I.ÎI prismatique. — Si le lit est prismatique , on

doit faire dans l'équation (1 ).

On trouve :

ds ~~

Si on suivait la méthode précédente, on trouverait yi = /'(^); les lignes isoclines sont des droites parallèles; mais si nous prenons h comme abscisse , on a :

donc l'ordonnée s est une simple intégrale ; en traçant la courbe dérivée , on obtiendra immédiatement l'axe hydraulique par une intégration.

Posons :

L'équation (12) devient :

,,s='-=^^an. (16)

Cette transformation revient à représenter les longueurs 5 par (les longueurs 5' proportionnelles mais beaucoup plus petites ; c'est un changement d'échelle des 5 , analogue à ceux qui sont usités dans l'exécution des profils en long. L'élément horizontal de l'axe hydraulique satisfait aux équations :

-— = - ou -7-, = l. (17)

ds l' 1 — f^ ds'

Nous avons (fig. 309) tracé l'axe 05' de manière que les éléments horizontaux restent horizontaux après la transformation.

Considérons dans l'équation (16); h comme abscisse, s' comme ordonnée ; l'axe hydraulique est la courbe intégrale de la courbe :

l^HiW, (18)

^ 1 - cp [h)

Prenons pour construire la courbe des y, les axes yo'JV ; construisons d'abord les courbes ?/' =^(/0, 2/" = ? ('0- La courbe y" = cp (/i) a la forme AB; on reconnaît, en effet, que l'on a 9 (o) =00 et que la fonction (p décroît constamment quand h augmente pour les formes ordinaires des sections. On trouve que la courbe ?/' = ^]; ( /i) a une forme analogue CD^

730 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Mais la courbe CD est située sous la corde AB, car des équations (4) et (5) on tire :

Ce rapport reste plus petit que un pour les valeurs ordinaires de la pente 2 ; en effet, dans les conditions les plus défavorables à cette proposition , on aurait :

R ' X ? 1/ 1 - f gy-

Or la pente i est toujours beaucoup i»lus petite que r/y.. Portons o'o" = 1 ; par rapport à Taxe o"h" les courbes AB et CD représentent 1 — 9 et 1 — ']; ; on trouve les ?j en divisant les ordonnées de la seconde par celles de la première ; on trouve la courbe O'KL EF. Si on intègre cette courbe on trouve MNP et QR ; par tout point passe un axe hydraulique que Ton déduit des axes MN, NP ou QR par l'addition d'une constante. La droite h = 0''H est une droite solution ; c'est la droite du mouvement uniforme.

Pour tracer graphiquement un axe hydraulique, il n'est pas nécessaire de construire les courbes dérivées ; il suffit de porter , pour des valeurs suffisamment rapprochées de h , l'échelle des valeurs des fonctions 1 — -j^ et 1 — 9 sur deux axes perpendiculaires ; en joignant les points correspoudants de ces deux échelles , on obtient les directions des éléments des axes hj'drauliques ; on intègre par approximation.

Connaissant la forme de la section, on trace la courbe

des w, des /, des R ; on trouve le polynôme ( a + {-) - par

la méthode employée au numéro 702 ; on obtient •]/ en multi-

Q pliant deux fois par ^^; on obtient 9 avec la même facilité.

740. lunuence de la pente. — Si la pente du lit augmente, la courbe CD ne varie presque pas ; mais les ordonnées de la courbe AB diminuent.

Pour une certaine valeur de la pente, la courbe AB passera parle point I, c'est-à-dire que la longueur HI s'annulera. Pour une pente i)lus forte , le point H viendra se placer entre les points 0'' et I ; les éléments parallèles au fond sont alors à une profondeur moindre que les éléments normaux au fond ; on a la disposition MP', Q'N'R'.

Lorsque le lit n'est pas prismatique , le nombre de dispositions est considérablement augmenté ; reprenons le cas du lit divergent vers l'aval. Si la pente augmente, les formules (3) et (4) montrent que le foyer P (flg. 310) s'éloigne de l'origine et arrive dans la partie utile du plan. Pour

i = \\ — 1^0,45 ) ffb , il y a un élément solution passant par le foyer; cela prouve que la courbe des inflexions BCD passe par le foyer P. D'après la forme de la surface des inclinaisons, on peut prévoir que lorsque la ligne BCD atteint la verticale du foyer, elle présente sur cette verticale un élément vertical qui devient, en projection, un point de rebroussement. Si la pente augmente encore , il y a deux éléments solutions ; la courbe des inflexions dépasse la verticale P pour y revenir à un autre niveau ; en projection la courbe forme une boucle au-delà du point P ; le point P est un point multiple. Il faut remarquer qu a l'aval du foyer les éléments normaux au fond du lit sont au-dessous des éléments parallèles , comme dans les lits prismatiques à pente modérée; à l'amont du foyer, c'est l'inverse qui se présente. Si la pente devient égale à gb, on trouve que le foyer s'éloigne à l'infini; les courbes isoclines ne se coupent plus ; les éléments normaux au fond du lit se trouvent au-dessus des éléments [)arallèles ; on a donc une disposition comparable à celle qui .se présente dans les lits prismatiques à forte pente.