Uéteriilinalion directe des po!iils iiirarial>le

des M'.— Déterminons les points principaux des transformées droites, c'est-à-dire les points de ces droites situés sur les verticales principales ; pour chaque appui , joignons les points principaux les plus voisins ; nous obtenons des cordes C"E" ; nous les ap[»ellerons cordes principales des transformées. Nous allons démontrer que quand les appuis sont de niveau, les cordes principales des transformées droites passent par les points invariables de la ligne des M'.

Proposons-nous, par exemple , de prouver que le point &' de la corde C"E" est l'un des points invariables. Reprenons l'épure des y; ; l'ordonnée du point invariable que nous cherchons est la dérivée de la droite a'|3'. Nous allons raisonner sur cette dérivée comme nous avons raisonné au numéro 602 sur la dérivée de aj3. Appliquons la remarque du numéro 550 ; les médianes a'd et d(i' ont pour dérivées les ordonnées des points principaux C", E" des transformées droites ; on en conclut que la dérivée de la droite a'fi>' est l'ordonnée du point a', qui divise la corde CE" dans le rapport inverse des longueurs des demi-travées ; or la directrice de contj-

580 INTEGRATION GRAPHIQUE.

nuité divise précisément la corde CE" dans ce rapport inverse ; donc ce point a' est le point invariable cherché (1).

OOG. Reuiîirciues dîicpses. — 1° On peut exprimer par l'analyse les trois méthodes graphiques précédentes ( 600 , 601 , 602 ) ; la solution par l'épure des M conduit au théorème des trois moments; ce théorème peut se mettre sous la forme d'une relation entre deux moments principaux séparés par un sommet. La solution par l'épure des-/; fournit une relation entre deux inclinaisons et un moment fléchissant. La solution par l'épure des y fournit une relation entre trois inclinaisons.

2° Si les appuis sont de niveau, la relation entre les moments sur deux travées adjacentes peut se mettre sous la forme :

y., u.' sont les moments des surfaces des M vrais , pris pour chaque travée, au tour de l'extrémité qui ne touche pas l'autre travée.

On arrive à cette relation en prenant la tangente à ligne des ij sur l'appui intermédiaire comme ligne de repère et en exprimant que les trois appuis sont en ligue droite; on utilise la formule ( 1 ) du numéro (576).

(1) On peut remarquer que, sur l'épure des M, a'u. représente le déplacement du point invariable dû aux différences de niveau des appuis; ce déplacement est précisément l'ordonnée du point invariable dans le cas d'une poutre non chargée; on peut le trouver facilement; on peut donc déduire le point a du point a'. On obtiendrait aussi a directement ensubstituantaux lignes des M , les lignes de repère des travées encastrées horizontalement sur des appuis placés aux niveaux donnés et en opérant sur ces droites comme sur les précédentes. Il nous paraît préférable d'étudier séparément l'influence des charges et celle du niveau des appuis.

§ 3. Épure des pivots.

©Oy. Épure spéciale des pivots. — Nous avons fait remarquer que les abscisses des pivots ne dépendent que des

abscisses des appuis ; on peut donc déterminer ces abscisses par une épure spéciale en prenant arbitrairement les charges ou les points invariables ; ce qu'il y a de plus simple c'est de supposer les charges nulles et les appuis de niveau ; alors la solution vraie est évidemment :

Les ordonnées des points invariables sont nulles ; les pivots qui doivent se trouver sur la solution vraie, ont des ordonnées nulles également ; on les détermine de proche en proche en imaginant d'autres solutions qui seraient produites par un couple extrême. Connaissant les abscisses des pivots, les épures des M', des y;', des /j' pour la poutre chargée deviennent plus simples; il suffit d'imaginer une seule solution; on détermine, par exemple, les pivots de proche en proche au moyen des solutions droites; pour les trois épures, les polygones des pivots sont circonscrits aux polygones des points invariables ; les polygones des M', des y]\ des y' sont circonscrits aux polygones des pivots.

L'avantage qu'il y a à déterminer les abscisses des pivots par une épure spéciale est surtout considérable quand on doit étudier l'effet de diverses combinaisons de charges sur une même poutre; les abscisses trouvées servent pour toutes les épures.

G08. Épure des M. — Soit (fig. 237*^'^) AN la poutre non chargée posée sur appuis de niveau. Prenons les points invariables sur l'axe AN en A, a, |3, y , N; la droite AN est la solution vraie de la ligne des M' ; les pivots se trouvent sur cette droite ; on les obtient en imaginant d'autres solutions dues à l'introduction d'un couple extrême en N ; on trouve P, Q, R au moyen des solutions ACDE, PFGH, QIKL.

Menons les verticales des points P, Q , R et rapportons-les dans la figure 237 ; supposons que dans cette dernière figure les points invariables a, (3, y soient connus; on obtient les pivots P, Q, R (fig. 237) en traçant le polygone des pivots APQR, à partir du point A, de telle manière que les côtés passent par les points invariables « , (3 , y et que les sommets soient sur les verticales déterminées par l'épure spéciale des pivots.

Au lieu de partir de la gauche, on pourrait partir de la droite en imaginant un couide indéterminé à l'extrémité gauche de la poutre ; on trouve alors (fig. 237*^'^) les pivots R', Q', P' pour la poutre non chargée. Remarquons que nous utilisons les mêmes cordes principales CE, FH, IL pour déterminer les pivots P, Q, R et les pivots R', Q', P' ; ces cordes sont arbitraires, elles peuvent se tracer tout d'abord avant de procéder à la détermination des deux séries de pivots. En rapportant les verticales des pivots R', Q', P', sur l'épure 237, on pourrait tracer le nouveau polygone des pivots comme précédemment et tracer la ligne des M' en partant du point A ; nous n'avons pas tracé cette nouvelle solution. On pourrait même déterminer un côté quelconque de la ligne des M' de la poutre chargée, au moyen de deux pivots de ce côté ; on détermine ces deux pivots en traçant les fragments des deux polygones des i)ivots que l'on obtient en marchant des extrémités de la poutre vers la travée considérée ; on trace la solution vraie en marchant de cette travée vers les extrémités.

609. £pnrc des y;. — Soit la poutre non chargée an (fig. 238 •>'*), Prenons les points invariables en ot, |3, y, o ; la solution vraie est la droite a;i; on trouve les pivots P,Q,R, S au moyen des solutions ABC, PDEF, QGHI , RKLM. On rapporte les verticales des pivots sur la figure 238 ; on obtient sur cette figure, les pivots P, Q, R, S en menant le polygone des pivots APQRS;le premier côté est horizjntalet passe par lepoint a,les autres passent par les autres points invariables |3,'/,c?; les sommets se trouvent sur les verticales déterminées par l'épure spéciale des pivots,

Nous avons aussi déterminé sur la figure 238^''^ les pivots S', R', Q', P' que l'on obtient en se donnant une inclinaison variable à l'extrémité droite et un couple à l'extrémité gauche; en utilisant ces pivots , on obtient une autre solution du problème.

On trouvera (fig. 238""") une petite modification de l'épure des //', pour la poutre non chargée. Au lieu de mener par les points a, l3, -/, rJ les médianes des triangles des y;', on imagine par ces points des parallèles aux tangentes extrêmes ; elles coupent ces tangentes extrêmes sur les verticales principales. Ainsi, par exemple, si on connaît P, on mène PD E (3, |6 F parallèlement à PE, FQ parallèlement à E(3; on obtient le pivot Q.

OIO. Êpiirc des ^. — Soit (fig. 239'^'') AN la poutre droite non chargée ; on obtient AN comme ligne des y ; la position vraie de la ligne des ?/' est évidemment y' = 0; les points invariables de la ligne des y' sont les appuis A ,D , G, K, N ; les pivots des côtés des ?/' sont tous' sur la solution vraie ?/' = 0 ; il suflira d'imaginer une autre solution de la ligne des y' en introduisant un couple extrême pour obtenir ces pivots. On trouve les pivots P , Q , R au moyen des solutions ACrfE, PF^H, QlkL.

Rapportons les verticales des pivots de la figure 239'''^ à la figure 239. On obtient sur cette figure les pivots P, Q, R en menant le polygone APQR ; le premier côté passe par les deux points invariables A et D , les autres par les autres points invariables G et K.

Si on part de l'extrémité droite avec une inclinaison variable/io, on obtient les pivots R', Q', P' (fig. 239'''*). On remarquera que l'on peut tracer tout d'abord les tangentes CE , FH, IL avant de passer à la détermination des deux séries des pivots.

Ol 1. Théopème. — Pour une même travée , le pîijot de la ligne dos M' et le xnvot du côté auxiliaire delà ligne des y' se trouvent sur une même verticale.

En effet, considérons le côté DG de la ligne des M' ( fig. 237) et le côté EF du polygone des ?/' ( fig. 239. ) Il s'agit de démon-

trer que les deux pivots représentés sur ces figures, par la même lettre P , sont situés sur la même verticale.

Considérons d'abord l'épure des M'; nous savons (115) qu'en prenant des bases convenables, l'une des intégrales secondes de la droite DG et D(?f 'G. Si on fait varier r,^ , l'ordonnée comprise, sur la verticale du pivot P , entre les droites ee' et DG reste constante. Mais cette propriété est indépendante des échelles ; elle existe donc dans l'intégrale seconde DEFG de la figure 239 ; donc c'est sur la même verticale que nous trouverons une ordonnée comprise entre DG et EF qui soit indépendante dey;o; cette ordonnée est évidemment celle qui correspond an pivot du coté EF; cela démontre le théorème.

Ce raisonnement prouve aussi qu'il y a certaines relations entre l'épure des AI' et celle des y'. Les figures DEFG des y' et Dee'G des M' peuvent se déduire l'une de l'autre en changeant l'échelle des ordonnées ( on prend comuie lignes de repère les deux droites DG des deux figures). Donc le point où l'on aurait M' = 0 peut aussi s'obtenir sur l'épure des y'; les droites EF et DG se coupent sur la verticale de ce point. Si cette verticale se trouvait à l'intérieur de la travée , la ligne des îj' présenterait sur cette verticale un point d'inflexion.

01*1. Démonstration géométrique de Texistenee des pivots. — Nous allons démontrer géométriquement que les côtés des 7/, des r,', des M' pivotent autour de points fixes lorsque l'on fait varier l'inclinaison y,q à une extrémité; cette démonstration convient mieux que l'analyse pour mettre en relief certaines propriétés intéressantes.

Reprenons l'épure des ?/' (fig.239); les points invariables A, D , G , K, N sont déjà les pivots des tangentes extrêmes des arcs des ?/'; il s'agit de prouver d'abord que les côtés auxiliaires du polygone des y' et le côté de la ligne des ■/;' pivotent aussi autour de points fixes. Considérons les côtés ACD des y' et prenons AD comme ligne de repère ; quand r,o varie, le polygone ACD vient prendre une position ACD; on

peut dire que les choses se passent comme si l'on changeait l'échelle désordonnées de la ligne ACD.Il en est de même de la dérivée, si on prend comme ligue de repère l'horizontale A"a (fig. 238) dérivée de la ligne de repère AD des //'; donc le triangle ABD des r! variera en passant de la position ABD à une autre A'B'D' comme si l'échelle de ses ordonnées variait ; mais alors les ordonnées nulles ne changent pas , donc la droite BD pivote autour du point P où elle coupe la ligne A''a. Mais le côté BD se prolonge jusqu'au point E ; quand ce côté pivote, ses ordonnées varient dans un rapport constant; il en est de même de l'intégrale ACDEF (tig. 239); donc le côté EF pivote aussi autour du point P où il coupe la ligne de repère AD.

Continuons de la même manière. Menons sur l'épure des ?/' la droite PG que nous prenons comme ligne de repère pour la ligne PFGHI. Les ordonnées de la ligne PFG varient dans un rapport constant; donc sur l'épure des y; le côté EG pivote autour d'un point de l'horizontale dérivée de la ligne PG des y\ Le côté EG des y; se prolonge jusqu'en H ; donc les ordonnées de la ligne PFGHT varient dans le même rapport ; donc le côté HI pivote autour du point y où il coupe la ligne de repère PG. Du pivot Q, on passe au pivot R de la même manière.

Nous avons démontré que les côtés des r! pivotent , il est facile de prouver que les côtés des M' pivotent aussi. En effet, prenons sur l'épure des r; , la droite QR comme ligne de repère pour la ligne QHR ; les ordonnées de cette ligne QHR varient dans le même rapport ; il en est de même des dérivées ; donc le côté GH des M' pivote autour d'un point de l'horizontale dérivée de la droite QR des y/.

G 13. Relations enlrc les ordonnées des pivots — Les pivots des M' ont xoour ordonnées les dérivées des côtés du polygone des pivots des r! ; les xxivots des ri ont pour ordonnées les dérivées des côtés du polygone des pivots des y.

En effet, nous avons prouvé, par exemple, que le pivot P des y/ se trouve sur l'horizontale dérivée du côté AP des y'; que le pivot Q des M' se trouve sur l'horizontale dérivée du côté QR du polygone des pivots des //'.

Ol 1. Relation*» cnlre Isa abscisses «les pivots. — I. Un

côté des M' est divise' par son pivot dans un certain rapport; la distance des pivots correspondants des r! est divisée par la verticale centrale dans un rapport inverse du précédent.

Ed effet , la corde qui joint les deux pivots des r! a pour dérivée rordounée du pivot des M' ; mais cette dérivée est aussi rordonnée du point qui divise le côté des M' dans le rapport inverse des projections des côtés des y/ sous-tendus par la corde qui joint les pivots de ces côtés; cela démontre la proposition.

II. Un côté des r/ est divisé par son pivot dans un certain rapport; la distance des pivots des deux côtés correspondants des y est divisée par la verticale du point d^i nier section de ces côtés, dans un rapport inverse du précédent.

Cette proposition se démontre comme la précédente ; elle peut s interpréter de deux manières ; on peut prendre comme côté des r! la distance entre un sommet du polygone des ri et le point de contact voisin , ou la distance entre deux sommets. Dans le premier cas, le sommet des ?/' qu'il faut considérer est sur une verticale principale ; dans le second cas, le sommet des y' est le point d'intersection de deux côtés auxiliaires voisins , il est situé sur la directrice de continuité.

III. Applications. — Ces relations permettent de trouver les abscisses des pivots par une nouvelle méthode. Prenons (fig. 243'^'') le cas d'une poutre à quatre travées; les deux premières sont AB, BC; les deux autres sont symétriques des précédentes par rapport au point C. Supposons le problème résolu et portons les projections des pivots des M' en P, Q. Traçons deux autres horizontales A'H et A"C"; portons sur la première les milieux D, E, H des travées et les P', Q' des pivots des r! ; portons sur la seconde les projections des directrices de continuité F et C" et des pivots des y\ P" et Q''. Les rai)ports inverses dont il vient d'être question donnent lieu chacun à un système de trois sécantes qui se coupent en un même point. Mais il est facile de démontrer que le pivot P' des r! tombe aux deux tiers de la première travée ;

INTEGRATION GRAPHIQUE. 587

on reconnaît alors que l'on peut trouver successivement P', Pet P", Q', QetQ", etc.

Cette épure prouve aussi que les abscisses des pivots sont indépendantes des charges et des niveaux d'appuis ( 1 ).

§ 3. Cbarg-e permanente uniforme.

«15. Tra%ées égales. - Soit Abccl {ûg. 240) la moitié d'une poutre à cinq travées ; l'autre moitié est symétrique de la première , il est inutile de la représenter. Traçons , par la pensée, sur les travées Ab , bc, cd les paraboles des moments fléchissants dans l'hypothèse d'une poutre discontinue (brméede travées indépendantes simplement appuyées à leurs extrémités; il s'agit de trouver la ligne de repère ABCD qu'il faut prendre quand la poutre est continue et posée sur appuis de niveau. Rem[ilaeons les paraboles par leurs transformées droites; toutes ces transformées s'alignent sur une même droite EF dont l'ordonnée AE est égale aux deux tiers de la hauteur verticale des paraboles; cette ordonnée s'obtient graphiquement en intégrant deux fois la charge ou par calcul ; on a :

Bans cette formule, p est la charge par unité de longueur, l est la longueur des travées. Les cordes principales des transformées se trouvent aussi sur la droite EF, les directrices de continuité sont les verticales des appuis , on obtient donc en a et (3 les points invariables des M'. Traçons les

(1) Nous avons admis que les pivots des M' et des j/' étaient situés sur une même verticale. On peut se passer de cette proposition en appiiquant la proposition II en prenant comme côté des r,' les côtés compris entre les sommets et les points de contact. On peut alors démontrer directement que les pivots des M' et des p' sont situés sur une même verticale.

588 INTEGRATION GRAPHIQUE.

verticales des pivots au moyen de l'épure spéciale des pivots; menons ensuite le polygone des pivots APQ par les i)oints a et p. Le côté CD des M' doit être horizontal par raison de symétrie, il passe par le point Q ; donc on peut le tracer : on en déduit CB et BA. Le problème est résolu.

Il est cependant préférable d'avoir une ligue de repère horizontale ; pour l'obtenir il suffit de remarquer que les moments vrais sur les appuis sont donnés par la figure 240 ; ce sont: zéro, Bb, Ce. Portons-les (flg. 242) à partir d'une horizontale Ad ; on obtient les points A, B, C de la ligne des M vrais. Nous aurions pu obtenir directement ces i)oints A , B , C en construisant l'épure de la figure 240 en changeant le sens des ordonnées ; il se fait qu'alors les moments vrais sont [)ortés dans le sens qui leur convient quand on reprend le sens habituel des ordonnées.

Disons quelques mots du tracé des paraboles de la figure 242. Remarquons qu'en i>reuant AB , BC , CD comme lignes de repère, chacune de ces paraboles représentent la ligne des M pour une poutre sur deux appuis de même portje et chargée de la même manière ; il suffit donc de construire l'une de ces courbes. Ainsi , par exemple , construisons la demi-parabole CH ; on prend, à cet efiet, HD =pl^ : 8 : on prend H comme origine , HK comme axe des œ , on multiplie les ordonnées de CH par ses abscisses (70); on obtient la parabole. (On pourrait aussi l'obtenir en intégrant une droite.) Les ordonnées de l'arc CH par rapport à CD doivent être alors portées à partir des cordes AB et BC, prises comme lignes de repère ; les points à égale distance des milieux des travées ont même ordonnée. On peut aussi construire le patron d'une parabole indéfinie intégrale seconde de la cliarge et taire mouvoir cette parabole parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'elle passe par les deux points qui déterminent chacune des paraboles à tracer.

OlO. Solution par l'epurc des y,. — La solution que nous venons d'exposer est la plus simple ; nous donnons les suivantes à titre de curiosité. Reprenons la figure 240 et remplaçons encore les paraboles par leurs transformées

droites, pour trouver la ligne des y;. Ces tiansforraées s'alignent sur la droite EF; prenons cette droite EF comme ligne de repère provisoire pour la ligne des M ; l'intégrale des transformées sera /; = 0. Nous représentons cette intégrale en A'::'-j37 (lig. 24 1) ; les points moyens des y; sont évidemment les points a , (3 , y ; ce sont les i)oints invariables des y;'. Le premier côté AB de la ligne des // a une direction connue ; c'est l'intégrale du moment fléchissant M' à Textrémité gauche de la poutre. Prenons la demi-travee comme base d'intégration : la direction du côté AB est précisément celle de la droite ^d de la figure 240. Traçons les verticales des pivots des y/ au moyeu d'une épure spéciale des pivots ; menons par le point a. une solution droite aP Itarallèle à la direction connue de AB ; nous pouvons alors achever le tracé du polygone des pivots aFQy en le taisant passer par les points invariables. On peut s'arrêter à la travée centrale ; nous savons, en effet, que dans cette travée centrale la ligne des M' est horizontale , donc la ligne des y/ est une simple droite suivant laquelle s'alignent les deux côtés ordinaires du polygone d'intégration ; cette droite passe par le point Q et le point y; on peut la tracer; on obtient ensuite les côtés DB et BA ; la hgnedes/;' est connue. On obtiendrait la hgne des M' en prenant la dérivée de la ligne des // ; mais on trouve immédiatement que les M' sur les appuis sont Art , Ce, Ee.

Ol 7. iNoliilioii pour rt>|Mire des?/. — La solution [lar répure des y va nous conduire précisément à la figure 242 que l'on obtient aussi par lepure des M renversée. JNous venons de trouver qu'en remplaçant les paraboles des M par leurs transtormées droites et en prenant pour ligne de repère provisoire la droite suivant laquelle ces transformées s'alignent , on obtient pour ligne des y; , y; = 0 ; dans les mêmes hypothèses on trouvera pour ligne des î/,y =0. Soit ( fig. 242 ) EF cette ligne des y; il s'agit de trouver la hgne des ?/'

EHKLMND Nous prenons comme bases d'intégration - ^

et —l; nous savons qu'alors 1 e[)ure des y' donne immédiatement les M' (115, 577 ). Les points invariables des y sont les points E , a, [3 ; au point E nous connaissons la valeur de M' ; cette valeur est représentée par l'ordonnée Ekd la figure 240 ; dans la figure 242, elle est représentée par l'ordonnée AE, le point A est le pivot du côté HK prolongé ; on obtient ce point A en portant :

Menons {les verticales des pivots; on obtient le polygone des pivots en APQ. Le côté ND est horizontal par raison de symétrie ; on le mène par le pivot Q. On obtient alors la ligne des y' en DXMDKME en utilisant les pivots et les points invariables. Les moments M' sur les appuis sont représentés par AE, Ba, C|3; on reconnaît sans peine qu'ils sont portés en sens contraire à partir de la droite EF ; les ordonnées des points A , B , C , représentent donc en réalité les — M'. Pour obtenir les M vrais, il faut prendre M" — M' ; or M" est constant et est représenté par AE ; donc prenons pour axe la droite Ad, les ordonnées des points A, B, C représenteront : ]\X" + (— M'), c'est-à-dire les M vrais sur les appuis. On voit que loû retrouve d'une autre manière la solution par l'épure des M' renversés.

GIS. Travées inégalet». — Soit (fig. 243) Adg la moitié d'une poutre à quatre travées solidaires; nous supposons que Tautre moitié est symétrique delà première ; nous ne l'avons pas représentée. Sur les travées Ad, dg, construisons par la pensée les paraboles des M pour le cas de travées non solidaires simplement appuyées à leurs extrémités; il s'agit alors de trouver la ligne des M', ADG. Remplaçons les paraboles par leurs transformées droites ; la corde principale BC détermine le point invariable a sur la directrice de continuité; le point invariable |3 s'obtient immédiatement, parce que les travées adjacentes sont égales. Menons les verticales des pivots au moyen d une épure spéciale des pivots ; on peut

IPJTfIGRATION GRAPHIQUE. 591

alors tracer le polygone des pivots APQ par les points A , a, jS. Les deux côtés des M' pour les deux travées centrales doivent être symétriques ; prenons le point symétrique Q' du pivot Q ; le côté DG doit passer par le point Q' parce que son symétrique passe par le point Q; le côté D G passe donc par les points P et Q'; on le trace et on trouve ensuite le côté AD. Le problème est résolu.

Il est utile d'obtenir une épure où la ligne de repère soit horizontale ; on y arrive en redressant la ligne de repère ADG de la figure 243. On y arrive aussi en construisant la figure 243 en changeant le sens des ordonnées ; les ordonnées Dd , Gg représentent les moments vrais changés de signe ; par le renversement , on obtiendra les moments vrais avec leurs signes.

Pour obtenir les transformées droites EF et H|3 , il n'est pas nécessaire de tracer les paraboles des M ; on trace par rapport aux axes yox , la parabole

on porte les demi-travées en oui et on ; on trouve en mM et nN les ordonnées dont il faut prendre les deux tiers pour avoir celles des transformées droites.

Variante I. — Ce qu'il faut déterminer , ce sont les points principaux de la transformée droite; connaissant ces points on peut mener les cordes principales et on trouve les points invariables. On peut obtenir ces points principaux en appliquant le théorème suivant : les points princijMux de la transformée droite d'un arc parahoUque se trouvent sur les cordes qui joignent les extrémités de cet arc au point situé sur la verticale centrale.

Démontrons, par exemple, que le point C (fig. 243) se trouve sur la corde rtM' qui joint le point d au sommet M' de la parabole des M ; en effet, on a :

Ce c?c 2 M'«i' ~ dnv ~ 3 ' Variante II — Il n'est pas indispensable de déterminer les

592 INTEGRATION GRAPHIQUE.

points invariables. Déterminons les points principaux B et C des transformées droites; BC est la corde principale; on peut la choisir aussi comme corde principale dune ligne des M' ; nous obtenons la solution ABD'C; cette solution détermine le point P tout aussi bien que la solution droite Aa; on est ainsi débarrassé de la peine de tracer la directrice de continuité sur laquelle se trouve le point a.

§ 3. Charge mobile qui se fractionne par travées.

WiO. CJliargc iiiiiloriue «tiir une ^iculc travée. — Soit (lig. 246) CK la travée chargée; CDE la parabole des moments fléchissants pour la travée isolée reposant simplement sur deux appuis ; nous prendrons cette ligne comme ligne des M. Pour les travées qui précèdent et qui suivent nous prendrons M = 0 ; ces travées ne sont pas dessinées, mais il est aise de se les représenter. Il s'agit de trouver la ligne des M'. Partons de l'extrémité gauche, tous les points invariables qui précèdent la travée CE sont évidemment sur l'axe XC ; donc cette droite est une solution de la ligne des M' , possible par l'introduction d'un couple extrême ( 1 ). Continuons cette solution dans la iravee CE. Menons par la pensée la coide principale XU des transformées droites pour la travée CE et et celle qui précède ; nous reconnaissons que XCU est précisément la solution cherchée (618, variante II); or CU est précisément la droite CD qui joint le point C au sommet D de la l)arabole ; donc cette droite CD prolongée est la solution cherchée de la ligne des M'. Traçons la verticale du pivot de ce côté des M', ou obtient ce pivot P sur la droite CD ; ce point P et>t déjà un point delà solution vraie de la ligne des M'. Mais on peut laire le même i aisonnement en partant de rextrémité droite de la poutre ; ED est une solution ; menons

(1) On recobiiHlt directenient que c'est la solution qui corresponri à ,;,, = 0; en effet , les delV rn.ations des travées non chargées sont alors r.ulies et toutes les comiitions de la déformation sont évidemment salisfailes.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 593

la verticale du pivot de ce côté des M' pour le cas où l'on part de l'extrémité droite avec une inclinaison variable; on trouve ce pivot en un certain point Q; c'est un second point de la ligne des M' ; on obtient cette ligne cherchée en joignant PQ ; on trouve la droite AB. Nous pouvons résumer les opérations précédentes dans l'énoncé suivant : les pivots de la ligne des 'SI' pour la travée chargée se trouvent sur les cordes de la parabole des M, qui ont pour projection les demi-travées. Lorsqu'on a tracé la ligne AB enjoignant les deux pivots, la construction s'achève facilement. Du point A , on marche vers la gauche en menant le polygone des M' par les pivots qui se trouvent sur l'axe M' = 0. Du point B on marche vers la droite en menant le polygone des M' par les pivots de seconde espèce qui se trouvent aussi sur la solution M' = 0.

On obtient ainsi des lignes de repères brisées ; on peut facilement redresser cette ligne de repère. Cette opération est inutile quand on trace le triangle CDE en changeant le sens des ordonnées ; on reconnaît alors que les moments vrais sur les appuis sont placés dans leur sens véritable. Cet artifice est employé dans la figure 244. Cette figure se rapporte à une poutre à cinq travées ; chacune des travées est chargée successivement ; les lignes 1, 2, 3, 4, 5 sont respectivement les lignes des M pour une charge uniforme sur la 1''^, la 2^, la 3^, la 4^ et la 5® travée ; les pivots analogues aux points P et Q de la figure 246 sont rendus apparents par les petites circonférences qui les entourent.

6*^0. Cliarjs;e mobile qui ««e fraolionne par travéo««. —

Nous assimilons le poids roulant à une charge uniforme ; nous supposons que cette charge se fractionne par travées •. on peut donc charger une ou plusieurs travées séparées , s'il y a lieu, par des travées vides ; le nombre de combinaisons de travées chargées que l'on peut rencontrer est considérable, si les appuis sont nombreux. Pour toutes ces combinaisons, le moment fléchissant prend certaines valeurs comprises entre deux limites que l'on peut représenter par deux courbes: la courbe supérieure donne les plus grands moments négatifs ; la courbe inférieure donne les plus grands moments positifs. Ce sont ces courbes limites qu'il faut déterminer.

594 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Pour y arriver , chargeons successivement chaque travée et apphquons la règle précédente. Soit (flg. 244) une poutre à cinq travées égales ; il suffit de représenter la moitié de la poutre. Tautre moitié est symétrique. En chargeant la première travée, on trouve la ligne 1 ; en chargeant la dernière travée, on trouve la ligne 5 ; ces deux lignes sont symétriques. Ayant tracé la ligne 1 , si on la prolongeait au-delà de l'axe de symétrie , on obtiendrait la ligne 5 en prenant la symétrie de la ligne 1 ; mais on peut supposer que la seconde moitié de répure soit rabattue sur la première par une rotation autour de l'axe de symétrie ; les pivots de gauche deviennent alors les pivots de droite ; la figure indique comment on trace le rabattement du prolongement de la ligne 1; c'est ce rabattement qui est la ligne 5. Les lignes 2 et 4 s'obtiennent de la même manière ; la ligne 3 est unique.

Appliquons le principe de l'indépendance des effets des forces ; en chaque point de la poutre ajoutons les moments négatifs d'une part, les moments positifs d'autre part ; nous obtiendrons évidemment les limites supérieures et inférieures (1). Il suffit d'ajouter les ordonnées aux appuis et aux points oti il y a des ciiangements de signe dans les lieux partiels ; on obtient des points qui doivent être réunis soit par des droites, soit par des arcs paraboliques ; comme ces derniers appartiennent tous à des paraboles identiques, on peut les tracer au moyen d'un patron auquel on communique un mouvement de translation , ou bien encore en traçant une parabole unique et en rapportant les ordonnées sur les diff'érents arcs à tracer (615).

Dans une travée intermédiaire, il y a en général cinq régions séiiarées par les quatre points oCi il y a des changements de signe dans les lieux partiels ; les régions qui ont le plus d'étendue sont la région centrale et les deux extrêmes ;

la région centrale est séparée des extrêmes par de petites

(1) Cette méthode est due à M. Maurice Lévy. Elle est exposée dans la plupart des traités.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 595

régions intermédiaires. Si on faisait abstraction de ces petites régions , on reconnaît facilement que les combinaisons de charges les [dus dangereuses ne seraient qu'au nombre de deux: 1° charger les travées de rang pair ; 2'^ charger les travées de rang impair. Dans les petites régions, ou choisit encore ces deux combinaisons, mais on ajoute ou on retranche la charge sur la travée dont on s'occupe.

O^l. Théorèino. —La somme algébrique des ordonnées limites est e'gale au moment fléchissant que Von obtient en chargeant toute la poutre.

En effet , on obtient les deux limites en ajoutant d'une part toutes les ordonnées positives, d'autre part toutes les ordonnées négatives ; donc en ajoutant algébriquement ces deux' limites, on obtient la somme algébrique de toutes les ordonnées: c'est le moment fléchissant pour toutes les charges réunies.

Corollaire. — Si , par une rotation autour de l'axe de repère AN , on appliqueles moments positifs sur les moments négatifs, les deux courbes limites se coupent en certains points B , F, G, L; en ces points la somme algébrique des ordonnées est nulle; donc ces points donnent les points d'inflexion de la poutre complètement chargée.

Nous avons supposé que les figures 242 et 244 se rapportent à la même poutre; les verticales qui relient ces deux épures mettent cette propriété en évidence.

C*î*î. Poids niori et poids roulant. — On considère séparément l'etfet du poids mort (flg. 242) et l'effet du poids roulant (flg. 244) ; on pourrait ajouter les ordonnées de la première épure à celles des deux courbes limites de la seconde ; mais, en général, il suffit d'avoir les plus grands moments en valeur absolue , abstraction faite de leurs signes. Pour les obtenir , on replie , sur la figure 244 , les moments positifs sur les moments négatifs par une rotation autour de AN ; on obtient la ligne des plus grands moments dus à la charge mobile ; cette ligne n'est pas représentée mais il est aisé de se la figurer ( la ligne ABCDEGHKLR est celle qui disparait). Si alors au-dessous de l'axe AR on porte les ordonnées de la

figure 242 , abstraction faite de leurs signes, ou obtient une . nouvelle ligne que Ton i)renJ comme ligne de repère. Entre la ligne des plus grands moments dus à la charge mobile et cette ligne de repère sont comprises les plus grands moments absolus. On remarquera qu'il est impossible d'assigner aux moments fléchissants des limites plus restreintes que celles fournies par ce procédé ; car en vertu du corollaire du numéro précédent les moments que l'on ajoute sont tous du même signe; leur somme est donc une limite acces.sible.

O'ÎS. Autre profédé. — Supposons que l'on charged'abord toute la poutre de la charge permanente p et de la charge mobile q ; on obtiendra une épure du genre de la figure 242 , mais les ordonnées seront augmentées dans le rapport p + Q : 2). Il s'agit alors de déterminer les charges qu'il faut enlever pour obtenir en chaque point le moment fléchissant le plus dangereux; l'épure 244 représente donc alors les moments à soustraire. On obtiendra évidemment la plus grande différence en valeur absolue en soustrayant du moment d'un certain signe, la limite de signe contraire ; car cette soustraction reviendra à une addition. On reconnaît alors que ce sont précisément les ordonnées de la ligne ABCDEFGHKLR qu'il faut ajouter aux valeurs absolues des moments dus à la charge 2? + q. On portera donc sous l'axe AN (fig. 244) les ordonnées qui représentent ces moments ; on prendra la courbe que l'on obtient ainsi comme ligne de repère; les ordonnées comprises entre cette ligne de repère et la courbe ABCDEFGHKLR représentent les plus grands moments cherchés ( 1 ).

Autre démonstration. — On peut vérifier que le second procédé conduit au même résultat que le premier. Appliquons d'abord le premier procédé ; la ligne des plus grands moments que l'on obtient représentent évidemment, en pre-

( 1 ) Le procédé du numéro 622 est exposé dans la plupart des traités ; celui du numéro 623 nous paraît plus simple . car dans la ligne ABCDEFGKLR, il n'y a que de petits arcs de courbe à tracer.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 597

nant ABCDEFGKL comme ligne de repère les moments dus à la charge uniforme q répartie sur toute la poutre ; car le.-j ordonnées comprises entre les deux courbes représentent la somme algébrique des moments partiels. Donc on voit que les plus grands moments dus à la charge q comprennent : 1° les ordonnées de la ligne ABCDEFGKL ; 2° les moments dus à une cliarge q sur toute la poutre. Il résulte que les plus grands moments absolus comprennent les ordonnées de la ligne ABCDEFGKL et les moments dus à une charge p + q sur toute la poutre. On retrouve ainsi le second procédé.

0*^4. EflrorLs traiieliaiii!!^. — Pour une charge déterminée, on obtient la ligne des K en prenant la dérivée de la ligne des M ; aux côtés rectilignes des M correspondent des horizontales ; aux paraboles des M correspondent des ligues droites d'inclinaison connue , il suffit de prendre la dérivée de la corde de la parabole , on obtient le i)oint moyen de la droite des K.

Dans le cas d'un poids roulant avec ou sans poids mort, on obtient les deux limites des efforts tranchants en additionnant en chaque point , d'une part les ordonnées négatives , d'autre parties ordonnées positives ; l'épure, que nous n'avons pas représentée, est beaucoup plus facile que celle des M.

§ 5. Charge mobile qui se fractionne indéfiniment.

0*Î5. Principe jçéiiéral. — Supposons une charge qdl sur un élément de la poutre ; construisons la ligne des M pour cette charge élémentaire. Si sur chaque élément de la poutre dl nous imaginons une charge élémentaire qdl , nous obtiendrons une infinité de lignes des M. En chaque point ajoutons séparément les ordonnées positives et les ordonnées négatives; nous obtiendrons les deux limites du moment fléchissant.

Cette méthode n'est pas pratique ; il est indispensable de grouper les charges qui donnent des moments de même signe dans les différentes régions de la poutre ; c'est pour opérer ce groupement, que nous allons d'abord étudier l'effet d'une

598 INTEGRATION GRAPHIQUE.

force isolée et discuter les variations de signes qui se produisent dans les moments fléchissants, quand cette force isolée se déplace.

O^O. Toreo isolée. — Soit AC (fig. 245 ) une travée d'une poutre continue ; une force isolée agit sur cette travée. Soit ABC la ligue des M pour le cas où la travée serait isolée et simplement appuyée à ses extrémités ; nous obtiendrons la transformée droite par le procédé que nous avons indiqué au numéro 584 : on mène par le point B des parallèles aux diagonales du rectangle AYXC, on obtient la transformée droite en DE. Eu raisonnant comme nous l'avons fait au numéro 619, nous démontrerons que les pivots de la ligne des M' sont situés sur les droites AF et CCf qui joignent les points A et C aux points principaux de la transformée droite. Si on a eu soin de tracer les verticales des pivots des deux espèces, au moyen d'une épure spéciale, on trouvera ces pivots eu P et Q ; la ligne des M' est la droite MN que l'on obtient en joignant ces deux points. Pour les autres travées, la ligne des M est M = 0 ; les pivots des M' sont sur cette ligne; on obtient les lignes des M' en partant des points M et N et en se dirigeant vers les extrémités de la poutre ( 1 ).

097. Théorème. — Si une force isolée se déplace sur une travée, les moments fléchissants ne changent de signe ni dans les sections situées à V extérieur de la travée chargée , ni dans les sections situées dans la région centrale comprise entre les deux pivots de la travée chargée. Dans les autres régions de la travée chargée, le signe du moment fléchissant dépend de la position de la force; on Vohtient par Vépure des points d'inflexion.

Il résulte de la figure 245 que les moments flécln.ssants aux extrémités de la travée chargée sont toujours positifs. Si de ces extrémités , on se dirige vers les extrémités de la poutre, on trouve que les moments fléchissants changent de signe en certains points; ces points sont précisément les

(1) Eq partant de cette construction et en imitant ce qui a été dit aux n°^ 584, 585, 587, on déterminerait l'efl'et d'une force isolée mobile ou (l'un système de forces isolées mobiles,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 599

pivots des M'. Supposons que la force se déplace sur la travée qu'elle sollicite; ces points restent immobiles; donc si on se place dans une section fixe située à Textérieurde la travée chargée, on verra le moment fléchissant prendre des valeurs qui dépendent de la position de la force, mais toutes ces valeurs seront de même signe.

Il nous reste à nous occuper des signes du moment fléchissant aux différents points de la travée chargée, ces signes dépendent de la position des points d'inflexion S et T; voyous comment ces points se déplacent quand la force se meut sur la travée.

Il est d'abord évident quo les abscisses de ces points sont indépendantes de la grandeur de la force; car en changeant l'échelle des moments , une même épure peut servir pour toutes les ftjrces appliquées au même point. Cette proposition est d'ailleurs une conséquence du principe de l'indépendance des effets des forces; en effet, divisons la force P en parties égales infiniment petites rfP; i)Our chacune des forces élémentaires , on a M =- 0 au point d'inflexion ; donc en ce même point , on a M = 0 pour une force quelconque intégrale des orces dP.

Dès lors , nous étudierons le mouvement de"s points d'inflexion S et T en supposant que le point B se déplace sur l'horizontale YX. Construisons pour chaque position de la force une ligne des M analogue à ABC, et déterminons la ligne des M' correspondante ; nous obtiendrons autant de positions que nous voudrons des points S et T ; nous pourrons tracer les courbes décrites par ces points.

On peut simplifier considérablement la construction de ces courbes en utilisant les propriétés qui suivent. Prenons comme variable la longueur a = YB ; cette longueur varie de 0 à ^ , ( /, étant la longueur de la. travée ). On reconnaît successivement que les ordonnées des points D et E sont des fonctions linéaires de a , que l'ordonnée de tout point de la droite DE et par conséquent les ordonnées des points F et G sont aussi des fonctions linéaires de a, qu'il en est de même des ordonnées des points P et Q et que, par conséquent,

600 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Tordonnée d'un point quelconque de la droite MN est une fonction linéaire de a. Toutes les positions de la droite MN constituent donc un système du premier degré en a et Taxe des a est vertical. Déterminons parla construction générale les positions Uo et U^ de la droite AIN pour « = o et « = / ; le point d'intersection U de ces deux positions particulières est le pivot de la droite MN ; si on construit en ol une échelle des valeurs de «, en représentant l par ol, on obtiendra une position quelconque de cette droite MN en joignant le point U au point de l'échelle ol qui correspond à la valeur donnée de a. On voit donc que le point S est l'intersection de deux droites UM et AB qui pivotent respectivement autour de U et autour de A ; en divisant ol et Yx dans un même nombre de parties égales et en joignant respectivement les points de division aux points U et A , on obtient des groupes de positions correspondantes des droites mobiles ; à chacun de ces groupes correspond une position du point S. Menons OL parallèlement à XY ; la droite mobile AB détermine aussi sur OL une échelle des valeurs de a ; donc les droites AB et UM se déplacent de telle façon que la droite MR reste parallèle à elle-même ; la direction de cette droite mobile MR est donnée par l'une de ses positions IL ; on obtient donc aussi )a courbe des points d'inflexion en déplaçant une droite MR parallèle à /L, en menant les rayons AR et UM ; le point d'intersection de ces deux rayons décrit la courbe cherchée. Les droites UM et AR font partie de deux systèmes homographiques ; le lieu des points d'intersection est une courbe de second degré ; on reconnaît facilement que la courbe a des branches infinies ; donc c'est une hyperbole. On en détermine facilement les tangentes et les asymptotes.

Tout ce que nous avons dit du point S s'applique évidemment au point T ; on mène O'L' parallèlement à XY , on déplace la droite R'N en conservant sa direction, on mène par C et U les rayons UN et CR' ; ces rayons se coupent au point T; le lieu de ce point est la courbe des points d'inflexion.

L'épure que nous venons de tracer prouve que les points

INTEGRATION GRAPHIQUE. 601

(l'iûflexion n'atteignent jamais la région centrale comprise entre les i)ivots P et Q; dans cette région les moments fléchissants sont donc toujours négatifs quelle que soit la position de la force sur la travée. C'est dans les régions comprises entre ces pivots et les extrémités de la travée , que se se déplacent les points d'inflexion; les signes des moments dans cette région dépendent donc de la position de la force. Proposons-nous de chercher le signe du moment fléchissant dans une certaine section située dans ces régions ; menons une verticale par cette section , cette verticale coupera la courbe des points d'inflexion en un certain point ; soit S ce point. Menons la droite ASB; si la force tombe à droite du point B, le point d'inflexion tombe à droite de S, en S le moment fléchissant est positif; si, au contraire, la force tombe à gauche du point B, le point d'inflexion tombe à gauche du point S; en S le moment est négatif; si la force tombe en B , le moment fléchissant est nul au point S. Noujs avons ainsi démontré toutes les propositions contenues dans l'énoncé.

O'^S. Ellel des charges extérieures. — Les combinaisons des charges extérieures à une travée, qui réalisent sur cette travée les moments fléchissants limites, s'obtiennent en fractionnant les charges extérieures par travées.

En d'autres termes , il est inutile de considérer des combinaisons où l'on chargerait des fractions de travées à l'extérieur de la travée dont on étudie les moments fléchissants limites; ces combinaisons sont moins dangereuses que celles que l'on rencontre en fractionnant par travées. Eu effet, proposons-nous d'étudier les moments fléchissants d'une travée (f; chargeons une travée /' ; la charge élémentaire qdl' peut être assimilée à une force isolée ; les moments fléchissants que :ette force produit sur la travée l ne changent pas de signe quand cette force se déplace sur la travée l'; donc si nous traçons les lignes des M pour les charges qdl' qui recouvrent la travée l' , en chaque point de la travée l nous n'aurons que des ordonnées de même signe,- en les additionnant nous aurons l'une des limites, l'autre est zéro; cela

602 INTEGRATION GRAPHIQUE.

revient à charger complètement la travée l' ou à enlever toutes les charges qui la recouvrent. Toute autre In'pothèse sur la charge de la travée l' donnerait un résultat compris entre ces deux limites ; il est inutile de la considérer dans l'étude de l'état de sollicitation de la travée L

Ce que nous venons de dire de la travée l' s'applique à toutes les travées autres que la travée l ; on voit donc que l'hypothèse du paragraphe précédent (fractionnement par travées) donne exactement les moments limites produits par les charges extérieures.

O'ÎO. Effet «les charges intérienrcs. — Nous étudions encore les moments fléchissants d'une travée ;-, mais nous supposons que cette travée est seule chargée. Sur chaque élément dl , nous imaginons une charge qdl et nous l'assimilons à une force isolée; en chaque point il faut ajouter séparément les ordonnées positives et les ordonnées négatives des liirnes des M partiels. Dans la région centrale, il n'y a que des ordonnées négatives ; donc l'une des limites est la somme des ordonnées , l'autre est M = 0 ; cela revient à cliarger toute la travée ou à enlever toute la charge qui la recouvre. Au contraire, dans les autres régions, il y a des ordonnées des deux signes ; il faut les ajouter séparément ; cela revient à charger certaines parties de la travée.

Soit CE (fig. 246) la travée considérée; en chargeant toute la travée, on trouve pour ligne des M la parabole CDE et A B comme ligne de repère; lare FG est la courbe hmite supérieure [lour la région centrale , la ligne limite inférieure est M = 0 ou la ligue PQ. Plaçons-nous dans une section de la région AP; supposons que la figure 245 soit l'épure des points d'inflexion pour la même travée ; la verticale de la section que nous examinons coupe la courbe des inflexions au point S; menons ASB; nous savons que c'est en chargeant BX que nous obtiendrons tous les moments positifs en S et que c'est eu chargeant YB que nous obtiendrons tous les moments négatifs en S. Au lieu de nous donner la section S, on peut aussi choisir le point B; nous l'avons pris au milieu de la travée ; à ce point B correspondent deux

INTEGRATION GRAPHIQUE. 603

points d'inflexion S et T ; si l'on charge la première moitié de la travée CE (flg. 246) et si l'on trace la ligue des M, on obtient les points S' et T des courbes limites ; on démontre facilement (587) que la ligne des M touche les courbes limites en ces deux points ; on obtiendra donc en même temps les tangentes aux points S' et T des courbes limites. On en déduit les points S et T' en utilisant la propriété suivante : la somme algébrique des ordonnées courbes limites est l'ordonnée de la parabole CDE. Toute position delà charge fournit donc quatre points et quatre tangentes. Si nous appliquons ce raisonnement aux deux positions suivantes: 1'' toute la travée chargée, 2'^ la travée non chargée, on trouve que les courbes limites AF, PC, GB , QE touchent eu leurs extrémités la parabole CDE et la droite PQ.

Montrons comment on trouve les points S' et T. Prenons comme ligne des M, E'DC;on obtient facilement la ligne des Yi et la ligue des ij. Cherchons d'abord la transformée droite ; on trouve le point moyen H de la ligne des y; ; en prenant les dérivées des droites HE' et HM , on trouve les ordonnées des points principaux K et R de cette trans- Ibrmée ; enjoignant E'K et CR, on obtient les pivots Q' et P' de la ligne des M' applicable à la poutre connue. Il s'agit de rapporter la ligne des M , E'DC, de telle sorte que la ligne de repère passe de la position P'Q' à la position PQ ; il suffit de rapporter les tangentes aux points situés sur les verticales S'S et TT ; l'une de ces tangentes est le côté DE' qui vient se rapporter en T^; l'autre tangente u'est pas représentée, maison reconnaît sans peine que la ligne P'Q' est précisément la tangente en S à la courbe limite inférieure.

G30. Effci de toutes les charges. — Chargeons séparément chacune des travées, de la charge mobile et construisons comme nous l'avons dit au numéro ô20 les ligues des M l)Our chacune de ses charges ; mais avant d'ajouter les ordonnées de même signe , remplaçons , comme nous venons de le voir, dans les régions des points d'inflexion , les paraboles par les véritables courbes limites. Additionnons alors séparément les ordonnées de même signe, en introduisant

604 INTEGRATION GRAPHIQUE.

les ordonnées de ces courbes limites dans les régions où elles se trouvent.

On obtient les plus grands moments fléchissants en valeur absolue , en ajoutant les effets du poids mort et du poids roulant en suivant l'une ou l'autre des méthodes des numéros G22 et 623. Nous avons représenté sur la figure 244 , les courbes de correction par des lignes pointillées ; on voit que dans la courbe des moments à ajouter à ceux produits par la charge j) -\- q, les angles rentrants sont remplacés par une courbe continue. Dans une travée , il n'y a plus que trois régions.

03 1 . Eilorls» Iranelianlfi». — Les signes des efforts tranchants sont donnés par les inclinaisons des lignes des M ; dans le cas d'une force isolée , il j' a changement de signe de leffort tranchant quand on passe au-delà d'un appui ou audelà de la force; si on reste dans une section fixe, le signe de l'effort tranchant ne varie que si la force se déplace et passe dans cette section ; on en déduira par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent que l'hypothèse du fractionnement des charges par travées ne donne lieu à une erreur que dans l'effet des charges intérieures. Soit CE ( fig.246 ) la travée que l'on étudie ; en chargeant cette travée, on trouve une ligne desK, a|3; l'hypothèse du fractionnement par travées revient à supposer que sous l'effet des charges intérieures, l'effort tranchant varie entre deux limites représentées par la ligne Cy/ietayE; en réalité, on obtiendra les véritables hmites en un point o , en chargeant CoouoE; cela fournit deux courbes c.o'Eet Co"/5- Si on a soin de remplacer la droite a fS par ces deux courbes , on peut appliquer la méthode du numéro 620.

Il s'agit de montrer comment on peut construire ces deux courbes ; on pourrait pour diverses positions de la charge, tracer la ligne des M et en déduire la ligne des K ; mais on arrive plus vite au but de la manière suivante. L'analyse prouve que ces courbes inconnues sont des paraboles du quatrième-degré ,• calculons l'ordonnée du point de la couibe Cà",3 voibin du point C ; si dans la figure 245 on suppose que

INTEGRATION GRAPHIQUE. 605

la force isolée soit infiniment près du point Y , on trouve que Teffor.t tranchant en ce point a une limite finie ; on l'obtient facilement parla différence d'inclinaison des droites CY et OU limites des droites BC et UM ; désignons-le par Ko- Supposons que la charge recouvre une longueur infiniment petite a, comptée à partir du point C ; la force isolée se réduit à pa et

agit à une distance — ; le moment fléchissant représenté

par l'ordonnée constante de la ligne XY de la figure 245, que nous désignerons par M , se réduit à

a / , a\ pa^

donc l'efTort tranchant K est donné par la pro[iortion :

Posons ^ = T. on a K = — ^ ;

c'est l'effort tranchant sur une poutre sur deux appuis de longueur / , ayant son origine en C.

Il résulte de là qu'au | oint C la courbe Ccî"/^ touche l'axe CE , et qu'en ce point on peut trouver la dérivée seconde :

Si on représente la courbe Cô" 1^ par un polygone d'intégration de quatre côtés, on aura (69) :

On obtient — i?^ facilement; ) ar une quatrième i)rnpor-

tionnelle on trouve A^K ; c'est i-iecisement la valeur de l'ordonnée, au loint C, du deuxième côté du polygone d'intégration.

606 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Au point E, il y a pour la même raison contact entre la courbe ao'E et Taxe CE; donc 11 y a aussi contact au point (i entre la courbe Co"/3 et la droite a^s. Soit Cô^vi/g le polygone d'intégration de la courbe Ce?" /3; on connaît Ce, on trace £ç> au moyen de la valeur de A^K; on connaît y; ys; donc ce polygone d'intégration est déterminé; on peut alors trouver autant de points et de tangentes que Ton veut. Counaissant la limite supérieure, on trouve la limite inférieure en remarquant que la somme algébrique des deux limites doit être égale à l'ordonnée de la droite «,3.