CHAPITRE VII

Compléments de la théorie des poutres droites.

Nous plaçons dans ce chapitre des théorèmes qui généralisent les propriétés des pivots utilisées dans les tracés graphiques. Nous indiquons, en outre, d'autres méthodes moins simples que les précédentes , mais qu'il peut être utile d'examiner.

§ 1. Théorème de l'ordonnée variable.

OGO. Tliéorèine. — Si on écrit toutes les équations qui permettent de déterminer analytiquement les ordonnées K, M, yj , ?/, en un point d'une poutre continue, on remarque immédiatement que ces équations contiennent trois espèces de quantités : 1° des ordonnées connues telles que les ordonnées des appuis , les forces sollicitantes , les charges ; 2° les ordonnées iyiconniœs K, M, /;, y\ 3° des coefficients qui sont des fonctions des abscisses et du moment d'inflexibihté, de la forme

^, ^,, ,, yi|L, y-iï^, y£|i, yy^.otc...

Toutes les équations sont linéaires par rapport aux ordonnées connues et inconnues ; en les résolvant , on trouvera pour toute ordonnée inconnue Y une valeur de la forme ;

dans laquelle ^i, .6, y sont des coefficients ; y., l'ordonnée d'un appui ; p, la charge sur une certaine étendue; P, une force isolée. Si la charge p était variable et si on avait , par exemple, 2> = ax'^ + ?/^ + c , le terme 2 /5 /y serait remplacé par :

S'il y avait un moment d'encastrement N, il faudrait ajouter le terme 5 N.

Nous allons démontrer le théorème suivant : Si Vune des ordonnées connues (yo , y, , y^... y»i , p, P , a, b, c, N) varie , toutes les cordes, toutes les tangentes, tous les côtés et cordes des polygones d'intégration des lignes desK, des M , des-/}, des y pivotent autour de points fixes et déterminent sur des axes verticaux V échelle des valeurs de Tordonnéc variahle.

Eu effet, eu s'aiipuynut sur la l'cuiarquc précédente , on démontre aisément que l'équation d'une des droites visées dans l'énoncé est de la forme :

ij = a)Y-^Y'. (?)

Y et Y' étant des expressions de la forme ( 1 ). Soit ii , l'ordonnée variable , on a :

Y = nm + Z , Y'= m'u-\- Z'.

Z , Z' sont des fonctions linéaires des ordonnées connues sauf i«. L'équation (2) devient :

ij = œZ -\- Z'-\- u{mœ-\-in') (3)

C'est l'équation d'un système de droites du premier degré à axe vertical ; le pivot se trouve à l'intersection de deux droites :

L'équation (4) prouve que l'abscisse du pivot ce déj erd que des coefficients et nullement des oulounéts connues; l'équation (3) prouve que l'ordonnée du pivot est une fonction linéaire des autres ordonnées connues.

OOI . 4'orollaîros. — 1° Nous avons démontré que si ( n imcigine un moment d'encastrement à lextrcmité de la poutre, les côtés des lignes de repère pivotent autour de points fixes; cette propriété est un cas })aiiiculier du théorème itrécédeut, car les lignes de rt]:ère apiartiernent à une poutre fictive ; le moment d'encastrement constitue l'ordonnée variable.

2" La droite qui joint les [.ivots de deux côtés consécutifs

638 INTEORATION GRAPHIQUE.

d'un polygone d'intégration a pour dérivée l'ordonnée du pivot du côté correspondant de la dérivée.

En effet , il y a une solution pour laquelle les deux côtés dont il s'agit ont même direction, alors le côté correspondant de la dérivée est horizontal et détermine l'ordonnée de son pivot.

3° Deux côtés quelconques pivotent autour de deux points R et S ; si ces deux côtés se rencontrent sur une même verticale , toute corde qui s'appuie sur ces deux côtés pivotent autour d'un point de la droite RS.

Ce théorème est sous une forme un peu différente, le théorème de Desargue ; nous en avons transporté la démonstration dans le livre II de ce mémoire ( 58, fig. 26).

4" Pour une même travée la ligne des K se transporte parallèlement à elle-même ; les pivots sont donc transportés à rinfini. Il n'en est plus de même si l'on considère une corde qui s'appuie sur deux points appartenant à deux travées différentes ; cette corde a alors un pivot.

5° Pour une même travée les pivots des côtés de la ligne des M sont sur une même verticale (,128, 2").

6** Nous savons comment ou détermine les pivots pour le cas d'une poutre non chargée sollicitée par un moment extrême ; il suffit pour cela de mener une solution quelconque, car les ordonnées de tous les pivots sont nulles. On peut considérer le cas d'une charge nulle comme le cas particulier d'une charge uniforme ; le polygone des t; , qui était formé de deux côtes , est remplacé par un polygone de trois côtés inscrit dans le précédent (549) ; on trace facilement les côtés de ce polygone ; on obtient imrnadiatement leurs pivots doht les ordonnées sont égales à zéro. Le même raisonnement s'applique au polygone des y. On obtient ainsi une épure donnant les abscisses des pivots des côtés du polygone d'intégration pour le cas d'une charge uniforme quelconque. On passerait de la même manière au cas d'une charge 2? = ox -f- J) et à d'autres cas plus compliqués.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 639

§ 2. Introduction de couples isolés.

€»0'3. Principes. — Soit (flg. 259) une partie de poutre à plusieurs travées ; intégrons deux fois les ctiarges et soit ahcde la ligne des M". Nous voyons que sur Fappui nous avons introduit non seulement une réaction, mais un couple isolé reiirésenté par cd. Soit ABCDE la ligne inconnue des M'; sur l'appui la valeur de M' .subira un accroissement brusque égal au couple isolé , car la valeur de M est continue, donc en passant de gauche à droite de Tappui on doit avoir A (M"— M') = 0 ou A M" = AM'. On doit donc avoir CD = cd. Il résulte de là que les lignes des M', des //, des y' appartiennent à une poutre non chargée mais sollicitée sur les appuis par des couples connus. Si nous reprenons tout ce que nous avons dit dans le cas d'une ligne des M' continue, nous reconnaissons que toutes les propositions sont encore applicables, sauf les modifications suivantes qui sont la conséquence de la présence du couple isolé.

Soient : a (fig. 259), le point invariable des M'; P, le pivot du côté AC. Le côté CE pivote autour du point Q situé sur le prolongement de Pa. Menons la verticale QR ; on peut trouver QR apj-iori; on a évidemment QR=Q'R'. Donc les côtés PQ du polygone des pivots passent encore par les points invariables ; mais ils sont séparés par des côtés verticaux QR dont on peut déterminer les longueurs.

Soit ABDE (flg. 260) la ligne des y/. Si le couple isolé n'existait pas , le côté BD se prolongerait en DF. Intégrons la droite M = cd , nous trouvons la ligne D'E'; on doit avoir FE == ÊE'. Soit Q le pivot du côté BD ; portons QR = Q'R' ; le point Rest évidemment le pivot du côte DE. On voit donc que le polygone des pivots PQB|3 passe encore par les points invariables a , p, mais il présente des côtés verticaux analogues à QR. Ces côtés se déterminent en intégrant M = cd.

Soit ABCGH (flg. 261) la ligne des y'. SU n'y avait pas de couple isolé , les côtés adjacents à la tangente CG devraient se couper en un point E de la directrice de continuité. Soit

640 INTEGRATION GRÂPPIIQUE.

E'G'H' la ligne des y que l'on obtient en intégrant deux fois la droite M = crf ; on doit avoir KH = K'H' et FE = F'E'.

Soit P le pivot du côté BC ; le pivot du côté GK est le point Q situé sur la droite PD. Or QR = Q'R' ; donc le point R est le pivot du côté GH. Le polygone des pivots PQR présente encore des côtés verticaux analogues à QR et qu'on détermine a priori en Q'R'.

Supposons (comme dans la figure 259) que les lignes des M soient tracées comme si chaque travée était encastrée à ses deux extrémités ; remplaçons ces lignes par leurs transformées droites avant d'effectuer les deux intégrations ; toutes les transformées se réduisent à M = 0 , donc la ligne des y] est yj = 0 et la ligue des y est 2/ = 0. Si les appuis sont de niveau, les ordonnées des points invariables des y', des il, des M sont nulles; on supprime ainsi toute intégration , avantage qui compense les complications introduites pas les couples isolés.

003. méihodes diverses. — La méthode générale qui consiste à utiliser les trois épures pour tracer une solution est applicable sans modification. Les trois solutions pratiques peuvent se résumer en une règle unique : on trace l'épure des pivots comme s'il n'y avait pas de couple isolé ; on détermine les côtés verticaux du polygone des pivots ; on mène le polygone des pivots par les points invariables en partant d'une des extrémités de la poutre ; on trace la ligne de repère définitive en partant de l'autre extrémité.

§ 3. Lignes de repère horizontales.

001. B*rîiu'ipes. — Abandonnons l'idée des lignes de repèje polygonales et curvilignes et proposons-nous de déterminer directement les lignes des M, des y; et des y en prenant des lignes de repère horizontales. Donnons-nous y;o à l'une dts extiéraités, en admettant un moment d'encastrement convenable à l'autre extrémité; supposons /io variable. Nous pouvons de [iroche en proche déterminer les pivots desdifléreuts côtés en partant de l'une des extrémités et tracer

ensuite la solution définitive en partant de l'autre extrémité. Mais pour que cette méthode devienne pratique, il faut simplifier autant que possible le polygone d'intégration des lignes des M, des yj et des y. Nous examinerons successivement deux procédés différents.

Considérons les M.dx : z comme des charges ; la ligne des y est alors une ligne des résultantes auxiliaires de ces charges. Soit ABC (fig.263)lalignedesMpour une travée ; nous pouvons considérer ces charges comme résultant de la composition des charges représentées par la corde AC et des charges négatives qu'il y a lieu de considérer dans une poutre sur deux appuis. Nous pouvons remplacer ces derniers par leurs résultantes ; les tangentes extrêmes à la ligne des y ne seront pas altérées.

Le second procédé consiste à remplacer la courbe ABC par sa transformée droite.

G05. Concentration en une résultante . — Traçons (flg. 262 ) la ligne des M pour une poutre sur deux appuis et les deux intégrales HK et ACE ; la résultante des Mdx : e est égale à a|3 ; elle passe par le point C. Supposons le problème résolu ; soit ABC (fig. 263), la ligne des M pour la poutre continue. Intégrons la corde AC, nous trouvons AB3 (fîg. 264)et ABD'E' (flg. 265). Introduisons la résultante dont il vient d'être question ; la ligne ABC ( flg. 264 ) se relève d'une quantité égale à cette résultante et la ligne CD'E' (flg. 265) doit être remplacée par CDE. Le polygone d'intégration des?/ est ABCDE (flg. 265), le polygone des y; est ABC etHDE(fig. 264).

Solution par répure des y. — Soit P (fig. 265 ) le pivot du côté BD' ; on peut déterminer apriori l'ordonnée PQ qui est égale à l'ordonnée PQ de la figure 262 ; on en conclut que Q estle pivot du côté CD. Le polygone des pivots APQER présente donc des côtés verticaux de longueurs connues ; les autres côtés passent par les points invariables A et E. Les abscisses des pivots sont les mêmes que si la poutre n'était pas chargée (660) et sont données par • l'épure spéciale des pivots déjà employée dans les autres méthodes. On peut alorsN

tracer facilement le polygone des pivots et en déduire la solution définitive.

Solution fjar les '/]. — En prenant la dérivée de la corde AEdes?/, nous obtenons l'ordonnée moyenne des y;; nous avons supposé les appuis de niveau, cette ordonnée est nulle , le point moyen des •/] est le point i. Si la ligne des y] était la parabole ABC , le point moyen serait a , centre de gravité du triangle ABC. Or on obtiendrait la véritable ligne des yj en portant au-dessus de la parabole ABC , les ordonnées de l'intégrale HK (fig. 262); donc la droite ai de la figure 264 a même longueurque l'ordonnée moyenne ai de l'intégrale HK (flg. 262). Il en résulte que l'on peut trouver a priori les points a et Ci de la figure 264 en prenant les ordonnées ai et i{i sur la figure 262. Ces points a, (3 (fig. 264) sont les points invariables de l'épure des ri ; le polygone invariable présente donc des côtés verticaux analogues à « |3 et des côtés obliques tels que /3y. Soit P le pivot du côté BC; l'ordonnée PQ est constante; donc le point Q est le pivot du côté DE; le polygone des pivots présente des côtés verticaux PQ de grandeur connue; les autres côtés tels que QR passent chacun par un point invariable. On peut donc déterminer successivement le polygone invariable, le polygone des pivots et la solution définitive.

Solution par les M. — Prenons les dérivées des côtés obliques (3/ du polygone invariable des r, et [)ortons ces dérivées sur les directrices de continuité; nous obtenons des points tels que a (fig. 263); ce sont les points invariables des M. On démontre comme dans les méthodes précédentes que la corde principale DE pivote autour de ce point a.

Les abscisses des pivots des cordes AC sont données par l'épure spéciale des pivots d'une poutre non chargée; on mène le polj^gone des pivots par les points invariables et on trace ensuite la position définitive des cordes. Eu résumé, quand les points invariables sont déterminés , on trace la suite des cordes analogues à AC comme s'il s'agissait d'une poutre non chargée.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 643

OG6. Emploi dos ti*aimfoi>iuéc«ii droiles. — Soit (flg. 266) abccl la ligne des M qu'il s'agit de trouver. Remplaçons pour chaque travée ces ligues par leurs transformées droites, nous obtenons la ligue ACDF ; nous savons que par cette substitution les y et les ■/; sur les appuis ne sont pas changés ; c'est cette ligue ACDF que nous proposons de trouver. Cette ligne appartient à une poutre non chargée, posée sur les mêmes appuis que la pouti'e donnée et sollicitée sur ces appuis par des couples isolés dont les moments sont représentés i)ar Aa,CD, etc. Or ces moments peuvent se déterminer a priori en traçant pour chaque travée l'épure des M pour le cas oCi cette travée serait encastrée à ses deux extrémités. En effet, Xa est le moment d'encastrement , CD est la différence des moments d'encastrement De et Ce. Nous sommes donc ramené à un problème que nous avons déjà résolu précédeumient (6G2 , 663 ). La méthode générale et les trois méthodes particulières sont ap[»licables; nous n'avons indiqué (flg. 266) que la solution par l'épure des M. Les points invariables a, |3 sont sur l'axe M = 0, si les appuis sont de niveau ; on trace le i)olygone des pivots APQ(3 en remarquant que les côtés verticaux tels que PQ [)euvent se trouver a -priori (PQ=P'Q') et que les côtés obliques passent par les points invariables. On trace la solution définitive en partant de l'autre extrémité. Les solutions par les y; et les y s'obtiennent de la même manière.