CHAPITRE VIII

Poutres en arc.

§ 1. Généralités.

OC y. Poussée. — Soit l'arc AB (flg. 268) ; la flbre moyenne est supposée plane ; les forces sont dirigées d'une manière quelconque dans ce plau. Nous supposerons l'arc encastré à ces deux extrémités, mais nous examinerons

plus tard l'influencede une, deux ou trois rotules placées en des points quelconques ; nous rencontrerons donc tous les cas possibles.

Si nous enlevons l'appui A , nous devons introduire une force EF résultante des actions moléculaires qui se développent dans la section A ; en composant cette réaction avec les différentes forces sollicitantes, nous obtiendrons une ligne de résultantes ( 129) ; le diagramme des résultantes est P123456 (fig. 267 ).

Nous ne connaissons pas la réaction EF ; si nous donnons à cette réaction inconnue une direction et une grandeur arbitraires, nous obtenons le diagramme des résultantes en F12...6 (flg. 267) et la ligne de pression KLM (fig. 268). Si Ton étudiait les déformations que l'arc éprouve sous l'influence de cette ligne KLM , on trouverait en général que ces déformations sont incompatibles avec les conditions des appuis ; le problème à résoudre est de déterminer quelle est la ligne de pression qui est compatible avec ces conditions.

Supposons que l'on remplace les appuis existants en A et B par des plans indéfiniment polis perpendiculaires à la résultante de toutes les forces sollicitantes. On obtient les pressions sur ces appuis fictifs en décomposant la résultante des forces en deux composantes parallèles passant par les points A et B. Menons les directions AK, BM de ces composantes ; après la concentration en deux résultantes, la ligne des résultantes devient KM, les pressions sur les appuis s'obtiennent sur le diagrain;ne (fig. iôl ) en menant P'Q parallèlement à KM ; IQ et Q2 sjnt ces pressions. Pour passer de ce cas exce,)tionnel à la ligue de pression KLM , il faut introduire outre les réactions Ql et 2Q, deux forces égales et contraires représentées par P'Q et dirigées suivant la droite KM ; cette force P'Q est la poussée de l'arc. La pjussée est ce qui caractérise une ligue de pression ; pour la ligne EFB, la poussée est PQ et est dirigie suivant ED. Dans le cas exceptionnel dos plans d'appui ind'ifiaiînent polis, la poussée est nulle ; c'est l'état de sollicitation d'une poutre droite.

G6S. Théorie analytique. — Uû élément ds de l'arc subit trois déformations élémentaires. Soient : M le moment fléchissant; N l'effort longitudinal de compression; K Tefïort tranchant. Il se produit une flexion angulaire cl'li , une dilatation dds, un glissement yds ; on a :

dl>=-^^ds, (1)

— dds = ^ds, (2)

Eco

yds = —- ds. (3)

Supposons l'élément B immobile, nous obtiendrons l'arc déformé en produisant successivement les déformations de tous les éléments. Prenons deux axes rectangulaires yox; supposons ces axes invariablement liés à la section A et exprimons que ces axes ne subissent ni rotation , ni translation ; nous trouvons les trois équations :

fi^dx + ydy + t/rf|) = 0, (5)

f { — odij -H ydx + xd\i ) = 0. (6)

La première est l'équation angulaire; elle exprime que les axes ne tournent pas. La seconde est l'équation linéaire des déformations horizontales; elle exprime que la projection horizontale du déplacement de l'origine est nulle. La troisième est l'équation linéaire des déformations verticales ; elle exprime que la projection verticale du déplacement de l'origine est égale à zéro.

Si la poussée était nulle, les éléments M, N, K prendraient des valeurs connues M', N', K' ; à ces valeurs, il faut ajouter l'influence de la poussée. Déterminons la poussée par ses composantes q , g' suivant les axes et son moment

646 INTEGRATION GRAPHIQUE.

qe autour de l'origine. Le sens des moments positifs est de y vers X ; on trouve :

M = M' ->r qe — qy -\- q'x , (7)

ds ds

Si on remplace dans les équations (4), (5j, (6) les quantités d'I/ , è et y par leurs valeurs tirées des équations ( 1 ), (2), (3) et (7), (8), (9), on obtient trois équations à trois inconnues q , q\ qe. Au lieu de résoudre ces équations, nous pourrions les transformer comme nous l'avons fait dans la théorie des voûtes. Si lare est S3'métrique , tous les tracés graphiques exposés dans la théorie des voûtes sont applicables ici ; il suffit de faire n = 1 , \ + ni = -• Si l'arc n'est

pas sj'inétrique, il y a une inconnue nouvelle q' et une équation nouvelle ; mais on conçoit que l'on pourrait soumettre cette équation aux mêmes transformations de calcul que les deux autres. Cependant ce n'est pas cette voie que nous allons suivre; dans les arcs homogènes, les coefficients n et m sont connus ; rien ne nous oblige à séparer les termes qui contiennent ces coefficients ; aussi nous allons suivre une méthode plus synthétique qui nous conduira rapidement à des relations d'une grande élégance.

060. Théorie cinématique. — Si par les extrémités d'un élément ds , nous menons deux sections , l'une d'elles subit par rapport à sa voisine les trois déplacements élémentaires c?'|i, dds , yds. Si partant de l'élément B qui est immobile, nous réalisons les déformations de toutes les tranches infiniment petites, nous voyons que l'on obtiendra le déplacement de la section A en composant par les règles de la cinématique toutes les rotations rf-^ et toutes les translations èds et yds. Pour que 1 élément A soit immobile, il faut que ces translations et rotations élémentaires se composent en une rotation unique égale à zéro.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 647

070. Indé|>cndance des eïTcls des forces. — Supposons qu'un arc soit sollicité d'une manière quelconque; un groupe de forces nouvelles intervient; quelle est la ligne des pressions nouvelles qu'il faut composer avec les pressions existantes pour obtenir les pressions totales? Les formules ( 1 ) , (2), (3) sont linéaires par rapport à M, N, K; donc les déformations élémentaires nouvelles sont indépendantes des autres déformations.

En effet , on a par exemple A ( rf '|) •= AM ,ds : El relation indépendante de d^i et de AI. La rotation unique de l'élément extrême, que devons égaler à zéro, est donc aussi indépendante des pressions existantes; de là résulte ce théorème: la lUjne des pressions nouvelles duc à un groupe de forces nouvelles est indépendante des forces existantes.

Supposons que toutes les forces qui sollicitent l'arc, y com[)ris son propre poids, viennent à disparaître. Il se peut qu'il existe encore une poussée ; cette poussée a pu être engendrée par la pose , elle a pu se modifier par les variations de température ; la ligne de pression de l'arc non chargé se réduit à une ligne droite qui est la ligne d'action de la poussée due à la pose et aux variations de température. Si difTérents groupes de forces interviennent , on étudie séparément l'effet de chacun d'eux ; la poussée totale s'obtient en composant les poussées partielles y compris la poussée de l'arc non chargé. La pression totale s'obtiendra de même en composant les pressions partielles. On peut aussi l'obtenir en traçant la ligne de pression définitive.

i; 2. Aro encastré à une extrémité.

Oyi. Masse lieiîvc de lare. — Nous attribuerons à la tranche cls de l'arc une masse élémentaire dm = ds : El ; soient x , y les coordonnées de cet élément : les coordonnées a:, , i/i du centre de gravité de l'arc sont données par les formules :

/ dm = I y dm, I dm = I X loi.

648 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Soit A A.' (fig. 272) rélément ds; prenons provisoirement pour axes coordonnés la tangente AX et la normale AY à la fibre moyeime ; posons :

= Y/1 r' = r\ll.

Nous donnerons à la tranche une densité fictive telle que son ellipse principale d'inertie, située dans lé plan de l'arc, ait pour équation :

Nous obtiendrons notamment cette ellipse en décomposant la masse dm en quatre parties égales condensées aux quatre points m, m\ m", m'" dont les coordonnées sont œ = ± r' , y -= ±r.

Le centre de gravité de l'arc n'est pas modifié par la division de la masse dm en ses points fictifs ; mais il n'en est pas de même des moments d'inertie et des centres de percussion. Quand nous parlerons du centre de percussion de l'élément ds , il sera sous-entendu que cet élément est remplacé par ses quatre points fictifs ; ce centre de percussion est le pôle de l'axe de rotation dans une ellipse imaginaire dont l'équation s'obtient en changeant 1 en — 1 dans l'équation (12). Quand nous parlerons du centre de percussion de l'arc tout entier, il sera sous-entendu que chaque élément est remplacé par ses points fictifs; l'ellipse centrale d'inertie de l'arc sera aussi déterminée dans cette hypothèse.

Reprenons un système d'axes rectangulaires quelconque œo^; soient (a, |3), (a', (3'), (a", 0"), (a'", 3'") les coordonnées des quatre points fictifs de la masse dm ; les coordonnées x^, 2/2 du centre de percussion de l'arc total, conjugué à l'axe ox ont pour valeur :

INTEGRATION GRAPHIQUE. 649

Soient a^, (Sj les coordoEnées du ctntie do iitrcussion de l'élément , conjugué à l'axe en ox ; on a :

D'autre part, ou a évidemment :

„ dm X dm = z — — a.

Les valeurs de x.i et de y^ sont donc données par les formules :

Vî f yd'>'>^ = J ^iVâm, cCi I ydm =- / a^ydra.

On trouve de même que les coordonnées ir, , y^ du centre de percussion de l'arc , conjugué à l'axe oy sont données par les formules :

y^ I œdm = / ^^xdm, )

Xi I xd)ii = I a^xd7n. \

«3, ,3j sont les coordonnées du centre de percussion de l'élément par rapport à l'axe oy.

G7*^. Centre insiitanlaiié de la rotation élémentaire d'une seelion. — Les trois déplacements élcmentcdres d'une section se compose en une rotation unique <[\i autour d'un point. Ce centre de rotation est, par rappjort à Vêlement ds, le centre de percussion conjugué à la ligne d'action de la pression.

En eflet, si l'on compose par les règles de la cinématique , la rotation rf-]; et les translations dds et yds , on sait que l'on obtient une rotation unique d]^ autour d'un centre instantané qu'il s'agit de déterminer. Soient X', Y' les coordonnées de

ce centre par rapport aux axes AX et AY (âg. 272) ; exprimons que la rotation unique d à communique au point A le même déplacement que les trois mouvements composants ; on trouve :

X'd'!^ = yds ,

Y'd'li — dds.

Remplaçons tZ.}/, yds et dds par leurs valeurs tirées des équations ( 1 ) , (2) et (3) ; on trouve après quelques calculs :

La pression sur la section A est la résultante des forces K, N et du couple M; le moment de cette pression autour d'un point X", Y a donc pour valeur

u = KX + NY 4- M.

L'équation de la ligne d'action de la pression est donc

KX + NY + M = 0.

Les équations qui donnent X', Y' permettent d'éliminer K et N ; on trouve que cette ligne d'action a pour équation :

C'est l'équation de l'antipolaire du point XY'' par rapport à l'ellipse centrale d'inertie; réciproquement le centre de rotationest l'antipùle delà pression ; c'est doncaussi le centre de percussion conjugué à cette pression.

Le centre de rotation se détermine par la construction suivante. Soit FH la pression ; le centre de rotation C est l'intersection des antipolaires des points F et H ; ces antipolaires CE et KC sont déterminées par les équations : FA X AE =r*,HA X AK=y-'^ De là résulte la construction suivante : on porte AD= r , AB = r' ; ou joint FD , on mène DE perpendiculairement a FD; on joint HB, on mène BK perpendiculairement ù BH ; les points E et K déterminent le point C.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 651

La rotation dit a pour valeur d'I/ = Mds : El ou d'ij =Mdm. Le moment M s'obtient grapliiquement de la manière suivante. Soit Ph la droite qui représente la pression eu grandeur et direction; soit Vc2 une force horizontale, de grandeur constante q, prise pour base dans le calcul des moments; décomposons la force P/i en deux composantes , l'une égale à q, l'autre représentée par qh. Menons par A une parallèle AL à qJi ; si nous prenons L comme point d'application des deux, composantes , le moment de la force dirigée suivant AL est nulle; soit c = AN la projection verticale de AL ; on a : M = cq; la valeur de dlj devient :

d'\) = qcdrii. (16)

Pour simplifier le langage, nous désignerons la longueur c sous le nom d'excentricité de la pression.

07iS. Corollaîi'c. — La rotation élémentaire d'une section est la résultante de quatre rotations autour des quatre points fictifs de la section ; chacune de ces composantes est égale à la masse du point fictif {d7n : 4) multipliée par le moment de la pression autour de ce point.

Soient ii, u', u", u'" les moments de la pression autour des

quatre points fictifs m, m', m", m'" ; il s'agit de démontrer

que la rotation de la section est la résultante de quatre rota-

d7n , dm u"dm îi"'dm ^ ^ ,

tions u —r,W—- , ■ , — ■ — En eflret , composons

ces rotations comme des forces parallèles ; remarquons que le moment u , autour d'un point ( X , Y) est donné par la formule u = KX -\- N Y + M ; les moments u , u\ u", u'" peuvent donc être considérés comme les ordonnées d'un plan ; donc les quatre forces à composer suivent une loi plane (258) et par conséquent leur résultante est appliquée au centre de percussion conjugué à l'axe neutre. Cet axe neutre est la droite ic = 0 , c'est la ligne d'action de la pression. On sait que la grandeur de cette résultante est la force que l'on obtiendrait en mettant les quatre masses au centre de gravité; or alors 2i = M; donc la résultante est Mc^^h. Nous retrouvons donc en composant les quatre rotations , la rotation unique de la section ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

652 INTEGRATION GRAPHIQUE.