P BH

Si l'on mène H'P perpendiculairement à SC, on construit un triangle BH'P dont les côtés sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle A'SC et l'on ti'ouve que la pression BP satisfait <à la proportion précédente.

Cependant, on peut encore trouver cette pression par une construction beaucoup plus simple. Soit AC le talus ; menons A'C ; par B menons une perpendiculaire BF au côté A'C jusqu'à la rencontre du talus ; je dis que BF représente la pression P cherchée. En effet, menons la verticale BD jusqu'au talus et exprimons l'équilibre du massif DBA ; nous trouvons ainsi que la pression totale sur AB se compose du poids du volume ABD et de la pression sur DB, pression qui est parallèle au talus. Cette décomposition s'applique aussi à la pression en B par unité de surface ; il suffit de diviser les composantes par la moitié de AB. Les deux composantes de la pression P sont alors, si on réduit le poids spécifique à l'unité : Pune composante verticale représentée par DB ; 2® une composante FD parallèle

au talus et que nous ne connaissons pas. Mais, au lieu de déterminer cette composante, nous utilisons la propriété que la pression FB est perpendiculaire à la droite A'C et nous arrivons ainsi à la construction simple que nous avons annoncée.

On peut considérer BF comme la pression de la plaque sur les terres supérieures ; la pression des terres sur la plaque est FB ou DP. On peut faire varier Tinclinaison du talus et construire la courbe décrite par le point F ; on aura la représentation de toutes les pressions en B. Nous avons préféré construire la courbe décrite par lepoint P ; on peut déduire le point P du point F, mais on peut aussi obtenir le point P en menant A'P parallèlement au talus AF et BP perpendiculairement à la droite A'C. Si nous faisons mouvoir le point G sur la circonférence de Tépure circulaire, nous trouvons deux points de la courbe pour chaque talus. Ainsi, pour le talus AF, nous pouvons prendre le pôle' G ou le pôle D; nous trouvons les pressions BP et BP'. La pression BP' correspond à la seconde solution linéaire ; elle suppose que les terres glissent vers le haut suivant une caractéristique ; mais les points P et P' décrivent deux parties d'une même courbe analytique, car on passe de la première à la seconde solution linéaire par le changement de signe d'un radical. La courbe est symétrique par rapport à Taxe AB ; nous n'avons pas représenté la moitié de la courbe qui se trouve au-dessus de cet axe : elle correspond aux talus qui passent sous la plaque et qui, au point de vue analytique, donneraient des pressions négatives sur la plaque. Nous avons choisi les quatre talus marqués par les chiffres 1, 2, 3 et 4 ; nous avons obtenu 4 groupes de deux points ; cependant, pour le talus naturel, qui est marqué par le chiffre 1, les deux points coïncident, les deux solutions linéaires se confondent.

On peut trouver facilement l'équation de la courbe ; elle est du quatrième degré. De la construction, on peut déduire que cette courbe est unicursale, car, à un point G de la circonférence, correspond un point unique F ou P de la courbe, et la relation entre les coordonnées est algébrique ; or, la circonférence est unicursale, les coordonnées du point C peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d'un paramétre ; les coordonnées du point F ou P peuvent donc aussi s'exprimer par des fonctions rationnelles de ce même paramètre. Au point B, la courbe a un point double et les deux tangentes se confondent sur la verticale ; en effet, si le talus AF se rapproche indéfiniment de la droite AB, la droite BF devient perpendiculaire à A'A.

Pour le talus AF que nous avons considéré, la pression P fait un certain angle i avec la normale à la plaque ; la plaque est donc

poussée vers le vide, et pour la maintenir en équilibre, il faudra y appliquer une force horizontale dont la valeur est

K =-.= p sin i X

AB

Nous avons dit plus haut que cette valeur est une limite inférieure ; ou peut le démontrer directement. En effet, si l'on diminue cette force, le massif ËBA ne sera plus en équilibre et glissera vers le vide ; les secondes lignes de glissement fonctionnent ; le massif EBM se déforme par glissement parallèle à MB pour remplir le vide formé par le déplacement de BE ; quelques éboulements secondaires se produisent vers les points E et M.

197. Poussée maocima ou butée du massif supérieur . — Supposons la plaque maintenue en équilibre par la force horizontale minima F dirigée vers les terres ; faisons croître graduellement cette force ; il arrivera un moment où la plaque se déplacera vers les terres ; au moment où l'équilibre est sur le point de se rompre, la force horizontale prendra une valeur H et fera équilibre à une force contraire qui est la composante horizontale de la butée des terres. Pour obtenir cet état d'équilibre, nous devons évidemment supposer sous le talus la seconde solution linéaire où les terres tendent à glisser vers le haut suivant une caractéristique, c'est-à-dire celle qui correspond au pôle D de la figure 131. Nous avons représenté, sur la figure 132, les caractéristiques ME et AE du premier et du second système ; le talus AM commande la solution AEM, mais l'angle EAB peut être occupé par une solution conique quelconque construite sur la caractéristique AE. L'une de ces solutions est la solution

Fiy, 132.

linéaire prolongée qui nous a donné ]a pression P' faisant Tangle i avec la normale à la plaque ; mais on peut aussi construire des solutions à fortes pressions et la.dernière limite de l'équilibre s'obtiendra en supposant que la plaque est sur le point de glisser sous les terres supérieures ; on déterminera cet état d'équilibre en construisant une solution conique sur la caractéristique AE et le contour apparent AB du second système. Le problème est identiquement celui que Ton doit résoudre pour trouver la butée des terres sur un mur AB. On trouve très facilement la pression Q en B par une construction que nous avons déjà souvent appliquée et que nous n'avons pas reproduite sur la figure. Nous avons représenté cette pression en BQ sur la figure 131. La force horizontale totale qui pousse la plaque au moment où l'équilibre est sur le point de se rompre, est donnée par la formule

AB H = Q sin <p X — •

198. États (^équilibre intermédiaires. — Nous pouvons faire varier la force horizontale qui pousse la plaque, entre les deux limites F et H, et chercher les états d'équilibre correspondants. Nous pouvons d'abord construire sur AE (fig. 132) des solutions coniques comprises entre la solution EB et la solution linéaire ED ; ce sont des solutions à fortes [)ressions, les caractéristiques sont concaves vers le sommet, mais la courbure totale de l'arc de la caractéristique du premier système peut diminuer jusqu'à zéro ; on a alors la solution linéaire qui nous a donné la pression P' au point B ; l'angle de la pression avec la normale à la plaque varie de <p à i'. On peut ensuite construire sur la caractéristique AE des solutions à faibles pressions ; la caractéristique comprend un arc concave EF, un point de rebroussement, puis un arc convexe FH ; la solution présente un contour apparent qu'il faut remplacer par une discontinuité finie. Nous mènerons donc une ligne de discontinuité finie AR enlevant une partie de la solution linéaire de butée et, par les méthodes indiquées précédemment, nous déterminerons les fonctions (p, u) en un point R sous la ligne de discontinuité, nous construirons la solution conique engendrée par la discontinuité et nous déterminerons la pression sur la plaque. Nous pouvons faire tourner la ligne de discontinuité depuis la position AE jusqu'à la position AM ; dans ce dernier cas, la solution linéaire de butée disparait complètement, on retrouve la solution linéaire de poussée qui nous a donné la pression P en B. On peut donc faire varier la pression en B depuis la pression Q jusqu'à

fe pression P eu passant par P' ; Taugle de la pression avec la normale à la plaque varie depuis Tangle (p jusque Tangle i en passant pari' ; Textrémité de la pression en B décrit une courbe que Ton peut construire par points et que nous avons représentée en QP'P sur la figure 131 ; elle est formée de deux arcs PP' et P'Q de courbes analytiquement différentes.

Toutes ces solutions peuvent être considérées comme des solutions limites, si Ton se donne la direction des pressions. Elles répondent à la question suivante : on soutient la plaque par des pressions qui suivent la loi du triangle et qui agissent suivant une direction donnée, on demande la limite supérieure de ces pressions. En effet, on doit alors supposer que les terres sont sur le point de glisser vers le haut; on choisira donc, sous le talus, la solution de butée; en faisant varier l'angle des pressions avec la normale, on retrouve les pressions représentées par la courbe QP'P. Mais on peut aussi cher- Cher les limites inférieures de ces pressions de direction donnée ; on doit alors supposer que les terres sont sur lô point de glisser vers le bas ; on choisira donc la solution linéaire de poussée sous le talus. Partons de l'état d'équilibre qui nous a donné la pression Q ; nous pouvons modifier cette solution aussi peu que nous voulons, en supposant la poussée sous le talus, mais en menant une ligne de de discontinuité faisant un angle sufilsamment petit avec le talus ; car si cet angle tend vers zéro, la solution de poussée disparait complètement pour être remplacée par la butée, et Ton retrouve la solution qui nous a donné la pression Q. En menant une ligne de discontinuité faisant un angle suffisamment petit avec le talus, nous obtiendrons une solution qui différera infiniment peu de la solution linéaire de butée et qui, par conséquent, sera limitée par une caractéristique voisine de AE (fig. 132) ; on construira une solution sur cette caractéristique et le contour apparent AB. Mais la solution engendrée par la discontinuité finie est à caractéristiques convexes vers le sommet ; non seulement la caractéristique AE s'est déplacée, mais il s'est formé un contour apparent et une petite nappe supplémentaire dans le voisinage de AE ; il faut donc remplacer ce contour apparent par une seconde discontinuité finie. On trouve donc une solution qui se compose de trois solutions séparées par deux discontinuités finies, savoir : la solution linéaire de poussée, une solution engendrée par une discontinuité voisine du talus, une solution construite sur le contour apparent AB et reliée à la précédente par une seconde ligne de discontinuité. En augmentant l'étendue angulaire de la solution linéaire de poussée, on trouve une infinité d'états d'équilibre de cette espèce ; on trouve toujours des pressions faisant

l'angle du frottement avec la normale à la plaque, mais ces pressions diminuent. Il y a évidemment une limite inférieure ; on reconnaît, en effet, que si la première ligne de discontinuité fait avec le talus un angle de plus en plus grand, la caractéristique et le contour apparent de la solution qu'elle engendre se rapprochent de la plaque et finissent par la dépasser ; la seconde ligne de discontinuité finit par se confondre avec la plaque et la solution inférieure disparait. Comme la plaque AB n'a pas cessé d'être contour apparent, il faut qu'en ce moment la seconde ligne de discontinuité se confonde aussi avec le contour apparent de la seconde solution, ce qui indique que la troisième solution se réduit à zéro, pour devenir impossible. On trouve alors une pression Q' qui est la limite inférieure des pressions qui font l'angle du frottement avec la normale à la plaque. Si on continue à augmenter l'étendue angulaire de la solution de poussée, le contour apparent de la solution qu'elle engendre dépasse la plaque, il n'y a plus de troisième solution admettant AB comme contour apparent ; on doit se borner à interrompre par la plaque la solution engendrée par la première discontinuité; on trouve de» pressions qui forment avec la normale à la plaque un angle plus petit que l'angle du frottement. Si la première ligne de discontinuité continue à se mouvoir dans le même sens, elle finira par se confondre avec la plaque, la solution de poussée règne alors complètement au-dessus de la plaque ; on retrouve la pression P obtenue précédemment. En résumé, nous sommes parti de la pression Q représentée sur la figure 131 ; nous avons fait décroître cette pression jusqu'à Q' sans changer sa direction ; puis nous avons obtenu des pressions représentées par une courbe Q'P que l'on peut construire par points.

Coupons, par exemple, la solution linéaire de poussée par la droite ADO (flg. 133) ; nous trouvons la solution CAB dont les caractéristiques sont convexes vers le sommet ; le contour apparent passe

sous la plaque, mais il en est très rapproché ; il suffirait de relever un peu la ligne de discontinuité pour obtenir la pression Q'; on obtient une pres- Fig, 133, sipn faisant

avec la normale à la plaque un angle très voisin de l'angle qp ; elle est représentée sur la figure 131 par un point situé très près du point Q'.

Prenons ensuite (flg. 134) une ligne de discontinuité ADC plus

^ rapprochée de la

^^ plaque ; on trou-

^yy^ \ ve une pression

représentée sur la figure 131 par le point U ; on trouverait ainsi autant de points que Ton voudrait ' delà courbe PQ'.

Fig. 134. ^ Supposons

maintenant une pression en B dont Textréniité se trouve à Tintérieur du contour PP'QQ'P (fig. 131) ; elle est comprise entre la limite supérieure et la limite inférieure qui admettent l'équilibre ; elle est donc aussi en équilibre. Nous n'avons plus alors un équilibre limite mais un équilibre intermédiaire ; ou peut, dans une certaine mesure, augmenter ou diminuer la pression sans rompre l'équilibre. Comme dans tous les problèmes où le frottement intervient, l'état d'équilibre intermédiaire est indéterminé. On peut partir de la limite supérieure et la modifier en introduisant la solution linéaire de poussée sous le talus dans un angle croissant à partir de zéro ; on peut partir de la limite inférieure et introduire la solution linéaire de butée sous le talus daus un angle croissant à partir de zéro. On se donne la direction des pressions et l'on cherche la seconde ligne de discontinuité. Cette indétermination existait déjà pour les pressions comprises entre Q et Q' faisant Tauglo du frottemeut avec la normale à la plaque ; nous les avous obtenues en partant de la limite supérieure ; nous pouvions les obtenir au:5si en partant de la limite inférieure et en introduisant la solution linéaire de butée sous le talus dans un angle croissant à partir de zéro.

U y a encore d'autres solutions possibles. Ainsi, on pourrait réduire l'angle du frottement à l'inclinaison du talus donné ; on trouverait un état d'équilibre intermédiaire et l'on vérifierait sans peine que l'extrémité de la pression obtenue est à l'intérieur du contour des solutions limites. Ces états d'équilibre présentent peu d'intérêt; dés qu'il y a un changement quelconque dans les forces sollicitantes, il y a mouvement ou tassement dans un sens ou dans l'autre : l'angle du frottement atteint sa valeur limite. Cette valeur est certainement atteinte au moment où l'équilibre est sur le point de se rompre, et ce sont ces états d'équilibre limite qui sont les plus intéressants.

On peut aussi introduire des discontinuités qui ne sont pas nécessaires. Soit flg. 135) AME la solution linéaire de butée ; prolongeonsla vers le bas et coupons-la par une ligne de discontinuité AR ; la

Fin. f.9/5.

caractéristique du premier système forme un angle positif en R, puis prend une courbure négative. On peut obtenir la même valeur de la fonction u sur la plaque, en construisant une solution conique sur AE, à caractéristiques concaves vers Je sommet. Je dis que c'est la solution conique qui se produira et que la solution discontinue n'est pas stable. En edet, supposons la solution discontinue réalisée jusqu'à la caractéristique MRD, et continuons la construction de la solution en appliquant la méthode générale. Les deux caractéristiques MC et MR, de systèmes opposés, déterminent la solution linéaire qui est limitée à la caractéristique RF. Au point R, la fonction u subit un accroissement brusque égal à l'angle R ; on peut le réaliser en prolongeant la ligne de discontinuité ou en construisant une solution pseudo-conoïde de foyer F. Or, cette dernière est la solution stable, car il suffirait de remplacer le point angulaire R par un arrondi, pour rendre la solution discontinue impossible. La solution discontinue est donc instable.

199. Discussion, — Nous avons supposé, dans l'étude précédente, que le talus supérieur avait l'inclinaison indiquée par le chiffre 2 sur la figure 131 ; il s'agit de voir comment le contour PP'QQ'P se transforme, lorsqu'on fait varier l'inclinaison du talus.

Si d'abord le talus s'incline davantage pour se confondre avec le tains naturel, les points P et P' se rapprochent et viennent se cont'oii'lre ; les deux courbes du contour partent de ce point. Reprenons la figure 132; si l'inclinaison du talus augmente, l'épure circulaire indique que l'angle MAE diminue pour se réduire à zéro lorsque le talus a l'inclinaison du talus naturel ; toutes les solutions obtenues par la discontinuité AR disparaissent ; ce sont celles qui nous ont doimé l'arc PP' de la figure 131.

Supposons maintenant que rinclinaison du talus diminue ; la droite AE de la figure 132 se rapproche de la plaque et il arrive un moment où l'angle EA6 est nul. Dans ce dernier cas, il est facile de voir que la solution linéaire de butée est la seule qui donne une pression formant avec la normale à la plaque un angle égal à l'angle du frottement, de sorte que les trois points P', Q et Q' de la figure 131 viennent se confondre en un point unique T. En effet, nous avons obtenu l'arc P'Q en construisant les solutions coniques sur la caractéristique AE et le contour apparent AB {ûg. 132) ; toutes ces solutions se réduisent à la solution linéaire, quand l'angle AEB disparaît ; le contour apparent devient une caractéristique. Nous avons obtenu la droite QQ^ en imaginant une discontinuité sous le talus de poussée ; mais dans le cas qui nous occupe, le contour apparent de la solution engendrée par la discontinuité passe immédiatement sous la plaque; on trouve les limites inférieures représentées par une certaine courbe TN (fig. 131).

Si l'inclinaison du talus continue à diminuer, la caractéristique AE passe sous la plaque ; il n'est plus possible de réaliser une pression faisant l'angle du frottement avec la normale à la plaque. On a pour la butée un cas analogue à celui que nous avons rencontré dans la poussée ; la plaque ne peut plus glisser sous Jes terres ; la rupture de l'équilibre se produit par l'entrainement des terres et de la plaque, avec glissement vers le haut d'un autre massif compris entre les deux caractéristiques qui passent par l'extrémité de la plaque. Les limites supérieures et inférieures sont données par des courbes dont les extrémités représentent les pressions dans les deux solutions linéaires ; les autres points s'obtiennent en imaginant une discontinuité sous l'une ou l'autre de ces solutions linéaires.

200. États (ïéquilibre du massif inférieur. — Lorsque la plaque est sur le point de se déplacer vers le vide, les terres supérieures produisent au point B de la plaque une pression P (fig. 136)

faisant l'angle i avec la normale à la plaque ; au même point, les terres inférieures produisent une certaine pression S faisant un angle J avec la normale à la plaque. Les composantes normales de ces pressions doivent se faire équilibre ; on a donc

S cos ; = P cos i ;

y/ I les composantes tangentielles se

F'n 1 9/î composent en une résultante dirigée

^* * vers les terres et dont la valeur est

R = S sin ; — P sin i ;

en éliminant la réaction inconnue S, on trouve

R = ^«»liL- »l . (72)