CHAPITRE II

Constructions de courbes algébriques.

§ i'"'. Construction des paraboles.

GO. Méthode par înlégralîons successives. — Soit ?/ =- «.T™ 4- ?;^"' - 1 . . . + hx -\- l l'équation d'une parabole de degré m. En dérivant cette équation, nous obtenons successivement :

y' = max"'- ^ -\- {m — \) bx'"' - ^ + -\-h.

y" :=m{7n— 1) ax'" -^ -\-{m — l)(m — 2) bœ'"-^ + ...

y{"^-^i = m{m — 2) '2ax{m — \){m—2) — 1/?

ym=yn («2 1 ) (jji 2) ... 2. la.

La dernière de ces équations représente une parallèle à à l'axe des x que nous pouvons construire immédiatement ; si nous effectuons sur cette ligne une première intégration graphique en prenant comme premier point de l'intégrale :

nous obtenons la ligne qui représente y"'~ '; si de la même manière nous affectons une seconde , troisième intégration , etc., nous obtenons y"' - 2, ?/'« - 3, etc., et finalement la parabole demandée.

Les méthodes du livre premier ne permettent d'effectuer que quatre intégrations successives et l'on ne pourrait dès lors obtenir que les paraboles du quatrième degré ; pour une parabole de degré supérieur au quatrième, il faudrait opérer par approximations.

Nous allons démontrer que l'on peut aussi obtenir l'intégrale n'^""^ d'une parallèle à l 'axe des x de la manière suivante : l'intégrale première de la parallèle à l'axe des ^ A B (fig. 30) est une droite A, B, qui s'obtient par une méthode connue (n°33). L'intégrale d'un arc Aj Bj de cette ligne

4R INTEGRATION GRAPHIQUE.

droite s'obtient en remplaçant le trapèze A, B, ^, a, par deux rectangles de base— -' et dont les hauteurs sont respectivement les ordonnées des points A, et B,; on obtient ainsi le polygone A^ r^B^ formé par les deux tangentes extrêmes de l'arc A2B2 de l'intégrale seconde cherchée. L'intégrale de l'arc A 2 Bj s'obtient en remplaçant le trapèze curviligne

A2 B2 &2 a^ par trois rectangles de base -- et ayant pour hauteurs respectives les ordonnées des trois sommets du polygone As rjBj ; on obtient ainsi un polygone k^r^s-^ B3 de trois côtés dont les extrêmes sont les tangentes aux extrémités de l'arc A3 B3 de l'intégrale troisième cherchée. L'intégrale de l'arc A3B3 s'obtient en remplaçant le trapèze curviligne AjBj^^j «3 par quatre rectangles de base—— et dont

les hauteurs sont les ordonnées des quatre sommets du polygone K-j\ 53B3 ; on obtient ainsi un polygone A^riS^^^Bi de quatre côtés dont les extrêmes sont les tangentes aux extrémités de l'arc A^ B^ de l'intégrale quatrième cherchée. En continuant de cette façon , on obtiendra un polygone KnrnSn....Bn de n côtés dont les extrêmes seront ks tangentes aux extrémités de l'arc A',>,Bn de l'intégrale ^z'^'"^ cherchée.

Pour justifier ce tracé graphique, soient : y l'ordonnée de AB.

y^ y^ les ordonnées respectives des points A, et B, ViV^Vt " " " A2,r2etB2

y^yzVz'y-r " " " A3,r3,53etB3

ynyùyn if.^^ " •■•■ - An.r^.Sn Bn.

Nous allons démontrer que t/'l est l'intégrale w'"'"'* cherchée. D'après la construction qui vient d'être exposée, on a

j'équation :

— ^ = ?/,, ou bien Ay^ =^ y^^.

Cette formule va nous permettre de calculer A//„ , A-//„ , A'?/«....; on trouve, en efïet, en prenant les dilîerences successives :

A=^y,. = r ^U'^ ^2 = ,T ,; — r il — ~> ^" '

•^ n ri — 1 1

L'ordonnée ?/ s'exprime au moyen de ses différences

successives par la formule symbolique u\^ = [^\ + ^) y ^^ o\x bien :

ou eu remplaçant Az/^A^y,. ... A"//, par leurs valeurs :

Remarquons que U^,,,y„ .^.--Z/ «ont les dérivées successives de ijn ; le second mend)re est donc le développement par la formule de Taylor de l'ordonnée de l'intégrale ?2'*™« cherchée; on en conclut que ij^ est bien cette ordonnée. Remarquons enfin que les côtés extrêmes du polygone LnrnSn...^n sout Ics taugcntes aux extrémités de l'arc A„Bn puisque les directions de ces côtés, de même que celles des tangentes extrêmes s'obtiennent en portant sur le diagramme les ordonnées des points A^ j et B^^ ^.

Î'O. Problème ppélîininaîre.— Étant donnée une courbe y ^ f^x) construire la courbe ij = xf [x). — Soit AB (fig. 31 ) la courbe donnée, M un point de cette courbe, nous nous proposons de trouver le point correspondant de la courbe cherchée. Soient .r = 0P, y =MP; l'ordonnée cherchée

50 INTEGRATION GRAPHIQUE.

œf {x) est le produit de ces deux quantités; en appliquant la règle de la multiplication (n" 67), nous sommes conduits à la construction suivante : prenons 0 comme pôle, portons 00 = /. (base d'intégration), menons O'Y' parallèle à OY; portons MPenMO', joignons OM', cette dernière coupera l'ordonnée MP au point cherché M,. On peut, au moyen de cette construction , trouver très rapidement un grand nombre de points de la courbe ; on mène d'abord les parallèles MM , NN', etc., puis les rayons OM', ON' , etc., qui déterminent immédiatement les points cherchés M,, N,, etc.

y 1 . deuxième ïuélhode. — Soit à construire la courbe

On peut construire facilement la courbe ?/, = a ; si l'on efîectue sur cette courbe l'opération qui fait l'objet du n° 70, on obtiendra la courbe y^ = ax et si l'on suppose que l'axe des X soit transporté d'une quantité b dans le sens des y négatifs , on aura la courbe y-^ = ax-\-h , par rapport à cette nouvelle position de l'axe des x ; si on eflEectue cette même opération sur la courbe î/j = aa; + & , et si ensuite on transporte l'axe des x d'une quantité c dans le sens des y négatifs, onobtientyi = («j:-l-?>) x+c = r/x^+Z^a; -f e;on trouverait de même t/s = [ax"- -{- Jjx ■\- c) x -^ d = ax^ -f ^x^ ^cx^ d et en continuant de la même manière on trouverait la courbe demandée y = «x'« + hx'^-^ + cx'"-^... + ex' + ^x + H 1 ).

( 1) Le problème du numéro 70 peut être posé autrement ; étant donné l'échelle des valeurs de /"(a-) \\oxi.r Xa,x^,x^..., etc., de construire l'échelle des valeurs de j/ = œ f{a^) Nous aurons l'occasion de revenir sur cette question en nous occupant des intégrales f ndv, f dudv, u ei v étant des fonctions rationnelles de variables dont une est indépendante (Voir 253 et suivants).

INTEGRATION GRAPHIQUE. 51

§ 2. Construction des hyperboles.

7'î. — On entend par hyperboles du «i'""*" degré , les courbes dont l'équation est de la forme

Nous nous proposons de donner deux méthodes graphiques pour construire ces courbes.

73. Problème préliminaire. — Étant donnée la COUrbe y = f{x), trouver la courbe y = -^ — Soit A,Bi(fig.31)

la courbe donnée; Mj un point de cette courbe dont les ordonnées sont x = oP , f{œ) = M,P; nous nous proposons de trouver le point correspondant de la courbe cherchée A B.

L'ordonnée de ce dernier point -^^ est le quotient de deux

ûO

quantités , quotient que l'on trouvera par la règle de la division graphique (n° 68) ; on est ainsi conduit à la construction suivante: portons sur ox, oo' = X (base d'intégration), menons o'y' parallèlement k oy , joignons OM, ; nous trouverons en M'O' le quotient cherché et en portant M'O' en MF , on obtient le point M qu'il s'agissait de trouver. On peut de cette manière trouver autant de points de la courbe que l'on veut.