COS

On peut aussi trouver Ren construisant le triangle BF'S.

La résistance totale de la plaque à la traction vers le vide s'obtiendra en multipliant R par la moitié de la longueur de la plaque.

Nous connaissons la pression P et Tangle i ; mais avant d'appliquer la formule (72), il faudra déterminer Uangle,;. Il est facile de prévoir que deux cas vont se présenter. Si le talus supérieur est assez plat, les pressions normales sur la plaque seront peu importantes et la plaque pourra glisser sur les terres inférieures sans provoquer réboulement du talus; Tangle.; est alors égal à l'angle du frottement ; on a donc

P sin (v — i) , ,

cos <p ^ '

Si, au contraire, le talus supérieur devient plus incliné, il est à prévoir que Téboulement du talus inférieur pourra se produire avant le glissement de la plaque ; il faut alors déterminer l'angle j de manière que le talus inférieur soit un plan d'éboulement et appliquer l'équation (72). Nous allons chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que la formule (73) soit applicable ; nous montrerons ensuite comment on détermine l'angle.; dans les autres cas.

•JOl. Cas du glissement sur les terres inférieures. — Lorsque les pressions de la plaque sur les terres inférieures forment l'angle du frottement avec la normale, ces p:v^ssions sont complètement déterminées, car elles ont mômes composantes normales que les pressions sur les terres supérieures. Nous pouvons donc chercher toutes les solutions possibles au-dessous de la plaque et voir si elles sont compatibles avec l'équilibre du talus inférieur.

On reconnait immédiatement que la plaque est un contour apparent ou une caractéristique du second système. La plaque AB sera une caractéristique si la pression a une certaine valeur qu'il est facile de déterminer ; elle est la même que dans la solution linéaire ; l'épure circulaire donne immédiatement le pôle des facettes, lorsque la caractéristique du second système est dirigée suivant une ligne horizontale ; on trouve la solution de butée qui correspond au talus indiqué par le chiffre 3 sur la figure 131. La pression sur les terres

infécieiires est représentée par BT : on en déduit iinmédiatemeiit la pression BR sur les terres supérieures, en menant une horizoulale TR jusqu'à In rencontre avec la courbe des extrémités des pressions P ; on cil déduit ensuite l'inclinaison A'R qu'il faut donner au talus supérieur pour réaliser cette pression. Soient (ftg. 137) AM ce talus. aM' l'inclinaison du talus inférieur pour lequel AB est une caractéristique du second système, «, et ^, les angles de ces deux talus avecrtiorizon. Je dis que le plan AM' est te plan d'éhoiilement qui correspond au talus AM dans l'hypothèse du glissement de la plaque. En effet, le talus AM' est en équilibre ; un talus plus plat est, à plus forte raison, en équilibre; si, au contraire, nous donnons au talus inférieur une inclinaison plus grande, nous serons amené à construire une solution conique sur la caractéristique AB et la caractéristique du premier système commandée par le talus ; l'angle de ces deux caractéristiques est plus petit que l'angle ordinaire EAB ; on trouve une solution à trois nappes et il est impossible de conserver la caractéristique AB.

Fig. f.97-

Supposons que le talus supérieur soit plus incliné que AM ; je dis que dans ce cas, l'hypothèse du glissement de la plaque sur les terres inférieures est irréalisable. En effet, si on admet cette hypothèse, AB cesse d'être une caractéristique pour devenir le contour apparent d'une solution k fortes pressions ; or, nous avons démontré (140) que les contours apparents du second système limitent à gauche les solutions à fortes pressions ; on trouve donc une solution au-dessus de la plaque ; il n'existe pas de solution en dessous ; l'équilibre du talus inférieur est impossible.

Pour pouvoir construire uae solution au-dessous du contour apparent AB, c'est-à-dire limitée à droite par ce contour apparent, il faut supposer des pressions plus faibles que celles où AB est une caractéristique ; il faut donc supposer que le talus supérieur est moins incliné que AM. On trouve alors une caractéristique du second système de la forme GBFC ; la solution est à trois nappes, car nous n'avons rencontré des solutions à faibles pressions et à nappes nombreuses que lorsque les contours apparents sont plus inclinés que le talus naturel ; la nappe BG est limitée à gauche par une caractéristique du second système (138) ; la nappe BF est comprise entre deux contours apparents de systèmes opposés ; la nappe CF est limitée à droite par une caractéristique du premier système.

Nous pouvons suivre les évolutions que subit cette solution conique lorsque l'inclinaison du talus supérieur croit à partir de zéro. Si le talus supérieur est horizontal, les terres qui reposent sur la plaque disparaissent ; on obtient les solutions linéaires commandées par le plan libre AB ; la caractéristique qui passe par B se compose des deux droites BD et BD'. La ligne CFBG a donc pour limite la ligne brisée DBD', lorsque l'inclinaison du talus supérieur tend vers zéro. Cela semble paradoxal, mais il faut remarquer que la courbure au point B de la caractéristique du second système augmente indéfiniment quand la pression diminue jusqu'à zéro et, comme cela arrive souvent dans ces circonstances, la courbe se brise et forme un angle. Si nous faisons croitre l'inclinaison du talus supérieur depuis zéro jusque a«, la caractéristique AC décrit l'angle DAE.

Faisons d'abord abstraction du contour apparent AF et cherchons dans quel cas on peut relier la caractéristique AC au talus inférieur par une solution d'équilibre. Si la caractéristique AC ne dépasse pas la verticale, le talus inférieur peut être établi suivant le talus naturel, car ce talus naturel est une caracLô:istique du second système et l'on peut construire une solution sur cette caractéristique et la caractéristique AC. Pour une certaine inclinaison oi^ du- talus supérieur, la caractéristique AC prendra la position verticale ; elle sera reliée au talus naturel inférieur par la solution linéaire. Si l'inclinaison du talus supérieur dépasse «©, la caractéristique AC dépasse la verticale; on trouve un plan d'éboulement dont l'inclinaison (3 est fonction de l'inclinaison a du talus supérieur.

Mais ces résultats ne sont qu'approximativement vrais, car le contour apparent doit être remplacé par une discontinuité finie ; la valeur a.^ et la relation « et p doivent être déterminées d'une autre manière. Donnons-nous le plan d'éboulement AH (fig. 138) d'inclinaison plus grande que ?, ; soit AG la caractéristique du premier système

(commandée par le talus AH ; menons une ligne de discontinuité AR ; nous engendrons une solution qui présente un certain contour apparent. En faisant tourner AR depuis AG jusqu'à AH, on trouve les deux limites entre lesquelles le contour apparent évolue; ce sont les caractéristiques du second système qui passent par A dans les deux solutions linéaires ; ce contour apparent peut donc se confondre avec la droite AB ; on cherche la solution qui satisfait à cette condition par la méthode des fausses positions ou des approximatives successives ; on trouve ainsi une pression

Fig, 138,

normale sur AB qui peut être engendrée par un talus supérieur d'inclinaison a. On peut aussi se donner a et trouver ? ; connaissant a, on détermine les pressions sur les terres inférieures et l'on construit la solution qui règne sous la plaque ; on cherche alors la discontinuité AR qu'il faut mener dans cette solution pour engendi'er la solution linéaire de butée, et Ton trouve le talus AH. On trouve une valeur unique pour a quand p est donné, et réciproquement. Si Ton fait croître a, p diminue, ce qui peut être considéré comme évident. La relation entre les angles a et p peut être mise sous les deux formes

a-F(P) OU P=^ /•(«).

Si le plan d'éboulement devient le talus naturel, on a

on a aussi

Le talus naturel inférieur est en équilibre pour un talus supérieur d'inclinaison olq ; on peut admettre comme évident que, pour une

- âôp -

inclinaison moindre, le talus naturel inférieur ou tout autre talus plus plat est, à plus forte raison, en équilibre ; de sorte que pour

on peut toujours admettre le glissement de la plaque et appliquer la formule (73).

Si Tangle a est compris entre «o et a,, il y a un plan d'éboulement correspondant ; le talus inférieur d'inclinaison ? sera, à plus forte raison, en équilibre, si Ton a

on peut encore appliquer la formule (73).

Mais si Ton a

il faut appliquer Téquation (72) et déterminer Tangle;. Enfin si Ton a

rhypothèse du glissement n est jamais vraie ; on doit toujours appliquer la formule (72) et calculer Tangle J.

202. Cas où la plaque entraîne les terres inférieures. — Supposons l'angle et compris entre «o et a, et

il en résulte que p est aussi compris entre <p et p, . Connaissant l'angle ?, on peut déterminer l'angle Fip.i qu'il faut donner au talus supérieur pour que le talus inférieur soit un plan d'éboulement sous la plaque glissante ; on y arrive en construisant la figure 138. Or, on obtient ainsi un talus supérieur ayant une inclinaison plus petite que l'inclinaison donnée. Il faut donc faire tourner la discontinuité AR de manière à obtenir sous la plaque des pressions plus fortes. Si l'on augmente l'angle RAG, le contour apparent passe sous la plaque et le problème n'est pas résolu ; il faut donc diminuer cet angle. Si l'on diminue cet angle jusqu'à zéro, on obtient la solution linéaire sous la plaque et la courbe de la figure 131 indique que pour réaliser l'égalité des composantes verticales des pressions, il faut donner au talus supérieur une inclinaison égale ou plus grande que a. . Nous obtiendrons donc la solution du problème en diminuant l'angle RAG de la figure 138 sans le prendre égal à zéro, sauf pour le cas limite

où ^ et a auraient les valeurs p, et a, ; on trouvera, sous la plaque, une solution conique à caractéristiques convexes vers le sommet, sauf pour le cas limite où la solution devient linéaire. Cette solution conique doit satisfaire à deux conditions : les composantes normales des pressions sous la plaque sont données et la solution doit être reliée à la solution commandée par le talus inférieur au moyen d'une ligne de discontinuité finie. Pour l'obtenir, on se donne deux fausses positions de AR et Ton interpole. On peut aussi employer la méthode des approximations successives. On se donne le premier élément AD (fig. 139) de la ligne de discontinuité; on trace une caractéristique du premier système DE en la remplaçant par deux tangentes ; la première est donnée par la discontinuité, on détermine la seconde de manière à obtenir au point E la pression normale connue ; on admet que les erreurs commises dans le tracé de cette caractéristique auront une influence qui deviendra de plus en plus négligeable en s'éloignant du sommet. On trace alors successivement

la caractéristique DF du second système par la même méthode que la caractéristique DE, le triangle DMK par la méthode générale qui donne la propagation d'une discontinuité, le quadrangle KMFN, le triangle PNP,et ainsi de suite. On aperçoit que le problème est résolu avecjjune approximation suffisante quand la discontinuité se propage en ligne droite et que l'angle u reste constant le long de la plaque. Nous avons choisi AD arbitrairement, il vaut mieux prendre AD de manière à obtenir eu E et en F la même valeur de u. Connaissant la valeur définitive de l'angle u, on trouve facilement l'angle ; par l'épure circulaire.

Supposons enfin que l'inclinaison du talus supérieur soit plus grande que a, ; quel que soit le talus inférieur, l'hypothèse du glis-

sèment de la plaque sur les terres n'est plus possible ; il faut toujours construire une solution donnant sur la plaque des pressions normales connues et reliée à la solution linéaire de butée commandée par le talus inférieur ; mais dans ce cas, Tangle RAG peut s'annuler et l'on peut trouver une solution conique à caractéristiques concaves vers le sommet. La solution linéaire peut régner sous la plaque ; il est facile de trouver, par la courbe de la figure 131, les solutions linéaires de butée et de poussée qui donnent les mêmes pressions normales sur la plaque,et les inclinaisons des talus qui réalisent ces solutions. Si, dans l'une de ces solutions, on conserve le talus inférieur et si l'on diminue l'inclinaison du talus supérieur, on obtient une solution à caractéristiques convexes ; si l'on augmente l'inclinaison du talus supérieur, on obtient une solution a caractéristiques concaves. Si l'angle ? est plus petit que ^^ , on trouve toujours des solutions à caractéristiques concaves. On construit les solutions à caractéristiques concaves par les mêmes méthodes que les autres solutions, mais la discontinuité finie n'existe plus.

203. États (V équilibre intermédiaire du massif inférieur, — Parmi les états d'équilibre que nous avons rencontrés, il y en a qui sont des dernières limites ; ce sont ceux où le talus inférieur est un plan d'éboulement ; Téboulement peut précéder le glissement de la plaque sur les terres ou se produire en même temps, selon que l'angle de la pression avec la normale à la plaque est plus petit ou égal à l'angle du frottement. Dans tous ces cas, on peut mener, par l'extrémité B de la plaque, une caractéristique du second système qui détache un fragment du massif; c'est ce fragment qui glisse vers le vide ; mais il se produit des glissements secondaires vers le haut, suivant les caractéristiques du premier système, et qui sont nécessités par la courbure et surtout par le point angulaire de la caractéristique du second système.

Nous avons rencontré d'autres états d'équilibre, mais nous ne les avons pas étudiés ; nous avons admis comme évident que, s'il y a équilibre, il y a, à plus forte raison, équilibre quand les talus deviennent plus plats, et nous n'avons pas cherché comment cet état équilibre était réalisé. Ce sont ces états d'équilibre intermédiaires que nous allons examiner.

Reprenons la figure 137 ; soit AH le talus inférieur dont l'inclinaison est comprise entre cp et p - ; nous supposons que l'inclinaison du talus supérieur croit à partir de zéro et nous admettons le glissement de la plaque sur les terres inférieures. Nous avons vu que les pressions sous la plaque sont connues et commandent une solution conique GBFC.Nous avons le choix entre deux nappes : la nappe BF, qui est de seconde espèce, et la nappe BG,qui est de première espèce.

Le talus inférieur AH commande une solution linéaire ; mais nous avons aussi le choix entre la solution linéaire de poussée AKH, qui est de seconde espèce, et la solution linéaire de butée AK'H, qui est de première espèce ; ces deux solutions forment les nappes d'une même solution conique ayant AH comme contour apparent. 11 s'agit de relier les solutions commandées par la plaque et le talus au moyen d'une solution intermédiaire,et nous reconnaissons immédiatement qu'il y a indétermination. Parmi les trois solutions associées, la solution intermédiaire^ doit être d'une autre espèce que les deux autres, car la solution intermédiaire est reliée aux autres par des caractéristiques ou des lignes de discontinuité finie qui séparent toujours des solutions d'espèces différentes. 11 résulte de là que, si nous choisissons sous la plaque la solution BF qui est de seconde espèce, nous devrons choisir la poussée sous le talus, tandis que, si nous choisissons la solution BG sous la plaque, nous prendrons la butée sous le talus. Nous examinerons successivement les deux dispositions.

Supposons d'abord le talus supérieur horizontal ; le massif supérieur disparait, les pressions sont nulles sur AB ; il s'agit donc de relier les deux solutions linéaires de poussée AKH et ADB ; on construit la solution intermédiaire sur les caractéristiques AD et AK ; on trouve une solution conique à faibles pressions et à caractéristiques concaves vers le sommet ; c'est le cas de la poussée des terres dans un angle saillant BAH, il n'y a pas de discontinuité finie (124), Faisons croitre l'inclinaison du talus supérieur à partir de zéro ; nous trouvons sous la plaque une solution BFC, présentant un contour apparent AF et terminée par une caractéristique AC ; l'angle DAC croit à partir de zéro. Faisons d'abord abstraction du contour apparent AF;.nous construirons sur AC el AK une solution conique, mais, comme l'angle CAK dimiime, il arrivera un moment où cette solution sera linéaire, puis elle sera à fortes pressions et débordera l'angle de ses caractéristiques. Nous devons remplacer les contours apparents par des discontinuités finies ; nous obtiendrons d'abord une solution intermédiaire à caractéristiques concaves, limitée à gauche par une caractéi'istique et à di-oite par une discontinuité finie; cette solution intermédiaire deviendra linéaire, puis elle sera à fortes pressions el sera limitée à droite et à gauche par des discontinuités fiuies. Si nous continuons à augmenter l'inclinaison du talus supérieur, il arrivera un moment où la caractéristique AC coïncidei-a avec AK' et la solution théorique intermédiaire sera construite sur AK' et AK ; cette solution théorique sei'a l'ensemble des deux solutions linéaires ; pour la rendre physiquement possible, il suffira de supprimer la nappe KAH, c'est-àdire d'admettre la butée sous le talus. Nous arriverons à des résultats

peu différents, en supprimant le contour apparent AF par i'introduCtion d'une discontinuité finie. On voit donc que les deux discontinuités finies, dont nous avons constaté lexisteace, vont se déplacer, et que la discontinuité de gauche finira par atteindre le talus et, à ce moment, la solution de poussée disparait ; la solution totale se compose de la solution linéaire de butée reliée, par une discontinuité finie, à la solution commandée par la plaque. Cette solution limite est précisément celle que nous avons obtenue sur la figure 138, quand nous avons cherché le talus supérieur pour lequel AH est un plan d'éboulement. Examinons maintenant la seconde disposition ; prenons la solution de butée sous le talus et la solution BG sous la plaque. Si nous supposons la charge nulle sur la plaque, nous trouvons les deux solutions linéaires de butée, mais comme l'angle A est saillant, la solution intermédiaire s'appuie sur deux discontinuités finies. Effectivement, les deux caractéristiques AK' et AD' (fig. 137) forment un angle plus petit que l'angle ordinaire des caractéristiques, on trouve une solution qui déborde l'angle de ses caractéristiques ; il faut remplacer les deux contours apparents par deux discontinuités finies. Si l'inclinaison du talus supérieur croit à partir de zéro, on doit relier la solution BAC' à la solutionHAK' ; on doit construire une solution sur les deux caractéristiques AK' et AG' ; l'angle de ces deux caractéristiques est toujours plus petit que l'angle ordinaire qui est EAB ; on trouve donc encore une solution intermédiaire à faibles pressions, reliée aux deux autres par deux discontinuités finies, mais la nappe G'AB se réduit de plus en plus et peut même se réduire à zéro ; il arrivera donc un moment où la ligpede discontinuité de droite se confondra avec la plaque et comme la plaque ne cesse pas d'être contour apparent, la solution intermédiaire aura AB comme contour apparent. Nous retrouvons encore la solution de la figure 138 qui donne le talus correspondant à un plan d'éboulement donné.

Nous voyons qu'il y a indétermination dans l'état d'équilibre, lorsque l'inclinaison du talus supérieur satisfait à l'inégalité

a<F(p); mais si Ton a

les deux états d équilibre ont une même limite; c'est alors une dernière limite et le problème est déterminé.

Nous avons supposé l'angle p plus grand que p,; prenons l'hypothèse contraire. Si l'on donne au talus supérieur l'inclinaison a,, on trouve sous la plaque la solution linéaire ; on reconnaît facilement qu'on

peut la relier à la poussée sous le talus par deux discontinuités finies, de sorte que le premier système de trois solutions, subsiste encore. Si l'on adopte la seconde disposition, on reconnaît que la nappe BG disparait ; il reste donc un système de deux solutions : Tune est la butée des terres sous le talus, l'autre est une solution à caractéristiques concaves, il n*y a plus de discontinuités finies. Lorsqu'on fait croître l'angle a à partir de zéro, le second système de trois solutions se modifie de la manière suivante : on trouve d'abord deux discontinuités finies comme dans un angle saillant de butée ; puis les discontinuités devieutient des caractéristiques ordinaires, comme dans Tangle rentrant de butée ; enfin pour Tinclinaison ««, la caractéristique de droite vient se confondre avec la plaque. On trouve donc encore deux états d'équilibre dififérents pour l'inclinaison a«, et cela était à prévoir puisque le talus inférieur présente un excès de stabilité.

Lorsque ^ est précisément égal à ?^,\sl poussée sous le talus, dans la première disposition, disparait au moment où l'on a la solution linéaire sous la plaque, et la discontinuité de droite devient une caractéristique ordinaire. Dans la seconde disposition, c'est la discontinuité de gauche qui devient une caractéristique ordinaire et la discontinuité de droite vient se confondre avec la plaque. L'état d'équilibre du massif inférieur est déterminé.

Lorsque l'angle a dépasse a^, nous savons que l'angle du frottement ne peut pas être atteint sous la plaque ; il faut déterminer l'angle ;, de la pression avec la normale à la plaque, pour lequel le talus inférieur est un plan d'éboulement. Il y a aussi des états d'équilibre intermédiaires ; on peut se donner un angle j plus petit que celui qui réalise la condition précédente ; on détermine une solution sous la plaque et on la relie à la poussée ou à la butée sous le talus.

204. Cas d'un talus plan indéfini, — Considérons une plaque horizontale enfoncée dans un talus plan indéfini ; le talus inférieur est alors le prolongement du talus supérieur. Cherchons dans quel cas le massif inférieur est en équilibre sous la plaque glissante. Lorsque l'inclinaison du talus supérieur est égale à ao, le talus naturel est le plan d'éboulement du massif inférieur et ces deux talus forment un angle saillant ; lorsque l'inclinaison du talus supérieur est égale à a., Tinclinaison du plan d'éboulement du massif inférieur est égale à p, et ces deux talus forment un angle rentrant ; il existe donc une inclinaison intermédiaire pour laquelle les deux talus sont dans un même plan ; cette inclinaison satisfait à l'équation

Soit  cette inclinaison ; on la trouvera par une interpolation entre deux fausses positions.

Si l'inclinaison du talus plan est égale ou inférieure à A, Vhypô^ thèse du glissement de la plaque est compatible avec l'équilibre du massif inférieur ; car ce massif serait déjà en équilibre, s'il était limité par le plan d'éboulement ou le talus naturel, et ces plans ont une Inclinaison égtAe ou plus grande que le talus donné. On doit alors appliquerla formule (73). '

Si l'inclinaison du talus plan est supérieure à A, le massif inférieur n'est pas en équilibre sous la plaque glissante, car pour réaliser cet équilibre, il faudrait donner au talus inférieur l'inclinaison du plan d'éboulement, c'est-à-dire une inclinaison moindre que l'inclinaison donnée. Il peut même arriver qu'il n'y ait plus de plan d'éboulement ou d'équilibre sous la plaque glissante. Il faut alors déterminer l'angle /, pour lequel le talus redevient un plan d'éboulement, et appliquer la formule (72). Je dis que, dans la dernière limite de l'équilibre, on trouvera toujours sous la plaque une solution à 'caractéristiques convexes reliée à la butée par une discontinuité finie. £n effet, si l'on prolonge la solution linéaire de butée du talus Inférieur Jusqu'à la plaque, la courbe de la figure 131 indique que l'on obtient, sous la plaque, des pressions normales trop grandes ; si l'on prend la solution qui admet la plaque comme contour apparent, on trouve des pressions normales trop petites, car elles seraient en équilibre pour une inclinaison du talus supérieur plus petite que l'inclinaison donnée; la solution vraie est comprise entre ces deux solutions ; on l'obtiendra en diminuant l'angle de la discontinuité finie et de la caractéristique du premier système de la solution linéaire de butée ; on obtiendra toujours une solution à caractéristiques convexes vers le sommet. Il y a cependant un cas limite où ce raisonnement est en défaut : c'est lorsque le talus a l'inclinaison du talus naturel ; dans ce cas, la solution linéaire de butée se confond avec la solution de poussée qui règne au-dessus de la plaque ; c'est cette solution qui réalise l'équilibre des pressions normales; mais alors les pressions des deux côtés de la plaque sont égales et de sens contraires, la résistance à l'extraction de la plaque est rigoureusement nulle.

205. Cas cfun ialus naturel limité par un plan horizontal. — Soient : HAGD (fig. 140) le profil du terrain, AB la plaque horizontale.

;iv

Fig. 140.

Nous chercherons d'abord la poussée ipinima du massif supérieur ; on reconnaît, comme au numéro 196, que le glissement sous les terres est impossible et que la solution commandée. par la surface libre règne jusqu'à la plaque.. Nqus avons indiqué dans un cas semblable (124) comment on trouve les fonctions, {p, u) 3ur le plan AB ; on en déduit par répure circulaire la grandeur et la direction de la pression P en un point quelconque de la plaque.

Nous supposerons d'abord la plaque indéfiniment flexible : les pressions normales supériieures et inférieures doivent se faire directement équilibre. Le talus naturel AH commande une solution linéaire limitée par une caractéristique verticale AV. ; il s'agit de construire une solution satisfaisant aux deux conditions suivantes : les pressions normales sous la plaque sont tionnées et la solution doit être reliée à la solution linéaire commandée par le talus, au moyen dç la caractéristique AY ou une ligne de discontinuité finie. En prenant la limite relative d'un massif infiniment petit autour du point A, on est ramené au cas d'un talus indéfini; dans le voisinage du point A, ou a donc approximativement la solution linéaire, et ^es pressions supérieures et inférieures se font équilibre. En s'élpignant du point A, les pressions supérieures sont plus petites que dans le cas d'un talus naturel indéfini ; il est donc à prévoir que Ton obtiendra une ligne de discontinuité finie tangente au point A à la verticale. On construit l'épure par la méthode générale ; nous avons traité un cas semblable au numéro 201 (ûg. 139). Si Ton continue à s'éloigner du point A, les pressions normales deviennent comparables à celles qui seraient produites par un talus de plus, en plus plat; il est donc à prévoir qu'en un certain point K, l'angle j deviendra égal à l'angle du frottement ; et à partir de ce point, on pourra conserver cet angle jusqu'à l'extrémité de la plaque. On peut alors construire à priori la solution qui règne sous la plaque, mais il faut la relier à la solution linéaire par une solution intermédiaire. Il est d'ailleurs inutile de construire l'épure, on obtient la résistance tangentielle par la formule (73) ou une composition de forces. On peut alors représenter toutes les forces tangentielles par un diagramme et trouver la résistance totale par une intégration graphique.

Supposons ensuite que la plaque soit d'une rigidité absolue ; il n'est plus nécessaire que les pressions normales soient identiques audessus et au-dessous de la plaque ; il sufi9t qu'elles forment deux systèmes de forces équivalents au point de vue de la statique des solides invariables. Soit (fig. 141) AEF le diagramme des pressions normales supérieures ; le talus inférieur sera strictement en équilibre sous la plaque glissante, si les pressions normales inférieures sont représen-

Fig. 141.

tées par le diagramme AF'B qui correspond au talus supérieur

p' d'incliDaison of^ ; il sera, à plus forte raison, en équilibre, si les pressions normaies inférieures sont diminuées et représentées par un dia^

gramme AE'F". Cherchons donc un diagramme AE'F" statiquement équivalent au diagramme AËF. Soient: S et M la surface et le moment autour du point B du diagramme AEF, S' et M' les mêmes éléments pour le diagramme rectiligne AF' ; retranchons une certaine surface S'' de la surface S' et posons :

en désignant par X la distance du centre de gravité de la surface S" à la verticale du point B.

Faisons croître la longueur de la plaque à partir de zéro ; nous savons que le glissement de la plaque est d'abord impossible ; cherchons à quel moment il devient possible. Construisons (âg. 142) les intégrales secondes AMP et ANM des diagrammes AEF et AF' ; soit M le point d'intersection de ces deux courbes et donnons.à la plaque la longueur km ; on aura :

On doit donc donner à S" une largeur nulle ; les ordonnées sont infinies, les pressions deviennent moins l'infini ; c'est une impossibilité. Menons une tangente comme NP aux deux courbes et donnons à la plaque la longueur kp ; le diagramme AN'w sera équivalent au

diagramme donné, car les moments autour de tous les points du plan sont représentés par les ordonnées de la droite NP ; les pressions négatives sont disparues, mais on trouve encore des pressions nulles

Fig. 142.

sur le segment np. Nous allons démontrer qu'il suffit d'augmenter la longueur kp d'une petite quantité, â déterminer par une épure, pour que le glissement de la plaque soit possible.

Cherchons, en effet, les plus petites pressions que l'on peut obtenir sur un segment QB (fig. 140) porté à partir de l'extrémité de la plaque. Par le point B, passe une caractéristique BE du premier système commandée par la surface libre ; au point B, la caractéristique du second système est dirigée suivant la plaque ; il y a donc une discontinuité finie dans la variation de l'angle u ; mais c'est une discontinuité évanouissante. Nous pouvons construire une solution pseudo-conoïde en prenant B comme foyer et BE comme caractéristique du premier système ; nous limiterons cette solution à la caractéristique BF du premier système qui fait avec BAl'angle ordinaire des caractéristiques. Nous construirons alors une solution sur la caractéristique BF et sur BA considéré comme caractéristique du second système. A la vérité, nous pouvons aussi mener par B une caractéristique curviligne du second système touchant la plaque et construire une nouvelle solution sur cette caractéristique et sur BA pris comme contour apparent ; mais on reconnaît facilement que les plus petites pressions s'obtiennent en prenant la plaque comme caractéristique. En effet, calculons la variation de la pression p sur un élément ds du contour apparent BA ; on peut passer d'une extrémité à l'autre de cet élément en suivant

deux arcs de caractéristiques de &>yâLêiiies oppo$és ; la longueur de Tare du second système diffère infiniment peu de cb ; )a longueur de l'autre arc est d'ordre supérieur ; soit p le rayon de courbure de l'arc du second système, on trouve :

ds dp = — UdssvKf-^- 4p tang <p — ;

on voit que la pression décroit le plus vite lorsque le rayon de courbure est infini, c'est-à-dire quand la plaque est une caractéristique. On trouve alors un diagramme B'N pour les pressions normales. Les pressions deviennent très petites, car, dans la solution pseudo-conoïde, la pression décroit suivant la formule du n^ 157 ; pour un coefficient de frottement ^al à deux tiers, on trouve que la pression varie dans le rapport de 4.18 à l'unité en passant de la caractéristique BE à la caractéristique BF. Au point Q, il se produit une chute de pression beaucoup plus grande encore. Nous admettons, sous la plaque, la solution conique qui touche la plaque ; elle est limitée par une caractéristique du second système que nous désignerons par QS, mais qui diffère de celle que nous avons considérée dans le cas de la plaque flexible. Nous prendrons Q comme foyer d'une solution pseudo-conoïde, QS comme caractéristique initiale, et nous ferons tourner cette caractéristique de 180 degrés autour du point Q. On trouve que la pression varie dans le rapport de 63.8 à l'unité en passant de la caractéristique QS à la caractéristique QG. On peut calculer la courbure au point Q de cette dernière caractéristique, en appliquant les formules du n^ 157 : on obtient une courbure très forte et, à cause de cette courbure, la pression décroit rapidement le long du contour apparent et peut même s'annuler en un certain point M. On trouve donc des pressions normales très petites sur le segment QB.

Nous pouvons, dans une première approximation, négliger ces petites pressions et nous trouvons que la longueur minima de la plaque, qui admet le glissement sur les terres inférieures, est la longueur Ap construite sur la figure 142. Nous pouvons alors construire le diagramme des pressions négligées sur le segment np ; les moments de ce diagramme sont représentés par la tangente à l'extrémité de l'intégrale seconde. Cherchons ensuite, par la méthode des fausses positions, deux nouveaux points N et P (fig. 142) tels que la seconde tangente, par rapport à la première, représente précisément les moments du diagramme des pressions négligées ; nous obtiendrons une nouvelle longueur Ap, un peu plus grande que celle que nous avons obtenue en premier lieu ; c'est la longueur minima demandée.

Soit l cette longueur minima ; si Ton a

AB ^ h

le talus inférieur est en équilibre sous la plaque glissante ; on applique, en chaque point, la formule (73) ou le triangle des forces qui la remplace. On représente alors les forces tangentielles par un diagramme et Ton obtient la résistance totale par une intégration graphique.

Si Ton a

AB<i,

le talus inférieur n'est plus en équilibre sous la plaque glissante. Il faut supposer un angle ; plus petit que l'angle du frottement et donner à cet angle la plus grande valeur possible, pour obtenir la résistance maxima. Il y a une relation entre Tangle; et la longueur de la plaque. Pour une valeur donnée de 7, on cherchera la longueur minima de la plaque par une construction analogue à celle qui nous a donné la longueur l ; la seule différence est que le diagramme rectiligne qui permet l'angle du frottement sous la plaque est remplacé par le diagramme rectiligne qui permet l'angle/ ; on calculera la plus grande réduction des pressions sur le segment extrême, en supposant l'angle cp sous ce segment. En diminuant Tangle ;, les ordonnées du diagramme rectiligne augmentent ; les ordonnées de la courbe des moments ANM augmentent ; il en résulte que le point M et les points N et P se rapprochent du point A ; on trouve que la longueur minima de la plaque diminue de 2 à zéro pour un angle ; qui diminue depuis «p Jusqu'à la valeur qui est réalisée dans la solution linéaire commandée par le talus. Soit (;, 1) un groupe de valeurs correspondantes ; on ne peut augmenter l'angle ; sans augmenter X ; mais on peut diminuer ; et conserver X qui est alors plus grande que la longueur minima , de sorte que la valeur de ; est maxima pour une longueur donnée X et la longueur X est minima pour un angle donné /. Nous avons considéré les deux cas extrêmes d'une plaque indéfiniment flexible ou absolument invariable ; examinons le cas de la réalité. Au point de vue absolu, il faut accepter la même solution que pour la plaque indéfiniment fiexible, car si la plaque fléchit, il se produit des mouvements dans les terres et l'équilibre est rompu. Mais on peut considérer ces petits mouvements comme n'ayant aucun inconvénient et alors on peut accepter la même solution que pour la plaque invariable.

206. Résistance de la plaque à V enfoncement. — Nous supposons la plaque sollicitée par une force horizontale dirigée vers les

terres et augmentant graduellement; quelle est la grandeur de cette force au moment où la plaque est sur le point de s'enfoncer dans le lalus ? Nous avons déjà indiqué (197) comment on détermine la butée du massif supérieur. Il nous reste à chercher la résistance du massif inférieur.

Soient : AH (flg. 143) le talus inférieur, et AB la plaque. Nous supposons que la plaque est sur le point de glisser sur les terres inférieures; en un point quelconque de la face inférieure, la caractéristique du pre- Q mier système

est dirigée ^*P- ^^^' suivant la

plaque elle-même; la droite AB est un contour apparent du premier système, car si cette droite était une caractéristique, on trouverait des pi'essions négatives ; il résulte aussi de là que la solution est toujours à fortes pressions et située au-dessous de la plaque, quelle que soit la pression positive que Tou se donne sous la plaque. Le talus inférieur AH commande une solution linéaire de poussée ou de butée. Nous obtiendrons la butée maxima, en prenant la solution linéaire de butée AKH et en construisant une solution conique sur la caractéristique AK et le contour apparent AB, tous deux . du plumier système ; nous trouvons ainsi, sous la plaque AB, les fortes pressions que nous avons obtenues dans le cas d'un remblai de chemin de fer (187) ; les composantes normales de ces pressions sont beaucoup plus grahdes que les pressions normales supérieures. Pour résoudre le problème proposé, nous devons adopter des pressions normales inférieures égales aux pressions normales supérieures. Nous avons désigné par Q (197) la pression au point B des terres supérieures ; la pression des terres inférieures aura la même valeur : car ces deux pressions forment Tangle du frottement avec la normale à la

plaque et Tégalité des composantes normales entraine Tégalité des pressions. La résultante des deux composantes tangentielles est aloi*s

R«2Q8În(p.

On pourrait construire l'état d'équilibre du massif inférieur, mais cela n*est pas indispensable ; nous avons dû diminuer les pressions maxjma que le massif inférieur peut supporter, il y a donc un excès de stabilité. On trouverait sous la plaque, comme au numéro 203, deux nappes d'espèces différentes ; Tune pourrait être reliée à la poussée sous le talus et Tautre à la butée ; il y a indétermination comme dans tous les équilibres intermédiaires.

Lorsque l'inclinaison du talus supérieur est inférieure à Tangle p., la caractéristique AE passe sous la plaque et nous avons vu que la butée maxima du talus supérieur s'obtient par la solution linéaire. On trouve donc au-dessus de la plaque une pression P faisant un certain angle i avec la normale à la plaque. On en déduit la pression normale inférieure et les deux composantes tangentielles ; la résultante de ces dernières est

^ ^ P sin {% + y)

OOS (f

On obtient la résistance totale en multipliant la résistance à l'extrémité par la moitié de la longueur de la plaque.

207. Sur/ace d'éboulement soies une voûte chargée. — Soit EF (âg. 144) un talus naturel ; on établit une construction qui se compose d'un plan vertical fixe et rigide OBD et d'un plan horizontal AB invariablement lié au plan vertical ; le plan horizontal est chargé de terre jusqu'au niveau CE ; on demande de construire la courbe d'éboulementTN qui se produit sous le plan AB .

Fig. 144.

Dans la réalisation pratique de cette construction, le plan horizontal sera remplacé par une suite de voûtes reposant sur des contreforts;

nous substituons un plan aux voûtes et nous négligeons le frottement sur les piédroits, afin de pouvoir appliquer la théorie des massifs prismatiques.

Le plan libre CE commande une solution linéaire ; menons par A la caractéristique AM du premier système. Les terres tendent à glisser sous la voûte ; il y a donc aussi en A une caractéristique AH du premier système qui touche la voûte. Nous construirons une solution pseudo-conoïde en prenant A comme foyer ou caractéristique ponctuelle du second système, et AM comme caractéristique initiale du premier système ; nous limiterons cette solution à la caractéristique AH qui touche la voûte. Nous construirons ensuite une solution sur la caractéristique AH et le contour apparent AB ; nous obtiendrons une pression nulle en un certain point T ; la courbe d'éboulément TN sera déterminée par la caractéristique du premier système qui passe par ce point.

Nous avons de cette manière dressé les épures des figures 145 et 146 ; la figure 145 est le plan du massif et des caractéristiques ; la

?gA

âgure 146 est l'épure des pressions. Nous avons admis un coefficient de frottement égal à deux tiers. La voûte est AT (fig. 145) ; le niveau supérieur des terres sort des limites du dessin ; mais nous avons représenté, par une échelle verticale parfont du point A, les centièmes de la hauteur des terres supportées. Les caractéristiques du premier système sont numérotées ; la caractéristique 1 est la caractéristique rectiligne de la solution linéaire ; la solution pseudo-conoïde est comprise entre la caractéristique 1 et la caractéristique 8 ; la solution qui touche la voûte est comprise entre ia caractéristique 8 et la caractéristique 13 qui détermine la courbe d'éboulement TR. Pour ramener Tépure dans les limites du dessin, nous avons mené une coupe XY et nous avons transporté, vers le bas et vers la droite, la partie de Tépure située à gauche de cette coupe. Les caractéristiques du second système sont représentées par des lettres ; le point A est la première, la courbe M est la dernière des caractéristiques que nous avons construites ; les autres caractéristiques ne sont tracées que là où elles ont été utilisées.

Nous avons indiqué par les mêmes notations les courbes {p, u) de répure des pressions (ûg. 146). Cette épure comprend deux parties dressées à deux échelles différentes. Les pressions sur les caractéristiques 1 à 4 sont très grandes, aussi nous avons réduit le poids spécifique à un quart. Les pressions sur les caractéristiques suivantes sont plus petites ; nous avons réduit le poids spécifique à l'unité, La pression en A sur la caractéristique 1 est représentée par le rayon qui joint le pôle de l'épure des pressions au point <A, 1) de cette épure ; lés pressions en A sur les différentes caractéristiques qui passent par ce point sont représentées par la spirale A ; au point P se produit le changement d'échelle, la spirale continue dans la seconde partie de l'épure jusqu'à la courbe 8. Cette spirale peut être construite par tangentes successives ; on peut aussi calculer les rayons vecteurs par logarithmes. Nous avons, au numéro 157, exposé une méthode qui permet de construire la courbure e d'un arc s de caractéristique porté à partir du foyer ; cette courbure est donnée par la formule

On peut construire h' et obtenir l'angle représenté par le premier terme. On arrive à une construction plus élégante en remplaçant h' par sa valeur ; on trouve alors

— ^ CQS oj sin (u -\- y) . .

Rappelons que nous avons posé :

tang o «F 3 tang f ,

Menons les droites OS et ON telles que

8oœ = 2a, NOS = w.

. Soit, par exemple, à construire la courbure d'un arc de la caractéristique 4 ; on a

portons