méthode que celle qui nous a permis de déterminer la marche d'une onde finie (72). Remplaçons un i)etit arc de la courbe inconnue par sa tangente MN ; la ligne de discontinuité doit être tracée dans la solution GRM complètement connue et dont elle enlève une partie. Au point N on connaît p eiuh gauche de la ligne NM ; on en déduit une relation entre les fonctions p\ w' au même point N dans la solution inconnue ; c'est la relation qui résulte des équations i47) et (48). Tirons la

caractônsli<nie NK en la reuiplacant ])ar sa tangente en 1^' dont la direction est connue ; en suivant la caractéristique FN nous trouvons une seconde relation entre p et u\ Cela permet de calculer ces quantités. On en déduit une nouvelle tangente au point N de la ligne de discontinuité à laquelle on applique la même méthode et ainsi de suite. Au degré d'approximation que nous avons admis, les deux équations à résoudre peuvent être considérées comme linéaires et le point {p\ it!) de Tépure des pressions se trouvera à l'intersection de deux droites ; on sait comment on trace la droite qui représente réquation de la caractéristique (117) ; pour ce qui concerne l'équation (47} on se donne deux valeurs de w' et Ton trouve deux points que l'on joint par une droite. On peut perfectionner les opérations en remplaçant les arcs MN et FN par des cordes auxquelles on donne des directions moyennes entre celles des tangentes extrêmes.

On peut aussi remplacer les arcs de courbes par deux tangentes égales ou approximativement égales, comme nous l'avons fait déjà pour les caractéristiques (118). On donne à l'arc MN une certaine courbure ; on pourra se rapprocher de la courbure véritable en s'inspirant des résultats acquis ou en appliquant la première méthode. On peut alors déterminer p et /^' par l'épure circulaire ; on connaît, en effet, au point N, la direction de la ligne de discontinuité et de l'une des caractéristiques : on j>eut en déduire le nouveau pôle des facettes et le rapport des pressions. On trace alors la caractéristique NF dont on connaît les directions des tangentes extrêmes et en suivant cette caractéristique en partant de F, on doit retrouver en N la même valeur de p' que celle que l'on a déjà obtenue. Généralement on trouvera deux valeurs différentes ; en prenant une courbure un peu différente pour MN, les points (/}', it') décriront deux courbes qui par leur intei'section détermineront les valeurs cherchées. On pourra toujours se placer assez près des valeurs inconnues pour que ces courbes puissent être remplacées par deux droites.

163. Fo7nnalion d'une discontinuité finie. ~ On provoque la formation d'une ligne de discontinuité finie en créant cette discontinuité à la surface qui limite le massif de terre ; c'est ce que nous avons supposé précédemment. Mais une ligne de discontinuité finie peut aussi se produire dans une solution continue et même régulière; il suffit pour cela que les (îaractéristiques d'un système enveloppent une courbe. Reprenons l'exemple du numéro 120 (fig. 80). Les caractéristiques du second système enveloppent une courbe dont le point le plus élevé S est un point de rebroussement ; les deux branches de cette courbe forment deux contours apparents ; la

surface qui représente les pressions se compose de trois nappes ; une nappe supérieure venant de droite, une nappe inférieure venant de gauche, une nappe intermédiaire limitée par le contour apparent. Cette solution continue est physiquement impossible ; nous devons y substituer une solution à deux nappes séparées par une discontinuité finie.

Nous reprenons (fig. 104) la caractéristique du premier système RFGHK que nous empruntons à la figure 80 ; EY est une caracté-

rîstîque rectiligne du second système ; KX est un axe de symétrie. Au lieu de tracer la caractéristique LMNPR, comme nous l'avons fait dans la figure 80, en nous donnant arbitrairement EL, nous prendrons un segment plus petit El de manière que la caractéristique passe par le point le plus haut S du contour apparent. Voici comment on peut arriver à ce résultat : la figure 80 permet de déterminer plus ou moins exactement ce point de rebroussement S et de trouver le nouveau segment El qu'il faut choisir. Les propriétés suivantes permettent de reconnaitre si la caractéristique passe au-dessus ou au-dessous du point S.

La caractéristique qui passe au-dessous de S présente deux points de rebroussement ; en ces points, l'équation différentielle de la caractéristique se réduit à

dp =«= 2p tang <p du ,

car la courbure étant infinie, on a :

Sur l'épure des pressions, la courbe qui correspond à cette caractéristique ne présente pas de points singuliers ; aux points qui correspondent aux points de rebroussement, on a :

dp -^rf^ "- 2 tang <p

équation qui exprime que la courbe (/>, u) touche une des spirales de la famille

j^ ç^2u tang <p

ou forme avec le rayon vecteur un angle dont la cotangente est le double de la tangente de l'angle du frottement. Les points de rebroussements divisent la caractéristique en trois segments ; dans le premier et le troisième, on a :

dy,

dp = 2p tang 9 ûfw 4* n rfy,,

dp -Jdû >2taug'f;

la (X)urbe (/;, u) forme avec ses rayons vecteurs un angle plus petit que les spirales. Dans le second segment, on a :

du dp

pdu

< 2 tang (p ;

la courbe (p, u) forme avec ses rayons vecteurs un angle plus grand que les spirales ; cet angle passe par un maximum.

Lorsque la caractéristique passe au-dessus de S, on a toujours :

> 2 tang y ;

pdu

la courbe fait toujours avec ses rayons vecteurs un angle plus petit que les spirales.

On peut aussi construire la courbe (y^ u) en projetant les points de la caractéristique sur les rayons vecteurs correspondants de Tépure des pressions. Nous avons représenté cette courbe sur la figure 104 par un trait pointillé marqué par :

la caractéristique est marquée par :

la courbe (p, u) par :

Pour une caractéristique passant au-dessous de S, on trouverait deux points de rebroussement où Ton aurait :

' du

la courbe {p, u) a deux tangentes horizontales ; y passe par un minimum et un maximum. Pour une caractéristique passant par S, ces deux points se confondent en un seul ; on a une tangente horizontale inflexionnelle ; c*est ce que nous avons obtenu sur l'épure.

A partir de la caractéristique du premier système qui passe par le point S, le problème doit être posé autrement qu'au numéro 126. La solution déterminée par les caractéristiques IS et lY est conservée dans une certaine étendue comprise entre la caractéristique! Y et une ligne de discontinuité SAC ; il s'agit de construire cette ligne et en même temps de construire une solution sur la caractéristique S6 pouvant se raccorder à la solution précédente par cette discontinuité finie. Il faut deux fonctions arbitraires pour déterminer une solution ; si on se donnait la ligne de discontinuité SAC, on déterminerait immédiatement les fonctions petu et la nouvelle solution serait complètement connue ; en laissant la ligne SAC indéterminée, on peut se donner une nouvelle fonction arbitraire ou se donner la caractéristique S6.

La ligne de discontinuité finie est le prolongement de la caractéristique du point S ; il est facile de démontrer qu'il y a contact entre ces deux courbes. En efl^et, au point S il n'y a pas encore de discontinuité finie ; en se déplaçant infiniment peu, on obtiendra d'abord une discontinuité Au infiniment petite ; l'épure circulaire indique que dans ce cas la ligne de discontinuité forme un angle infiniment petit avec l'une des caractéristiques.

Donnons-nous la courbure de l'arc SA et remplaçons-le par deux tangentes égales. Nous connaissons le point A du plan, la caractéristique 7A qui passe par ce point et les courbes (p, u) et (y, u) qui correspondent à cette caractéristique. Projetons le point A en a' sur la courbe (y, u) ; nous trouvons immédiatement le point a de la courbe (p, u) ; nous déterminons le pôle a de l'épure circulaire, en menant Da parallèlement au rayon vecteur Oa de l'épure des pressions. Il s'agit d'appliquer les constructions relatives à la discontinuité finie et de chercher, pour la nouvelle solution, les points qui correspondent au même point A dans les courbes (y, u) et (p, u) ainsi que dans l'épure circulaire. Nous désignons ces nouveaux points par des lettres grecques ; le point qui décrit la courbe (p, u) saute brusquement du point a au point a ; le point qui décrit la courbe (y, u) saute brusquement du point a' au point a' ; enfin le pôle de l'épure circulaire saute brusquement du point a au point a. Menons dans l'épure circulaire aU parallèlement à la tangente en A à la ligne de discontinuité ; tirons la droite RNM et portons l'arc NM en rix. Les pressions p' et p du point A sont unies par la relation

p' RN

p RM

les directions des nouvelles caractéristiques sont données par le

pôle a. Menons Ox parallèlement à la droite Da de l'épure circulaire ; nous déterminerons le point a de la courbe (p, u) par la proportion

Oa RN

Oa RM

Nous pouvons alors tracer l'arc AB en le remplaçant par deux tangentes égales ; la tangente en A est parallèle à la droite oD' de répure circulaire, la tangente eu B est parallèle à Oô, le point b étant déduit du point B au moyen du point b' de la courbe (y, u). Si la courbure donnée à l'arc SA est la courbure juste, on pourra déduire le point b du point a par l'intégration graphique de l'équation de la caractéristique AB. Nous ne trouverons pas évidemment cette solution par un premier essai ; nous trouverons d'abord deux fausses positions du point a et deux fausses positions du point b ; enjoignant ces deux dernières par une droite, nous déterminerons la position juste du point b sur la courbe (/?, u) déjà tracée ; nous en déduirons la position juste du point a par une interpolation proportionnelle; on vérifiera enfin les opérations par la construction définitive.

Connaissant la caractéristique BA et la caractéristique Bt5, on construit la caractéristique A 8 9 10 par la méthode générale ; la courbe {y, u) qui y correspond est

le point d'inflexion s' de la courbe précédente n'existe plus ; il est remplacé par une lacune a' a' qui correspond à la lacune a a de la courbe Qo, u).

La même méthode permet de construire l'arc AC de la ligne de discontinuité et la caractéristique du premier système qui passe par C ; la courbure de la ligne de discontinuité devient insensible ; les pôles c et y relatifs au point C différent à peine des pôles relatifs au point A.

On continuerait le tracé de la ligne de discontinuité par le même procédé ; elle finit par couper la caractéristique EY et enlever une j)artie do la solution linéaire.

161. Disconfintâté double, — Donnons-nous les fonctions p et u sur une ligne BA( - (fig. 105) ; nous supposcms que la^ligne BA com-

mande une solution régulière ABD, que la ligne AC commande une

solution régulière AEC, mais qu'en passant, au point A, de la première à la seconde solution, les fonctions p etu subissent des accroissements finis choisis arbitrairement et ne satisfaisant pas à la condition nécessaire pour obtenir une discontinuité simple.

Nous satisferons aux conditions du problème en imaginant une solution continue auxiliaire et en reliant cette solution auxiliaire aux deux autres par deux solutions pseudo-conoïdes.

Soient respectivement {p, u), {p\ w') les valeurs des fonctions inconnues au point A pour la solution ADB et la solution ACE ; soient (p", u") les valeurs de ces fonctions au point A de la solution auxiliaire. Nous posons :

a =- DAF « u" — u,

p « HAE = w' — u\

Ces deux inconnues satisfont d'abord à Téquation

a + ^ = u! — U = Aw.

Ou a ensuite dans les deux solutions pseudo-conoïdes :

Fig. 105.

log

— 2 a tang ©,

2 p tangf/.

D'où Ton tire une deuxième équation entre les deux incomiues

log

= 2 (P — a) tang f.

En résolvant ces deux équations, on obtient :

log

4 tang tp

log

4 tang <p

La première solution pseudo-conoïde est déterminée par la caractéristique AD et la caractéristique projetée en A; on peut construire la caractéristique AF. La seconde solution pseudo-conoïde est déterminée par la caractéristique AE et la caractéristique projetée en A ; on peut construire AH. On construira ensuite une solution ordinaire sur les caractéristiques AF et AH, et le problème sera résolu.

Il faut cependant, pour que la solution théorique soit physiquement possible, que les angles a et ^ soient positifs ; il faut pour cela que l'on ait

— 2 Aw tang ? < log IL^ < 2 Au tang q*.

On déduit de ces inégalités que l'angle Au doit être positif et que le rapport des pressions doit être compris entre les deux valeurs

± 2 Au. tang <p

Ces deux valeurs sont inverses Tune de Tautre ; il doit en être ainsi car on passe du cas de la plus grande chute de pression à celui de la grande augmentation en se déplaçant dans l'autre sens.

Pour la plus grande chute de pression, on a

log -1—. = — 2 Aw.tang ©.

a =- Au,

Supposons que la pression p' diminue encore ; on a :

log ^^— < — 2 Au.ts,ng ^, P

y. > Au,

On fi alors la disposition de la figure 106 ; l'espace EAH est

occupé par trois solutions différentes ; il faut remplacer la seconde solution pseudo-conoïde par une discontinuité finie. On a alors :

log

=« — 2 {u" — u) tang tp

cos (i — u" H- u') COS (t -|- u" — u')

sin i — sin cp cos (u" — u!)

En éliminant p" et i, on trouve une équation transcendante en u" ;

il vaut mieux utiliser Tépure des pressions et l'épure circulaire.

En partant du point (p, u) on trouve que le point (p", u") est sur une spirale logarithmique ; en partant du point {p\ u\ on trouve que le point (p", u") est sur une courbe que Ton construit par points en se donnant différentes valeurs de u^' ; le point (p", u") se trouve à l'intersection de deux courbes. On peut se demandei' si l'on peut faire décroître p' indéfiniment.Supposons que u" varie ainsi quejo' et jo" ;

différentions les équations précédentes ; nous reproduirons par la

seconde équation des calculs analogues à ceux du numéro 161 ; nous

trouverons

Fig. 106.

dp'

= — 2 tang <f du".

dp"

■^ 2 tang i du".

dp' P'

= — 2 (tang (f + tang i) du'.

La fonction p est indéfiniment décroissante ; mais il faut remarquer que la ligne de discontinuité tourne^ avec AH et finira par sortir des limites du massif.

Lorsque l'angle Am est négatif, l'un des angles a on p est toujours

négatif; il y a donc toujours une discontinuité finie. Il peut aussi y en avoir deux. On a alors la disposition de la figure 107; les formules deviennent :

cos (i' — u" + u')

cos (i' + 2^" — ?/')

.pU

cos {i — lu"[-\- ic)

cos {i + 2^" — u)

sin i —

sin (p cos (w" — w')

sin i — -

— sin q> cos (m" — %i)

En éliminant p", i, i', on trouve une équation transcendante en 2^" ;

il vaut mieux utiliser répure des pressions et répure circulaire.

On trouve le point (p", %"j à l'intersection de deux courbes que l'on construit par points. Il peut être utile de remarquer que dans le cas de deux solutions pseudo-conoïdes et dans le cas de deux discontinuités finies, la valeur de ?^" est comprise entre les valeurs w et u\ tandis que la pression jo'' est plus petite ou plus grande que les deux autres pressions. L'inverse se présente quand il y a une discontinuité finie et une solution pseudo - co noïde.

Fig. 107.

165. Propagation d'une disconlmuité double. — Lorsque la discontinuité double ne donne naissance qu'à une seule ligne de discontinuité finie, on construit d'abord la solution pseudo-conoïde et l'on trace la ligne de discontinuité finie par la méthode exposée au

numéro 162. Le problème devient plus compliqué lorsque la discontinuité double donne naissance à deux lignes de discontinuité finie AX et A Y (flg. 108). Remarquons tout d'abord que ces lignes doivent être tracées dans deux solutions complètement connues et dont elles enlèvent une partie. La solution auxiliaire comprise entre ces lignes n*est pas déterminée par deux fonctions arbitraires, mais par dçux conditions qui les remplacent. Si on se donnait la ligne AX,

soit une fonction arbitraire, la solution auxiliaire serait complètement déterminée ; donc toutes les solutions qui peuvent être reliées à une solution connue par une discontinuité finie dépendent d'une seule fonction arbitraire ; elles sont dans les mêmes conditions que si Ton donnait une des deux fonctions arbitraires qui déterminent la solution la plus générale. La solution auxiliaire doit pouvoir être reliée à deux solutions connues par deux lignesde discontinuité finie ; elle est donc déterminée par deux conditions équivalentes à deux fonctions arbitraires.

Supposons le problème résolu et soient BC, CD, DE, etc., des caractéristiques alternativement du premier et du second système ; nous allons montrer comment on détermine les points BCD du plan et leurs correspondants de l'épure de pression ; nous montrerons ensuite comment on détermine le point E et les autres points des lignes de discontinuité.

Négligeons d'abord les petites quantités d'ordre supérieur au premiei*. On peut tracer la figure A BCD en remplaçant les lignes de discontinuité et les caractéristiques par des droites dont les directions seront prises au point A.Désignons par a, b, c, d, les points de répure des pressions qui correspondent aux points A, B, C, D ; cette épure n'est pas représentée. Le point a est connu ; les points 6, c, d se trouvent sur des lignes presque droites que l'on obtient par la construction relative à la discontinuité ; au degré d'approximation que nous avons admis, les trois points a, i, rf,sont en ligne droite et forment une ponctuelle semblable à la droite ABD ; il suffit de tracer la ligne décrite par le point d ; le point b décrit une parallèle à cette ligne. Donnons-nous la droite abd comme fausse position ; nous trouverons le point c à l'intersection des droites qui repré-

Fig. 108.

sentent les équations différentielles des caractéristiques BC et DC ; mais, en général, ce sera une fausse position du point c qui ne se trouvera pas sur la ligne des positions du point c qui résultent des lois de la discontinuité unie. En faisant varier la direction de la droite abd^ la fausse position du point c décrira une seconde ligne qui déterminera la vraie position de ce point. Il sera nécessaire de perfectionner la construction par la méthode des moyennes.

On obtiendra une exactitude plus grande en tenant compte directement des quantités du second ordre. Donnons-nous, comme fausse position double, les courbures des arcs AD et AC ; on peut déterminer les fonctions inconnues le long de ces arcs et tracer les caractéristiques DC et GB en les remplaçant par deux tangentes égales dont les directions dépendent de la fonction u ; on connait alors les points a, b, c, d de l'épure des pressions. Partons alors des points B et D des deux épures ; appliquons la méthode générale ; nous trouverons un nouveau point (C, c') à Tintersection des caractéristiques BC et DC'. Les points c et c' sont deux fausses positions d'un même point ; on obtiendra la vraie position eu faisant varier les deux courbures, données arbitrairement aux lignes de discontinuité, jusqu'à ce que les deux positions coïncident.

Soient : c (fig. 109) la position K ~ - - . . '« juste, (m, m') (n, n') (p, p) trois

fausses positions. Nous supposons ces trois fausses positions assez voisines de la position juste pour pour admettre que les vecteurs

cm jet cm! sont/jjdes fonctions linéaires des erreurs commises sur les courbures ; il en résulte que les coordonnées des points m et m' satisfont à deux équations linéaires ; les- coordonnées "^ des points n et /i' et celles des

Fig. 109, points p et p' satisfont à la même

relation ; les figures mnp et m^n'p' sont donc des figures affines et le point cherché c est le point double de l'affinité.

Il est facile de démontrer que si Ton a deux figures correspondantes, on en obtiendra deux autres par une homothétie en prenant le point c comme centre de similitude et en adoptant un rapport de similitude quelconque. En effet, on a :

c w' = 'i. c JH ;

on en déduit

Appliquons cette remarque aux droites mn et m'n^ qui se correspondent ; nous trouverons deux systèmes de droites parallèles qui se correspondent et le point d'intersection a décrit une droite passant par c. Menons par p et p' deux droites respectivement parallèles à mn et à m'n' ; nous trouverons un second point a! de cette droite. Appliquons le même raisonnement aux deux autres côtés des triangles correspondants ; nous trouverons le point c à l'intersection des trois droites a a', p p', y y. Il en résulte aussi un théorème de géométrie que l'on peut étendre à l'espace à trois dimensions ; connaissant deux tétraèdres qui se correspondent dans une affinité, on trouve le point double à l'intersection de quatre plans.

Le point c est aussi le point qui satisfait à la condition )nnc npc p)nc

Cela résulte de ce que les centres des masses se correspondent dans une affinité, quand les masses des points correspondants sont égales ou dans un rapport constant ; cette propriété peut aussi s'étendre à l'espace.

Lorsque les premiers arcs AC ot AD (fig. 108) des deux lignes de discontinuités sont déterminés, les arcs qui suivent s'obtiennent avec beaucoup plus de facilité. Ainsi, on trouvera l'arc CE en construisant la solution DCE déterminée par la caractéristique CD et unej seule ligne de discontinuité ; on est ramené au problème du numéro 162. On construira ensuite la solution EDY, déterminée par la caractéristique DE et une ligne de discontinuité, et ainsi de suite.

166. Forymitioyi (ïune discontinuité dovlûe, — Nous avons obtenu une discontinuité double à la surface même du massif en v appliquant deux lois de pression difllérentes.

On peut se demander si une discontinuité double peut se produire au sein d'un massif de terre dans une solution continue. Reprenons la figure 107 ; au-dessous de la ligne CAB, nous avons obtenu deux lignes de discontinuité finie ; supposons que le massif se prolonge vers le haut et déterminons l'état d'équilibre de la partie supérieure en appliquant la méthode générale.

On reconnaît immédiatement, qu'au-dessus de la ligne CAB, les solutions pseiido-conoïdes sont physiquement possibles et que l'on peut construire nue solution continue avec une surface libre ne prôs(*ntanL au('une dist^ontinnité apparente. En se donnant cette surface libre, on obtiendra donc deux solutions pseudo-conoïdes.

ayant un foyer commun A, qui se transforment brusquement en deux discontinuités flnios. IS'ous avons appelé (//', u") les valeurs des fonctions inconnues au point A pour la solution auxiliaire comprise entre les deux lignes de discontinuité et située au-dessous du point A ; en passant de la solution {p, 21) à la solution (;>", u"i, la caractéristique du second système subit une déviation brusque qui correspond à un accroissement négatif de u; on a donc

jt?" > p.

En passant de la solution (p'\ ii'^) à (p', u'), c'est la caractéristique du premier système qui est déviée dans le sens qui correspond à un accroissement négatif de u; on a donc

Pour le massif supérieur, on doit recommencer les calculs et Ton trouvera, pour la solution intermédiaire, les valeurs ip'" u'") au point A. En examinant le sens de la déviation des caractéristiques dans les solutions pseudo-conoïdes, on trouve

En résumé, les lignes BA et AC déterminent deux solutions régulières qui régnent au-dessus et au-dessous de ces lignes ; elles sont séparées par deux solutions auxiliaires différentes ; celle qui régne au-dessus du point A correspond à une dépression, celle qui règne au-dessous de ce point correspond à une surpression.

Au-dessus du point A, la solution intermédiaire est reliée aux deux solutions ordinaires par deux solutions pseudo-conoïdes ; mais cette disposition n'est pas la seule que Ton peut admettre ; on peut, en effet, remplacer ces solutions pseudo-conoïdes par deux lignes de discontinuité finie AN' et AM'. Le problème devient alors indéterminé; on peut, dans une certaine mesure, se donner arbitrairement les caractéristiques AF' et AE' et même les solutions F'AM' et E'AN' ; les solutions M'AD' et N'AH' seront déterminées chacune par deux conditions. On pourrait aussi remplacer chacune de ces solutions pseudo-conoïdes par plusieurs discontinuités finies.

Nous avons montré précédemment que la solution continue physiquement possible a la priorité sur la solution discontinue ; si la surface limite du massif était réellement BAC, si le massif était situé

au-dessus de cette surface et s'étendait jusqu'à une paroi supérieure, on pourrait substituer, aux accroissements discontinus des fonctions inconnues, des accroissements continus sur une longueur très petite voisine du point A et montrer l'instabilité de là solution discontinue. Mais le problème n'est pas posé de cette manière ; la surface BAC est une surface idéale, la surface limite est au-dessus ; elle peut être une surface libre ou une surface soumise à certaines pressions ; dans ce cas, la solution est stable lorsqu'elle varie infiniment peu pour une variation infiniment petite des conditions limites ; on reconnaît facilement que toutes les solutions obtenues pltis haut sont stables .; ainsi, par exemple, la discontinuité N'A est stable, car si on substitue en N' une variation rapide à la variation discontinue, le3 caractéristiques du second système se coupent, déterminent une enveloppe, ce qui démontre que la discontinuité finie se produit un peu plus bas.

Parmi toutes ces solutions stables, il y en a cependant qui sont peu probables ; la solution continue exige que la surface libre soit calculée de telle manière que les caractéristiques convergent en deux foyers coïncidants ; il est infiniment peu probable qu'elle soit jamais réalisée. La solution qui peut se présenter efibctivement est l'intersection de deux lignes de discontinuité finie N'AN et M'AM en un point A. Il nous sera facile de démontrer que les accroissements de u et les rapports des pressions se propagent sans altération au-d^là du point d'intersection, mais que les lignes de discontinuité sont déviées comme les caractéristiques.

En effet, nous avons trouvé au-dessous du point A :

Nous satisferons aux conditions du problème en prenant au-dessus du point A

u — ti!" = p

car les rapports des pressions sur une ligne de discontinuité ne dépendent que de l'accroissement de l'angle u, nous conservons le même rapport sur N'AN et le même rapport sur M'AM ; nous avons donc au-dessus du point A, les pressions

La déviation des lignes de discontinuités est rendue évidente par répure circulaire (flg. 107). Soient : o, o', o" et o'" les pôles qui correspondent aux valeurs u, u\ u'\ u'" ; les angles a et p sont représentés par des angles inscrits dans la circonférence et ont pour mesure la moitié de l'arc compris entre les côtés ; on a donc

Les points o" et o'" sont donc symétriquement placés par rapport au milieu de l'arc oo'. Suivons, par exemple, la direction de la ligne de discontinuité de seconde espèce ou N'AN ; lu direction du côté N'A est donnée par o"'B' ; celle de AJS est donnée par o"A' ou o'B' ; l'angle de ces deux côtés a donc pour mesure la moitié de l'arc de o"'o' ; il est égal à a.

Reprenons la disposition de la figure 105 ; nous avons obtenu deux solutions pseudo-conoïdes au-dessous de la surface BAC ; on pourrait les remplacer par deux discontinuités finies, mais on obtiendrait ainsi une solution instable. Construisons l'état d'équilibre d'un massif supérieur à la surface BAC ; on reconnaît facilement que les solutions pseudo-conoïdes sont physiquement impossibles, qu'il faut les remplacer par deux lignes de discontinuité finie et que les solutions partielles qui forment la solution du problème sont complètement déterminées. Mais si la surface BAC est une surface idéale, si le massif est limité par une surface supérieure libre ou pressée, la solution que nous venons de construire est instable, car il suffirait de transformer la discontinuité finie en variation rapide mais continue, pour obtenir une solution continue. Il n'est donc pas possible de réaliser par un massif supérieur les pressions qui donneraient naissance à la disposition de la figure 105.

Entre les dispositions des figures 105 et 107, il existe un grand nombre de dispositions intermédiaires. Pour les déduire de la figure 107, nous ferons décroître le rapport p' k p en diminuant l'angle a et en augmentant p de la même quantité ; quand l'angle a sera égal à zéro, nous aurons une discontinuité simple. Au-dessus du point A, on peut prolonger cette discontinuité ou la remplacer par une solution pseudo-conoïde ; mais comme cette dernière réalise un plus grand rapport de pressions, il faut supposer deux solutions pseudo-conoïdes pour satisfaire exactement aux conditions du pro-

blême. En continuant à faire décroître le rapport des pressions, on trouvera une solution pseudo-conoïde unique au-dessus de la surface BAC el, l'on trouvera en dessous une discontinuité finie et une solution pseudo-conoïde de peu d'étendue. Ces solutions sont infiniment peu probables quand on choisit arbitrairement une surface supérieure. Si la pression />' continue à diminuer on trouve des dispositions impossibles à réaliser par un massif supérieur. En résumé, si l'on écarte les solutions impossibles et les solutions infiniment peu probables, on trouve que la discontinuité double ne peut être réalisée que par Tintersection de deux lignes de discontinuité simple.

167. Discontimiité à la surface libre. — Les considérations qui précèdent ne s'appliquent pas à la surface libre, car un point de la surface libre où la pression est nulle, ne peut être le foyer d'une solution pseudo-conoïde ; à la surface libre, les solutions coniques ou pseudo-coniques remplacent les solutions pseudo-conoïdes. Nous avons vu précédemment (153) que si le profil du terrain présente un angle fini, on ramène la question au cas d'un angle rectiligne en appliquant le principe de similitude. Chacun des côtés commande alors une solution linéaire et ces deux solutions linéaires sont réunies par une solution conique déterminées par deux caractéristiques. Si l'angle de ces deux caractéristiques est plus petit que l'angle ordinaire (126 et 151), la solution conique est à trois nappes ; la nappe principale, dont les caractéristiques sont convexes vers le sommet, recouvre deux parties des solutions voisines ; ces deux parties sont recouvertes par trois nappes diffiérentes. Cette solution continue est physiquement impossible ; il faut construire une nouvelle solution conique reliée aux deux solutions linéaires par deux lignes de discontinuité finie. On détermine ces lignes de discontinuité par la méthode des fausses positions ; on se donne arbitrairement les directions de ces deux droites et on raisonne comme au numéro 165. En continuant le tracé de ces deux lignes de discontinuité, on n'obtiendra pas exactement deux lignes droites, à cause des petites erreurs commises dans la détermination des directions initiales, mais l'influence do ces erreurs va sans cesse en diminuant, on trouve une solution asymptotique à la solution exacte (123).

Nous avons dit plus haut que les caractéristiques de la nappe principale de la solution conique théorique étaient convexes vers le sommet ; nous allons trouver qu'il en est de même de la solution conique nouvelle comprise entre les deux lignes de discontinuité. Nous démontrerons, dans ce but, le théorème suivant : toute ligne droite de discontinuité menée dans une solution linéaire détermine

une nappe de solution conique dont les caractéristiques sont convexes vers le sommet.

Soient, figure 110 : MN la ligne de discontinuité, SA, SB, les rayons qui représentent la pression en N sur la facette de discontinuité. Les deux pôles o et o' s'obtiennent en menant Ao' et Bo parallèlement à MN ; nous supposons que le pôle o correspond à la droite de NM et le pôle o' à la gauche de NM. Nous savons que les pressions p et />' à droite et à gauche de NM satisfont à la proportion

Fig, 110,