CHAPITRE VI

Des appuis des poutres droites au point de vue de l'économie.

On sait que le nombre de travées se détei mine en cherchant le minimum du [irix total de la poutre et de ses support: ; nous supposerons ce nombre connu. Nous nous proposons de déterminer la distribution et le niveau des appuis de manière que la poutre soit la plus économique. Appelons M, le plus grand moment fléchissant, en valeur absolue , qui peut se produire en un point; on peut admettre que le prix de l'élément dx de la'poutre est proportionnel à Mcfd?; c'est donc le minimum de la somme des surfaces des plus grands moments

618 INTEGRATION GRAPHIQUE.

fléchissants , qu'il faut chercher à réaliser. Nous considérerons d'abord le cas d'une charge permanente; nous étudierons le cas d'un poids roulant dans un paragraphe spécial.

§ 1. Poutre encastrée à ses deux extrémités.

017. fondJtîon «ïsi isiiiiiiuuui. — Soit (fig. 249) ACB la parabole des moments fléchissants. En encastrant les extrémités de la poutre suivant des inclinaisons indéterminées, on peut modilier les moments d'encastrements et déplacer la ligne de repère DE. Nous obtiendrons la ]»lus grande économie en déterminant cette ligne DE de telle manière que la somme des valeurs absolues des surfaces des M soit la plus petite possible. Par raison de symétrie on peut admettre que DE sera parallèle à AB ( I ) ; si nous élevons cette droite dh , la surface des M augmente de (DF + GEj dh , elle diminue de FG dJi ; la condition du minimum est : DF + CtE - FG.

Ce qui exige :

DF = GE = î^ .

De cette égalité et de l'équation de la parabole , on tire : ri' CL

Désignons respectivement par S' et S" les surfaces FCG et 2DFA ; soient : j^ la charge , l la longueur de la poutre; on a :

On a aussi

S" -f- ACB - S' = AB X LK,

(1) Si on n'aJmet pas la raison de symétrie, on peut démontrer que les points F et G sont à égales distances des extrémités de la poutre en faisant tourner la droite DE autour de son point milieu et en exprimant que l'aire des M ne varie pas, pour un déplacement ioflniment petit,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 619

d'où

Des valeurs de S' et de S" — S' , on tire :

S ou S'-f S"=^• 61S. Dîroclîon des encastrements. — Supposons que la poutre soit d'égale résistance et de hauteur constante; nous allons démontrer que Von réalisera le minimum de la surface des moments fléchissants , si les extrémités de la poidre sont encastrées suivant une même horizontale.

En d'autres ternies , la pose ne doit produire aucune déformation.

En effet, nous avons trouvé ( 631 ) que le moment d'inflexibilité d'une poutre d'égale résistance est donné par la formule

La formule des déformations est , en indiquant explicitement le signe du moment fléchissant,

En remplaçant s par sa valeur on trouve : d^i/ ^ 2 a

Représentons les valeurs du second membre graphiquement, nous trouvons (fig. 251) la ligne ACDFGHB ; intégrons , en supposant qu'au point A , r, = 0 et z/ = o ; nous trouvons, en prenant pour bases AB : 4, puis AB : 2 , que la ligne des /; est ADFB. Il est facile de voir que la surface des /, est nulle; donc si on trace la ligne des ^, ALNB, le dernier élément B doit se trouver sur le prolongement du premier élément A ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

On arrive aussi à cette proposition en remarquant que l'équation de la flbre déformée est celle d'une poutre prisma-

620 INTEGRATION GRAPHIQUE.

tique dont le moment d'inflexibilité serait Tunité et dont le lieu des moments fléchissants serait ACDEFGHB ; nous prouverons (580) que ce lieu appartient à une poutre encastrée à ses extrémités suivant la même droite, en démontrant que les poids dos surfaces positives et négatives des M se font équilibre ; c'est ce qui résulte évidemment de la figure ; les deux rectangles positifs et le rectangle négatif ont évidemment même poids résultant dirigé en sens contraire suivant la verticale du milieu de la poutre.

Si la hauteur h de la poutre était variable, on devrait déterminer la fibre déformée en intégrant deux fois la courbe ± 2 5 : h.

GJ:9. Théorie Je Kre^>«c'. — M. Bresse a déterminé les dispositions des ajipuis en admettant la formule des déformations des poutres prismatiques: cela est irrationnel, car dès qu'on admet que le prix de la poutre est rej)résenté par l'intégrale des M(^^, on admet qu'il s'agit d'une poutre d'égale résistance. Quoi qu'il en soit , on peut dans cette hypothèse , trouver très simplement les positions des encastrements en rem[)laçant (fig. 249) la parabole des M par sa transformée droite D'E'. Intégrons et admettons y; = 0 au milieu de la poutre; nous trouvons (fig. 250) la droite AB comme ligne des r, et la parabole EFG comme ligne des y. La substitution de la transformée droite à la parabole n'a pas modifie les tangentes extrêmes de la ligne des y ; donc EF et EG sont bien les directions des extrémités de la fibre moyenne de la poutre. La parabole EFG a une signification intéressante ; c'est la fibre moyenne déformée par la pose , la charge étant enlevée : cela résulte du théorème de l'indépendance des effets des forces, car si on supprime l'effet de la charge, il reste les moments représentés par D'E'. Quand la charge agit, la fibre moyenne déformée est une parabole du quatrième degré dont le polygone EHKLG s'obtient par les règles connues.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 621

§ 2. Poutre encastrée à une extrémité appuyée à l'autre.

050. Condition du niiiiiuiuni. — Soit ACB ( fig. 252) la parabole des momeuls Ilccliis:~ants; il s'agit de déteiiniuer la ligne de re|ière AC de telle sorte que la surlace

S = AHC + CDB

passe par un minimum. Supposons la droite AD horizontale; faisons tourner cette droite AD d'un angle rfa autour du point

A, la surface S diminue de - AC ch. et augmente de

- AD ch. — - A C ch. ; la condition du maximum est :

clS,

= (K^d' — AC ^dx =

D'où

AC est donc le côté du carré construit sur AD comme diagonale. On tire de là la construction suivante: portons sur une horizontale la longueur de la poutre en AD et AC = AD : \/2 ; il s'agit de mener une parabole de paramètre cunnu, qui passe par les points A et C ; on l'obtiint en intégrant deux fois la charge 7> et en taisant passer l'intégrale première par le milieu de AC. On pourrait aussi tracer une intégrale seconde quelconque, mais alors la ligne de repèie est oblique.

Calculons la surface S ; posons :

A =AHB=^,

S' = AHC,

S" = CDB.

On a d'abord :

S': A = Âc' -.lï)',

6^â INTEGRATION GUAPHIQUE.

(loîi

Nous trouverons une sQGQnde équatiou Cû S' et S" , en remarquant que

S" — S' = AHBE - ADE , or, on a :

AHBE = 2 A,

ADE = ACF X -=- = 6 S', AC«

il vient donc :

Calculons S" et S' , on trouve .

S ou S" + S' = (2- V/2)-^

651. Po»iition de l'appui. — Supposons que la poutre soit (l'égale résistance et de hauteur constante ; nous allons démontrer que Ton réalisera le minimum de la surface des moments fléchissants en dirifjeant Vencastrement suioant une horizontale passant par Vappui.

En d'autres termes la pose ne doit produire aucune déformation supplémentaire.

Nous trouvons encore (648) que l'équation de la fibre déformée est

dHj 2 ^ dx'' ~ ^ h'

C'est l'équation de la fibre déformée d'une poutre prismatique qui serait sollicitée par les moments fléchissants représentés par la ligne ACDEF (fig. 253). Intégrons deux fois en prenant au point A, ?/ = 0, y; = 0; on obtient KMN; on démontrerait facilement par la géométrie élémentaire que l'ordonnée du point N est nulle. Mais nous démontrerons cette proposition en considérant la fibre déformée comme

INTEGRATION GRAPHIQUE. 623

une courbe des moments. Si on prend B comme centre des moments l'ordonnée du point N est :

Moment ACDrf — Moment dEFB

Cette expression est nulle parce que le point d satisfait à la condition

B(/ = ABl/2l

Si on adoptait la formule des déformations prismatiques , on trouverait que l'appui doit être placé au-dessous de la poutre encastrée. En effet, soit (flg. 252) AD' la .ligne de repère pour le cas où l'appui est au niveau de l'encastrement; prenons la dii'ection de la fibre moyenne encastrée comme ligne de repère des y; la valeur de £?/ à l'extrémité A est égale au moment de l'aire des moments fléchissants ou au moment du triangle ADD' autour du point A ; on trouverait aussi cette valeur en intégrant deux fois AD'.

§ 3. Poutre continue à plusieurs travées.

G5*^. Encastrements sur les appuis extrêmes. — La

poutre de hauteur constante la plus économique s'oUient en adoptant des travées égales et en plaçant les encastrements et les appuis suivant une même horizontale.

En effet , soient : L la longueur de la poutre ^l^J^,... ^»,Ies longueurs des différentes travées ; on a :

Si d'abord nous considérons les longueurs des travées comme données, on obtiendra la plus grande économie en encastrant la poutre sur tous les appuis et suivant une même horizontale (648) ; on aura alors pour la surface des M :

624 I^'TEGRATION GRAPHIQUE.

C(3nsidérons alors ^,, L^,... /«comme des variables et clierchoûs le maximum de S. Soit a un coefficient indéterminé ; cherchons le niininmm de :

u^l^-^-a{ll,

Ou trouve :

du ^ Spli'^

0, et des équations semblables pour l^, l^, etc. ; on en tire

Ou trouve alors :

Cette quantité est toujours positive ; donc u et S passent par un minimum lorsque les travées sont égales. Si pour chaque travée nous traçons la parabole des moments fléchissants comme nous lavons lait figure 249, nous trouverons évidemment que de chaque côté des appuis intermédiaires, les moments fléchissants sont égaux ; donc les moments d'encastrement n'existent que sur les appuis extrêmes ; il suflit donc d'encastrer les extrémités de la poutre; cela démontre le théorème.

G5*S. /i|i|Hii!9 ««impies aux exlrcniités. — Lorsque les extrémités d'une poutre de hauteur constante sont simjjlement appuyées Ja solution la plus économique s'ohtient en plaçant les appuis au même niveau et en p^renant :

'i =^ '3 ■= . . • in — 1 ,

li-ln-l,\/ -^■

En effet , supiiosons d'abord les longueurs des travées fixtes ; nous obiieudrcms la solution la plus économique eu plaçant tous les ai)puis au même niveau et en encastrant

INTEGRATION GRAPHIQUE. 625

horizontalement la poutre sur les appuis intermédiaires. Nous savons qu'alors la surface des M a pour valeur :

Cherchons le minimum de :

ît = S —oc (2/, — L).

On trouve deux espèces d'équations :

D'où

du 3pl^ dÛl 32 ^- — •

On reconnaît que d^u est toujours positif; donc c'est'le minimum de u et de S que nous avons trouvé. Pour achever la démonstration du théorème qui nous occupe , ilTaut encore prouver que sur les appuis intermédiaires les moments d'encastrement sont les mêmes. Soient (fig. 254) AE, EL, LR... les travées déterminées par .les indications qui précèdent ; portons AC = AE V/2T EH = HL = LM = PR ... = l^-.A; menons parles points A et C, F et H', M et P, etc., les paraboles intégrales secondes de la charge p ; l'ensemble de ces paraboles est le lieu des M. Il est d'abord évident que sur les appuis K et Q qui séparent deux travées égales, les moments d'encastrement n'existent pas. Calculons les deux moments fléchissants au point E. L'équation de la parabole ABD peut être mise sous la forme :

œ^ et x^' sont les abscisses des points d'inflexion ; donc au ])oint E, on a :