V = -/!-.. (II

gb — i ^ '

La courbe se scinde en deux, GG qui est du genre hyperbole, et Taxe h = 0. Les courbes du genre E' et E" couvrent

726 INTEGRATION GRAPHIQUE.

la portion du plan comprise entre l'iij'perbole GG et son asymptote 05.

3° y; varie de gl) à x . La valeur de m reste négative ; celle de n devient positive. Nous obtiendrons des valeurs positives de U et s en prenant y positif et x négatif; c'est donc la courbe ST de la figure 307 qu'il faut transformer ; nous trouverons des courbes ayant la forme d'une hyperbole asymptote aux axes /z = 0 , s = 0. Pour yj = ce , l'équation (2) devient l'équation (4) ; on trouve la courbe K. Entre la courbe K et la courbe GG se trouvent les courbes pour les valeurs y; variant de ^& à oo . La courbe K est le lieu des éléments normaux au fond du lit ; elle correspond à rj = ± ^ •

4° y; varie de — x à 0. Les valeurs de m et de n redeviennent positives ; on trouve des courbes H', H", H'" du genre de la courbe H. Si y; tend vers — co , la courbe H"' se scinde en deux : s -= 0, et la courbe K.

Courlje des inclinaisons. — Si on mène aux courbes isoclines les éléments d'intégrales qui les touchent , on trouve une courbe BCD et une courbe CD' ; ce sont les lieux des points d'inflexion. La courbe G'D' passe par l'origine.

Î37. Tracé «les axes liydranliqnes. — Nous trouvons des axes A, situés entre le fond du lit et la droite K; ces axes présentent sur la droite K un élément vertical ; on ne pourrait réaliser ces axes qu'en établissant à l'amont un appareil pour créer de la vitesse ; ces axes sont susceptibles de ?e relever en ressaut et peuvent être suivis d'un des axes que nous allons étudier.

Au-dessus de la droite K existent des axes A, , convexes vers le haut, ou des axes Aj , présentant une partie concave séparée des parties convexes par deux points d'inflexion. Entre les axes A^ et A3 se trouve un axe intermédiaire qui qui présente en C trois éléments en ligne droite.

Les axes situés au-dessus de la courbe H, ont la forme A3 ;

h croît indéfiniment, mais alors — tend vers la valeur i ; ces

axes présentent une pente indéfiniment décroissante et ont des asymptotes horizontales. Ces axes sont concaves vers le

haut , mais ils deviennent convexes en amont de la courbe BC. Entre les axes A^ et A3 , existe un axe limite A4 ; on le déduit de l'axe A3 , en plaçant l'élément normal au fond , à l'infini, sur la courbe K; on l'obtient aussi en plaçant le point d'inflexion I à l'infini sur la courbe D. On le déduit de l'axe Ah en plaçant l'élément L parallèle au fond à l'infini sur la courbe H. Cet axe se tourne donc entre les courbes H et D et rencontre ces courbes à l'infini. Il est concave vers le haut, sauf en amont de la courbe BC.

Tous ces axes hydrauliques présentent en s'aprochant du point P des formes étranges; ils tournent autour du point P s'approchant indéfiniment de ce point. Évidemment il n'est pas possible de réaliser ces formes bizarres ; mais il faut remarquer que le point P se trouve près de l'origine et qu'à l'origine la largeur de la section est nulle ; on trouve donc en s'approchant du point P des vitesses excessivement grandes, il faut un appareil pour créer ces vitesses ; cet appareil remplace la partie de l'axe hydraulique qui est irréalisable. Il faut remarquer d'ailleurs que près du point P toutes les équations sont fausses: car le lit cesse d'être très large et l'on ne peut pas admettre y = l.

TÎJS. Antre conslpactîon des courbes isoclines. — On peut considérer l'ensemble des courbes isoclines comme un abaque des valeurs de li, s, •// ; les courbes des yi sont les lignes isoclines. Nous allons construire un abaque où les trois sj'stèmes de lignes soient droites ; à cet effet , posons d'abord :

L'équation (2) devient :

iiHi^ {î — y]) = i9« [{gi'> — y;) u—\^.

Prenons deux axes coordonnés et posons : y ^U^i^i — 'n), x = {gl> — Ti).

728 INTEGRATION GRAPHIQUE.

On trouve :

ligne des u , u^t/ = p'^ {ux — \},

ligne des ■/] , x = gh — r,,

ligne des li, y = h"' {i — gl) + x).

Construisons ces trois systèmes de droites ; nous obtiendrons l'abaque des u , r,eth. Il s'agit alors de transformer ce tableau , de telle manière que les lignes des u deviennent s = Jiu , les lignes des h deviennent des droites /i = 1 , h = 2, etc.

On trace facilement les nouvelles lignes des h et des?<; on trace alors les nouvelles lignes des yi de manière qu'elles soient situées dans les lignes nouvelles des u et des h , comme les anciennes. Le problème est résolu.