CHAPITRE V

Poutres droites à sections variables,

§ 1. Généralités.

iiS'i. tourbe des î. — Si on excepte les poutrelles laminées , on peut dire qu'en général les poutres sont calculées de telle sorte qu'en chaque point le moment résistant soit égal au plus grand moment fléchissant qui peut se produire en ce point. Soit di , la plus grande dilatation que l'on peut tolérer à l'unité de distance de la flbre moyenne de la poutre ; soit M , le plus grand moment fléchissant en valeur absolue ; on doit avoir au point considéré :

à. = — dou c = -^ •

Soit V la distance d'une flbre extrême à l'axe de la poutre ; soit R la plus grande force élastique que peut suporter cette fibre ; on a ( 1 ) :

( 1 ) Nous admeUons que la matière résiste aussi bien à l'e^stension qu'à la compression ; s'il s'agissait d'une poutre d'égale résistance en fonte , on devrait égaler s, à la plus petite des deux valeurs que l'on trouve en

INTEGRATION GRAPHIQUE. 607

On voit que o est constant dans une poutre de hauteur constante et que par conséquent la courbe des s est à une certaine échelle la courbe des plus grands moments fléchissants en valeur absolue.

Si la poutre a une hauteur variable h , on trouve en posant

0 = -rr. la valeur s = —y- Dans ce cas, la courbe des £j se

construit par points, les ordonnées s'obtiennent par une multiplication graphique.

033. 4 "as où la slati<iuc suflit. — Quand la statique suffit pour déterminer letat de sollicitation , on ne doit utiliser la courbe des i que dans l'étude des déforaiatious. On intègre alors la ligne des M par éléments très petits avec une base variable proportionnelle à î (551 ) ; on obtient la ligne des /; ; on trouve ensuite la hgue des y en intégrant celles des y) avec Uiie base constante. Les lignes de repère sont des droites que l'on détermine facilement; pour une poutre sur deux appuis, on exprime que y est nul aux deux appuis, pour une poutre encastrée à une seule extrémité , on exprime que y et y; sont nuls dans la section d'encastrement. Nous n'avons . donc qu'à nous occuper des problèmes où l'état de sollicitation dépend des delbrmations.

03JL. Cas géucral. — Pour chaque travée, la ligne des M' est une droite; si cette droite était connue , on obtiendrait le polygone des // et le polygone des y' par la méthode du numéro 553 ; il est donc nécessaire d'intégrer trois fois 1 : i (.60). La première intégrale donne la base d'intégration ;

considérant chacune des fibres extrêmes ; on trouve que I doit avoir Ja plus grande des trois valeurs :

M/î M'h ' MM'h

2 (R — R') ' 2 (.R + R'j ' 2iM f-M'jR '

M, M' étant respectivement les plus grands moments fléchissants positifs et négatifs ; R la force élastique limite à l'extension , R' la force élastique limite à la compression.

608 INTEGRATION GRAPHIQUE.

la seconde donne la verticale centrale et la verticale anticentrale /directrice des /;; la troisième donne l'une des verticales principales et on déduit l'autre par une construction simi)le. La ligne des y/ et des ?/' se représentent par des polygones analogues à ceux que nous avons trouvés pour les poutres prismatiques ; il suffit d'observer que les directrices sont déplacées.

On peut trouver les lignes des y; et des y en intégrant par éléments très petits , mais il est préférable de déterminer les directrices d'intégration pour chaque travée chargée uniformément ; il sufïit (556) de tracer l'intégrale quatrième de 1 : /}. Les tracés des lignes des y; et des y s'opèrent alors comme si la poutre était prismatique, saut en ce qui concerne la position des directrices.

Quand on veut étudier complètement la stabilité d'une poutre, on doit fractionner les charges indéfiniment ; il est utile (629) de tracer les directrices d'intégrations pour chacune des demi-travées; les quatre intégrales de 1 : £ permettent de trouver ces directrices.

0*S5. Résumé du chapitre. — Sauf en ce qui concerne la position des dn^ectrices et la variation des bases d'intégration des y] , tous les tracés des chapitres précédents sont applicables; nous croyons qu'il serait inutile de reproduire presque textuellement ces chapitres ; nous nous bornerons de renvoyer le lecteur aux numéros de ce chapitre, dans les questions où les démonstrations et les tracés ne subissent aucune modification ; nous traiterons les autres questions d'une manière détaillée.

§ 2. Poutre encastrée aux deux extrémités.

0!{0. Solution |>ar Pépure dc!» y. — On opère comme au numéro 577. Soient (tig. 247) : ACD , la ligne des M; EF la corde des /, ; KSL ks tangentes extrêmes à la courbe des?/. Nous supposons que les extrémités de la poutre soient encastrées suivant la memp hoii/ontjile ; la ligne des ?/' est KMNL,

INTEGRATION GRAPHIQUE, 609

on obtient les autres lignes en prenant les dérivées ; la ligne des y;' est EGF, celle des M est A'B'. Si les encastrements faisaient un angle entre eux , on déterminerait les tangentes extrêmes des ?/' , en utilisant les valeurs de y et de •/] aux deux extrémités de la poutre.

037. Soliiiioii parTépurc des r\. —Nous allons d'abord démontrer quelques théorèmes.

I. La dérivée de la corde des y' est T ordonnée du centre de gravité R de trois poids appliqués aux sommets E, F, (} du polygone des r! et proportionnels aux segments a, ï, y delà travée divisée par les verticales principales.

Soient y], y;', //" les ordonnées des sommets E, F, G ; r^m l'ordonnée moyenne de la ligne des r! , ou la dérivée de la corde des y' \ a, (3, y les segments Be, eé , eA; on a évidemment

y;m (a + P + 7) = avj + .6-/]' + y/i".

Cette équation démontre le théorème.

II. Le centre de gravité H est situé sur la verticale anticentrale.

En effet , si on compose les poids a et y appliqués en E et F, on obtient un centre sur la verticale anti-centrale ; car la verticale centrale divise la travée dans le rapport des segments a et 7 ( 553 , âg. 208 , e) ; le troisième poids G est aussi sur la verticale anti-centrale, donc le centre des trois points E , F , G s'y trouve également.

III. La droite EH divise le cd^e GF dans le rapport inverse des poids (i et y.

En effet, on peut obtenir le centre H en composant d'abord les poids G et F ; on trouve un centre R au point qui divise GF dans le rapport 7 : |3 ; en composant les poids E et R, ou doit retrouver H ; donc ER passe par H ou EH passe par R.

Les trois propositions qui précèdent permettent de généraliser la construction du numéro 578. On détermine le point H en prenant la dérivée de la corde des y' ; on joint EH que l'on prolonge jusqu'au point R situé sur une verticale facile à tracer ; le point R appartient au côté GF ; on joint FR ,

610 INTEGRATION GRAPHIQUE.

puis EG ; la ligne des y;' étant tracée, on obtient celle des M' en prenant la dérivée.

639. Solution par IVpiirc des M. — Déterminons le point H comme nous venons de l'indiquer ; nous allons démontrer que : les dérivées des pseudo-médianes EH et HF ont pour valeur les M' principaux.

Démontrons, par exemple, que la dérivée de EH est le moment Fe. En effet, appliquons à la corde ER de l'angle EFR la remarque du numéro 550. La corde ER a pour dérivée l'ordonnée du point qui divise B'A' dans le rapport inverse du rapport EH : HR; or ce rapport inverse est précisément le rapport des poids E et R, c'est donc le rapport a : /3 + y; l'ordonnée dérivée est donc bien l'ordonnée Pe; c'est ce qu'il fallait démontrer.

En prenant les dérivées des deux droites EH et HF , on obtiendra les deux points principaux de la ligne des M' ; cette ligne des M' est ainsi déterminée.

639. Solutions diverses. — La première méthode du numéro 580 se généralise facilement. Nous supposons les encastrements de niveau ; on compose les poids Mdx : s en une résultante ; on considère B'A' comme la loi des pressions qui serait produite par cette pression résultante sur une section projetée en AB et dont les dimensions perpendiculaires à AB soient 1 : s ; on peut appliquer alors les méthodes du numéro.

Comme au numéro 580 , on peut représenter les M' principaux par des aires.

§ 3. Poutre encastrée à une extrémité et appuyée à l'autre.

610. llètliodes diverses. — Les solutions des numéros 588 , 589 , 590 s'appliquent ici. On trouve ( flg. 247 ) la ligne des y' en KMN'L , la ligne des r,' en EG'F' , la ligne des M' en AB". Si sur l'appui A , on introduit un moment d'encastrement-arbitraire , la ligne B"A pivote autour du point P. Les solutions' diverses du numéro 591 .s'appliquent aussi sauf quelques modifications que l'on aperçoit sans difïîculté.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 611

§ 4. Poutres continues.

04 I . .Ilêlliodc générale. — On trace les lignes des y; et des y ; on exprime les conditions de la déformation ; on obtient comme au numéro 597 les points invariables des y'; le i-roblème revient à trouver l'état de sollicitation d'une poutre non chargée assujettie à passer par les points invariables. Les problèmes et théorèmes du numéro 508 s'appliquent textuellement aux poutres non prismatiques; il

suffît de remplacer -et — par les segments des travées déterminées par les verticales anti-centrales et principales. La méthode générale du numéro 599 s'applique sans difficulté.

O-i?. Solnlioh par répure des y. — Nous allons démontrer le théorème suivant : si le moment M' varie continûment entassant d'une travée à la voisine, les côtés des }' adjacents à la tangente commune se coupent sur une verticale fixe apx)elée directrice de continuité.

Soit (fig. 248, fig. e) ABCDEFG le polygone des y pour deux travées ; il s'agit de prouver que les côtés BC et EF se coupent sur une verticale dont la position est indépendante des M et des M'. En effet : soient cl, d' les projections horizontales des côtés CD' et D'E ; appliquons à la corde CE de l'angle D' la remarque du numéro 550 ; on trouve que le rapport cl : cV doit être le rapport inverse des projections verticales des côtés BD et DE de la ligne des /■/. Cette proposition peut aussi se démontrer en considérant le polygone des ?/' comme un polygone funiculaire ; les forces qui passent par les sommets C et D sont des poids représentés par les projections verticales des côtés des r! ; or le point D' se trouve sur la résultante de ces deux poids, donc le rapport cl : d' est le rapport inverse de ces poid^'. Soient respectivement /, /', les bases d'intégrations des y; pour chacune des travées ; soient a et a' les projections horizontales des côtés BD et DE des y/; soit M' le moment sur l'appui ; on a :

Ww Wa

612 INTEGRATION GRAPHIQUE.

OU bien :

d: cl' =—,: - •

Cette proportion démontre le théorème.

L'un des moyens de déterminer la directrice de continuité est de prendre arbitrairemiut M' et de tracer les deux côtés desv;' et les trois côtéî dis //' qui en dépendent ; les côtés adjacents à la tan.;^ent3 C3n a.iuj S3 c )a-ieront sur la directrice inconnue.

On peut aussi opérer ommB il sjit ; soient u, z«, , u^ et u\ ii\, u'-i les intégrales de 1 : t poar les deux travées /et /'; on a :

On a donc

d'.âJ =

Il est facile d'obtenir des droites dont les angles avec l'horizon soient :

tang 9 = — - — - tang 5' = —^

La proportion devient :

d tang 9 = cV tang 6'.

Si par les projections des points C et E sur une horizontale (fig. c), on mène les droites qui font les angles 9 et 6' avec cette horizontale, ces droites se coupent sur la directrice de continuité.

Si on trace les directrices de continuité pour chaque appui, on obtient la ligne des y' pour la méthode du numéro 600.

OU. Solution par l'c'piip^ des r,. — Déterminons comme nous l'avons lait précédemment les points invariables A, D, G fig. 248, fig. c) delà ligne des y' ; prenons les dérivées des cotés

INTEGRATION GRAPHIQUE. 613

de ce polygone et portons-les (flg, b) sur les verticales anticentrales; nous savons (637) que nous obtenons ainsi les points a et |3 qui sont respectivement les centres de gravité de poids connus appliqués aux sommets A, B, I) et aux sommets D,E, G de la ligne des yj' ; ces points a, 3 sont les points invariables de Vépure des r!.

Si on se donne •/!„ ou le côté AB , on obtient la ligne des •/]' en appliquant une méthode analogue à celle du numén» 601. Les droites AC, DF jouent le rùledes médianes; on voit(fig.6/) comment on détermine les directrices des points C et F. Toutefois, nous devons résoudre une petite difficulté qui ne se présente que dans les poutres à sections variables. Les côtés des r! qui se joignent sur un appui n'ont plus même direction ; leurs directions s'obtiennent en intégrant un même moment M' avec des bases d'intégration différentes. Ayant, par deux solutions, trouvé le pivot P du côté BD, il s'agit de trouver le pivot P' du côté D E ; nous allons démontrer que ces deux pivots sont situés sur une même horizontale et que l'on a :

PD' : P'D' = l : À'.

En effet, la figure PP'D'D est semblable à la figure ppd^d du diagramme des inclinaisons ; on a donc :

PD' : P'D = ). : l\

Si l'on suppose que le côté BD pivote autour du point P , il faudra nécessairement, à cause de cette proportion, que le point P' du côté DE reste fixe ; c'est donc le pivot du côté DE. Connaissant le pivot P, on trouve le pivot P' par une construction facile à imaginer (quatrième proportionnelle) ou en intégrant un moment arbitraire M'. Sauf cette petite construction qui doit être faite pour chaque appui, la méthode du numéro 601 ne subit pas de modification,

OU. Solution par I''épui'e des 11. — Nous appellerons comme au numéro 602, cordes principales des M' les cordes telles que CE (fig. (2) qui joignent les points principaux les plus voisins de chacun des sommets de la ligue des M'. Nous allons démontrer que toute corde principale passe par un

614 INTEGRATION GRAPHIQUE.

point invariable que l'on peut déterminer a priori et qui ne dépend que de la ligne des M et du niveau des appuis des deux travées correspondantes.

EneSét, reprenons d'abord l'épure des yj (flg. &);nous savons que les dérivées des droites DH et DF sont précisément les M' principaux les plus voisins de l'appui D. Soient Lt, f;L' ces moments principaux ; À, /' les bases d'intégration qui permettent de trouver les // respectivement pour chaque travée; //, la projection verticale du côté y.[i du polj'gone invariable des r; ; a, a' les projections horizontales des côtés BD et DE; on a :

Passons à l'épure des M' (fig. a); y. , y.' sont les ordonnées des points C et E. Soit a le point de CE situé sur la directrice de continuité; nous savons que le rapport des segments Ca

etaE est inverse du rapport y : yy ; donc l'ordonnée du

point a est :

Cette ordonnée ne dépend que de 7i et des longueurs a , a\ / , /.'; elle est indépendante par conséquent de l'inclinaison •/;o que l'on donne arbitrairement au premier élément de la ligne des //. Nous appellerons points invariaUes des M' les points analogues au point a. Pour obtenir ce point , il suffit de donner au point D (fig. & ) une position arbitraire , de prendre les dérivées des côtés aD et 0,3 , de tracer la corde principale des M' qui correspond à cette position du point D. Ce qu'il y a de plus simple, c'est de joindre a,3 et de placer le point D sur cette droite; on prend alors les deux dérivées de cette droite avec les bases À et À' ; on trouve la corde CE' (fig. a): cette corde détermine la position du point a sur la directrice de continuité.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 615

Comparons cette construction à celle qui se rapporte aux poutres prismatiques ; on voit que dans les deux cas on prend la dérivée des côtés du polj-gone invariable des r; ; mais dans le cas d'une poutre non prismatique, chaque côté donne deux dérivées que l'on porte sur les verticales principales correspondantes; ce sont les cordes qui joignent les extrémités de ces dérivées qui déterminent les points invariables des M'. Lorsque les points invariables des M' sont connns , on opère comme au numéro 602.

G4L5. Siinplincalioii «le IVpiirc dos yj. — Pour obtenir l'épure des r/, il faut intégrer la ligne des M' avec des bases spéciales à chaque travée ; mais si nous adoptons pour chacune des travées une échelle d'abscisses convenablement déterminée, nous pourrons faire en sorte que toutes ces bases soient représentées par une môme longueur. Cette modification des échelles d'abscisses dans l'épure des y; , n'exercera évidemment pas d'influence sur les relations entre les lignes des M, des •/] et des y ; mais elle aura pour conséquence de supprimer les petites difficultés que nous avons dû résoudre dans les deux numéros précédents. Grâce à cette modification d'échelles, les tracés des numéros 601 et 602 sont apphcables presque textuellement.

Il s'agit avant de construire l'épure des yj de déterminer les longueurs L, L', L",... qui, aux échelles spéciales dont il vient d "être question, représenteront les longueurs /, /', /",... des différentes travées. Nous avons trouvé que la base d'intégration est donnée pour une travée par la formule

/ rdx

rdx

On ne changera pas l'échelle des t] si l'on fait varier l'échelle des abscisses et la base d'intégration dans le même rapport (50); donc si >o est la base d'intégration unique que l'on veut adopter , on aura :

li ^ r dx

616 INTEGRATION GRAPHIQUE.

d'où

On construira donc l'épure des // en représentant les travées par des longueurs proportionnelles aux intégrales de 1 : î pour les diverses travées

040. llélliodes dî*'epses. — Comme au numéro 603, on peut ramener le cas général au cas où les appuis sont au même niveau ; on détermine par une épure spéciale l'effet de la dénivellation des appuis et appliquer le principe de l'indépendance des effets des forces. On peut aussi pour chaque travée déterminer les transformées droites, c'est-à-dire les lignes de repère qu'il faudrait adopter si chacune des travées était encastrée à ses extrémités suivant une même horizontale ; on peut dans l'intégration substituer ces droites aux lignes des M. On obtient comme au numéro 604 les points invariables des •/;' en intégrant ces transformées droites et en prenant pour chaque travée le centre de gravité de trois poids connus appliqués au sommet du polygone des // que l'on obtient. Si on opère sur l'épure des M', les transformées droites donnent immédiatement les points invariables ; ces points sont situés sur les cordes principales des transformées droites. Cette propriété se démontre comme celle du numéro 644. Il est à remarquer que la corde principale des transformées droites peut servir pour trouver une solution des M' ; pour une certaine valeur de /îq , la solution des M' s'obtient en faisant pivoter les transformées droites des deux travées que nous considérons autour des points principaux les plus voisins de l'appui intermédiaire ; on évite ainsi quelquefois la détermination des points invariables.

Les remarques du numéro 606 s'appliquent ici ; les moments p. et a' deviennent évidemment les moments des surfaces des M en supposant qu'en chaque point de la poutre le poids spécifique de ces surfaces soit 1 : t.

On peut comme au numéro 608 déterminer les abscisses des pivots par une épure spéciale ; on obtient les pivots pour

INTEGRATION GRAPHIQUE. 617

la poutre chargée eu traçant le polygone des pivots (608 , 609 , 610). Si on emploie rartifice du numéro 645, l'épure des-// se construit comme les autres, sinon le polygone des pivots des r; présentent des côtés horizontaux tels que PP' ; on détermine ce côté PP' par la [)roportiou :