Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications

La question posée au concours universitaire de 1873-1874 était la théorie du gyroscope; le 31 mars 1874 nous fîmes parvenir au Ministère de l'intérieur un Mémoire sur cette question accompagné de 5 thèses. Ces thèses furent défendues en séance publique le 3 juillet 1879; peu de temps avant, elles avaient été publiées au Moniteur dans les termes suivants :

Thèses rédigées par le second concurrent en sciences physiques et mathématiques, M. Junius Massau , élève-ingénieur des ponts et chaussées , élève de l'Université de Gand.

1. — La méthode employée dans le chapitre II, première partie {du

ds tném.oire rédigé à dom,icile ) pour discuter r équation en — j— peut servir

pour étudier un grand yioinbt'e adéquations différentielles.

2. — Dans le même ordre d'idées, on pourrait calculer ces fonctions dune manière graphique.

3. — La 7nême méthode pennet de construire graphiquement les surfaces, moments, mom,ents d'inertie , centres de gravité, racines d'équations , etc.

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4. — On peut imaginer un instnttnent qui résolve les mêmes problêmes.

5. — La méthode anciouie cC exposition du calcul infinitésirnal n'est pas rigoureuse ; la méthode actuelle est difficile pour les élèves et m.anque de naturel. En combinant les deux, on pourrait peut-être exposer le calcul plus simplement sans que la rigueur en souffre.

Le 3 décembre 1877, nous présentâmes un mémoire sur les quatre premières thèses , à la section de Charleroi de l'Association des ingénieurs sortis de l'École de Gand.

Le Bulletin mensuel de cette Association du mois de décembre 1877 a résumé ce mémoire comme suit :

'• La parole est donnée au camarade Massau qui s'est chargé de présenter un Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications.

" Les principales méthodes graphiques employées jusque maintenant sont de deux espèces : les unes sont d'ordre purement géométrique et forment une science connue depuis longtemps sous le nom de calcul graphique ou calcul par le trait ; les autres se déduisent à la fois de la géométrie et de la statique et forment une science toute moderne que l'on a appelée statique graphique. Le principal avantage de cette dernière, c'est qu'elle est presque uniquement fondée sur un même tracé qui est celui du polygone funiculaire au moj-en du polygone de Varignon. Il arrive ainsi que l'on se familiarise très vite avec les constructions , et non seulement on arrive plus vite au but que par toute autre méthode , mais un simple examen de l'épure permet de saisir immédiatement l'ensemble des opérations et d'en vérifier la complète exactitude. Le calcul graphique ne paraît pas présenter les mêmes avantages ; les problèmes les plus importants ne sont résolus que par des méthodes incomplètes ou peu pratiques qui presque toujours fatiguent plus l'esprit que les calculs qu'elles veulent éviter. La raison en est dans la diversité des opérations, et il semble qu'en choisissant une construction type et en faisant de cette construction un emploi systéma- .

tique, on arriverait à de nouvelles méthodes aussi avantageuses que celles de la statique graphique. Le but du Méraoirequi est soumis à l'examen de la Section est le développement des thèses que le camarade Massau a présenté, dans cet ordre d'idées, au concours universitaire de 1873-1874. Ce Mémoire est divisé en cinq livres.

" Le livre premier traite de l'opération type appelée intégration graphique et qui peut s'énoncer comme suit : Étant donnée une courbe y = fx dite courbe primitive , construire

la courbe y= j fxdx dite courbe intégrale. De même que

par le polygone de Varignon , on obtient les inclinaisons des côtés du polygone funiculaire , de même on peut construire un diagramme donnant les inchnaisons des côtés d'un pol}-gone inscrit ou circonscrit à l'intégrale et déduire de là deux méthodes générales d'intégration graphique qui exigent, la première la connaissance des ordonnées moj-ennes, la seconde la connaissance des abscisses moyennes des arcs de la courbe primitive. Dans la plupart des cas utiles à considérer pour les besoins de la pratique, ces ordonnées et abscisses moyennes se déterminent l'acilement et l'on obtient une intégration exacte; dans les autres cas, on opère par assimilation et l'on obtient une intégration approchée. Il est inutile de se précocuper des constantes d'intégration ; une intégrale quelconque du w'^"»* ordre étant tracée , elle représente l'intégrale centrale, si on suppose que les ordonnées de la courbe soient limitées vers les y négatifs par une parabole arbitraire de, degré n — 1 ; les conditions qui définissent une intégrale particulière permettent de déterminer la courbe de repère relative à cette intégrale.

" Le livre II est consacré à l'étude des applications diverses, à l'algèbre, la géométrie et la mécanique. Un grand nombre de courbes peuvent être construites par les procédés d'inté-' gration graphique; on peut citer les paraboles de divers, degrés données par leurs équations ou un nombre suffisant-

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de points et de tangentes, les hyperboles ayant une équation de la forme

yr= r + .... + l,

les courbes dont l'ordonnée est une fonction rationnelle de l'abscisse et plus généralement toutes les courbes algébriques auxquelles M. Cayley a donné le nom de courbes iinicwsales. Les surfaces planes et leurs moments de divers ordres peuvent se déterminer au moyen de certaines courbes intégrales dites courbes des moments; ainsi les moments statiques et les moments d'inertie s'obtiennent respectivement par une double et une triple intégration ; l'ordonnée du centre de gravité est l'ordonnée où le moment statique est nul et s'obtient avec la plus grande facilité. Les lieux des efforts tranchants et des moments fléchissants d'une poutre droite sollicitée par des forces normales sont respectivement les intégrales première et seconde de la courbe des charges; la forme d'équilibre d'un fil sollicité par les mêmes forces est identique au lieu des moments fléchissants et peut s'obtenir par une double intégration.

" Le livre III contient des tracés qui permettent d'efïectuer graphiquement tous les calculs des terrassements nécessaires à l'établissement d'une route.

1' Le livre IV comprend le développement des méthodes graphiques relatives à la stabilité des constructions en maçonnerie ; on peut sans aucun calcul déterminer les dimensions des murs de réservoir ou de soutènement et résoudre tous les problèmes relatifs à la stabilité des voûtes.

« Le livre V traite du calcul des poutres droites. Les lieux

des efforts tranchants et des moments fléchi.'^sauts sont des

ntégrales affectées de certaines constantes ( réactions d'ap-

dy pui, moments d'encastrement) ; l'inclinaison ~ et la flèche y

de la fibre moyenne déformée sont respectivement les intégi'ales première et seconde du lieu des moments fléchissants ; il est ainsi possible de trouver graphiquement tous les élé-

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ments d'une i)Outre droite quels que soient la- clmrge, les conditions d'appui et le nombre de travées.

'• Le livre VI est l'exposé d'un procédé d'intégration graphique applicable aux équations différentielles du premier

ordre de la forme fiœ, y,^\ =o. il repose sur l'étude des

courbes f{x,y, a) = 0 qui sont les lieux des points où les intégrales en nombre infini de l'équation donnée ont la même inclinaison.

" On peut par ce procédé étudier la forme des axes hydrauliques des cours d'eau non prismatiques. »

Les deux premiers livres de ce Mémoire furent publiés en 1878 dans les Annales de V Association des Ingénieurs sortis de V École de Gaiid. Chargé vers la fin de cette année du cours de mécanique à l'Université de Gand , la publication de notre cours a absorbé tout notre temps et nous a empêché de continuer notre travail. Nous aurions pu sans doute livrer à l'impression les notes que nous avions communiquées à la Section de Charleroi; mais les parties de notre Mémoire déjà publiées ut le résumé du Bulletin mensuel suffisaient aux lecteurs pour deviner la plupart des applications qu'il nous restait à faire connaître. Nous avons donc cru pouvoir attendre que nous ayons complété les derniers livres de notre travail avant de les i)ublier; au lieu d'énumérer sèchement les applications de l'intégration graphique que nous avions annoncées , nous avons étudié d'une manière plus ap[»rofondie , les questions auxquelles notice méthode peut s'appliquer; nous avons aussi introduit quelques recherches avec lesquelles l'intégration graphique a des rapports plus ou moins éloignés.

C'est ainsi que nous exposons une méthode pour construire des tables graphiques , qui nous paraît oeaucoup plus générale que la méthode de M. Lalanne ; nous appliquons cette nouvelle méthode à quelques questions d'hydraulique, aux calculs des murs de soutènement, à la détermination des longueurs qui représentent les surfaces de déblai et de remblai

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sans calcul des cotes rouges. Dans le livre IV, nous ne nous bornons plus à appliquer Tintégration graphique aux théories admises sur la stabilité des voûtes, nous discutons ces théories pour en démontrer l'inexactitude et nous proposons une théorie nouvelle. Dans le livre V nous étudions plus complètement la stabilité des arcs métalliques.

,. Nous croj'ons que notre travail ainsi complété sera beaucoup plus intéressant pour nos lecteurs.