I. Représenlation graphique des quantités. — Ou

représente les quantités de quelque nature qu'elles soient par des lignes proportionnelles ; soient X , X', X" des nombres de même nature , a la longueur qui représente l'unité ; les longueurs qui représentent les nombres X , X', X" sont données par les équations x^^a, œ'==X'a, œ" = X"a. Si a est exprimé en millimètres , œ, x', x" seront donnés également en millimètres. Lorsque a n'est pas exprimé par un nombre simple , cette méthode conduit à des multiplications fréquentes et pénibles que l'on peut éviter au moyen d'une échelle.

8 INTEGRATION GRAPHIQUE.

9. Représentation graphique d^ane fonction. — Pour représenter une fonction Y = /'X , on choisit deux axes coordonnés, on porte à des échelles convenables (différentes ou non) X en abscisses, Y en ordonnées ; la courbe que l'on obtient est la représentation graphique de la fonction. Réciproquement Y = fX est l'équation de la courbe. Toutefois cette équation n'est pas homogène et il est utile de la transformer.

3. — Soient a, b les longueurs des unités des échelles des X et des Y; les coordonnées o), y d'un point quelconque de la courbe seront données par les formules œ = Xa, y=Yb, d'où l'on tire

X = iL, Y=|-; a b

l'équation Y = Pi devient

qui est l'équation homogène de la courbe.

Plus généralement soit une relation /"(X, Y, Z) = 0 entre des quantités X, Y, Z de natures différentes dont nous représentons les unités par a, b, c; en rendant cette relation homogène, elle devient

4. Intégration graphique. — Dans ce qui va suivre, nous représenterons toujours les fonctions par des courbes; quand nous dirons donner ou trouver une fonction, cela voudra dire donner ou trouver graphiquement la courbe qui la représente. Cela étant et en vue de ramener toutes les constructions à un même tracé , nous choisissons comme opération fondamentale, l'opération qui consiste à trouver l'intégrale d'une fonction donnée : c'est à cette opération que nous avons donné le nom àHntégration graphique. La courbe donnée sera appelée courbe iirirnitive , nous appellerons courbe intégrale la courbe qui représente la fonction intégrale et nous aurons souvent à considérer des courbes

INTEGRATION GRAPHIQUE. 9

intégrales premières, secondes, etc., si l'on effectue plusieurs intégrations graphiques successives. Réciproquement une courbe pourra donner lieu à des courbes dérivées de divers ordres.

5. Formules roiidameiitales. — Soit Y = fX la fonction donnée , Z l'intégrale de cette fonction ; on a l'équation dZ = YdX et en la rendant homogène par la méthode n" 3 , on trouve :

d — = -f- rf — ou bien dz = ^--— ; c b a ab

d'où en posant

. ab

on déduit :

éz-yf. (2)

En intégrant cette der

nière entre les limites xeix + Ax,

on obtient :

1 ydx

Cette équation (3) peut subir une transformation qui sera très utile dans ce qui va suivre. Soient AB (flg. 1 , pi. 9) la courbe primitive , A et B les points dont les abscisses sont x et ^ -}- A ^. En supposant les axes rectangulaires, ijdx sera la surface d'un élément MM' nV m et

ydx

sera la surface du trapèze curviligne KY^ba. Traçons a (3, parallèlement à l'axe des x, de façon que le rectangle aftba ait même surface que le trapèze curviligne k'^ha et soit î/m l'ordonnée commune des points de la droite a/5 : c'est ce

10 INTEGRATION GRAPHIQUE.

que nous appellerons rordonnée moyenne de Tare A B. Eu exprimant l'égalité des surfaces c/.{il)n et AB^r/, on a :

//,„ A ^ = I ydx.

En p(n^tant cette valeur de

yrjœ

dan« l'équation (3), on obtient :

Az^^^^~^' (4)

G. Remarques. — 1° Cette transformation suppose les axes coordonnés rectangulaires; mais il est facile de l'étendre au cas de deux axes faisant entre eux un angle quelconque a.

Il sera toujours possible, en effet, d'imaginer un parallélogramme a^ab {ûg. 2), équivalent au trapèze curviligne AB b a; tjm l'ordonnée de a (3 sera encore l'ordonnée moyenne. L'équation qui exprime l'égalité des surfaces XBba, et a^ba est :

J-^x -[ Ax ijdx sin w,

d'oii comme précédemment on tire :

y-m àx = \ yrlx

2° De l'équation

/,.r — ii u:

Az ='

il résulte que l'on peut dire que la courbe intégrale est engendrée par un point se déplaçant sur l'ordonnée de la courbe primitive, ou sur son prolongement de quantités proportionnelles à la surface engendrée par cette ordonnée.

INTEGRATION GRAPHIQUE. Il

3° L'équation

montre que A c; est la dimension variable d'un rectangle ou parallélogramme, dont l'autre dimension est constante et égale à 1 et dont la surface est équivalente à la surface engendrée par l'ordonnée de la courbe primitive. La longueur 1 donnée par l'équation X = — ne dépend que des

échelles adoptées dans le tracé ; nous l'appellerons base de Vintégraiion.

% 2. Propriétés de la courbe intég-rale.