Profll de remblai. — Reprenons la formule

Sj — C'a = — ACO2 ou S2 == — ACO2 + Cj.

11 est facile de voir que cette lormule donne la valeur algébrique de toute surface limitée au talus de remblai; supposons, i)ar exemple, que la ligne du terrain soit en A'C, la surface de remblai est A'C 0^ — C^ , et si on considère la surface de remblai comme négative, on a S2 = — A'C'U^ + Cj, formule identique à la précédente. Dans la plupart des cas où l'on doit calculer S^, Sj est négatif; dès lors posons S^ = — S'^, ou a :

S'a = A'C'O^ — Cj.

Lorsque S'2 est positif, il s'agit d'une surface de remblai ; quand S'^ est négatif, il y a excès de déblai sur le remblai.

On calculera la surface A'C'Oj par la formule générale; soient h' la côte de remblai , h' étant négatif dans le cas du déblai ; i l'inclinaison du terrain ; T' l'inclinaison en valeur absolue du talus de remblai; k^ la hauteur O^a ; on fera dans ks (ormules générales : R = k. + h' , I = V -h i.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 169

*i't'i. Profil «le roiiililaî. — On reconnaît fa<"ilement qne la formule S^ — C^ = AEQ^ convient à toute surface limitée au talus de déblai , que AE ait la position de la figure 90 , ou vienne se placer en AE' ou A'E'. On calculera AEO4 par la formule générale; soient : h la côte de déblai, h étant négatif dans le cas du remblai; ki = aO,, ; i Tinclinaison du terrain, T celle des talus de déblai; ou fera : H = /?, + k^ , I = T — ^■.

9 13. Profil îniermctlîaîro. — Lorsque la ligne du terrain coupe le plafond du fossé, on a un profil intermédiaire entre les deux précédents ; deux cas peuvent se présenter.

!<''■ cas. L'inclinaison du terrain est négative. — Soit A D la ligne du terrain ; nous avons déjà établi la formule 83 + 03= ADO3 ou S3 = ADO3 — Cj. On reconnaît facilement que cette formule convient dès que AI) est au-dessus de O3D. La surface ADO3 se calcule par la formule générale; soient h la cote du déblai, i l'inclinaison du terrain, /jj^Oj^, on fera ; H = /? -h /v3, I = i. La cote h doit être plus grande que — A\,.

2^ cas. L inclinaison du terrain est positive. — Soit A D la ligne du terrain; on reconnaîtrait facilement qu'en employant la méthode précédente, on obtiendrait encore la surface du remblai affectée du signe moins; mais alors ou devrait donner à H une valeur négative, ainsi qu'à la surface A'DOj. Mais comme la surface à calculer est une surface de remblai, il vaut mieux calculer sa valeur absolue S'-,; on trouve :

S'3 = A'DOs + C3.

La surface A'DOj se calcule par la formule générale ; soient h} la cote de remblai , i l'inclinaison du terrain , k^, = Oa,, on fera :

!Î14. Détermination des conslanfes. — Pour pouvoir appliquer la méthode précédente, il faut au préalable calculer les constantes ^2, ^3, h^,, Cj, C3, C^; ces constantes se déterminent aussi par la formule générale. Soient L,', L2, L3 les

170 INTEGRATION GRAPHIQUE.

distances à l'axe du profil des points b, c, d. Les constantes sont nulles pour le calcul de S,. Pour le calcul de S, , les constantes ^2 et C^ sont précisément les valeurs de h et de S,

pour ^, = L, , il = T' ; on a donc L, = -^ , C^ = ^ ^^ L, . Pour

le calcul de S3 , les constantes k^ et C3 sont les valeurs de h' et de S2 pour l^ = lj^,i^ O. Enfin , pour le calcul de S, , les constantes /j, et C^ sont les valeurs de h' et de S'j pour

^15. Table graphique générale. — Puisque les calculs

se ramènent au calcul des formules l = YetS=— ,des

éléments des profils en travers, largeurs et superficies, on construira une table générale en représentant les fonctions l et S. Pour représenter la fonction l , nous choisirons deux axes coordonnés rectangulaires , et nous poserons y = H , œ = l,on a alors , pour les lignes del, y = lx. La figure 88 est la réduction à une petite échelle d'une table construite d'après ces principes. Les H se ])ortent sur l'axe Oy; les lignes des H sont parallèles à l'axe des x ; les lignes des I sont des droites passant par l'origine ; l'axe des I dépend de l'échelle des droites qui représentent ces inclinaisons. Supposons que pour chaque profil en travers, le profil en long renseigne les dénivellations entre l'axe de la route et les points situés à une distance 1 de l'axe ; pour un demi-profil , cette dénivellation sera ?.2; on conviendra alors de représenter les inclinaisons I par les longueurs AI. Soit OA une droite des I, OC = /, l'ordonnée CA est précisément /.I, donc l'axe C//' est l'axe des I. Pour obtenir la longueur l, on porte 0 B = H , et on place une bande de papier en B D , on porte C A = I /. , on suit la ligne I jusqu'en D , on marque les deux jioints B et D; BD est la longueur cherchée. Nous remarquerons qu'une pareille table se construit très rapidement ; en la construisant sur un papier miUimétrique , les lignes des H et des / sont toutes tracées ; il sufi^t de tracer par l'origine des lignes couvrant toute l'étendue de la table. Lorsque les inclinaisons sont données en nombre, il faut graduer les lignes des I ,

INTEGÏIATION GRAPHIQUE. 171

cette graduation se fait très facilemeut ; si ou choisit OC = 10"\ CA = 10 I en portant CA = 1, 2, 3... on aura des points des ligues 1=0,1 , 0,2, 0,3, etc.

Il nous reste à faire voir qiie le même tableau permet de calculer la surface S. Il s'agit de présenter la fonction

S = — ; si l'unité de longueur représente u mètres carrés ,

g la surface S sera représentée par une longueur - . Posons

y = H , ^ = — , on trouve, pour les lignes des l,x = — y.

Les lignes des H sont encore des parallèles à l'axe des x , les H étant portés sur l'axe Oy; les surfaces sont les abscisses des points du tableau ; les lignes des l sont des lignes droites émergeant de l'origine 0. Ainsi le même^ableau peut servir, mais les lignes I deviennent des lignes des l; il s'agit de construire l'axe des /.

Remarquons que si dans l'équation d'une ligne des l on fait Y = 2u, on trouve x = l, donc portons 0 R = 2?^ , l'axe R«' est l'axe des l. La surface s'obtiendra, du reste, par la même opération que la largeur /; nous avons vu comment on traçait BD = l sur une bande de papier; il suffît de suivre une verticale DE, puis une ligne EO, pour marquer le point S, B S est la surface cherchée.

Il faut remarquer que l'on n'obtient pas directement les surfaces et les largeurs au moyen des cotes de déblai et des inclinaisons; il faut augmenter ou diminuer ces éléments de certaines constantes ; ces constantes sont des longueurs que l'on détermine une fois pour toute pour chaque gabarit; d'après le numéro précédent , ces constantes se détermineront par la table elle-même. Les additions ou soustractions de ces constantes se font graphiquement; pour ce qui concerne les surfaces, il est inutile de faire la correction; on pourra tenir compte des constantes C^ C3 C^ en [)ortant dans le calcul graphique des cubes, les surfaces S à partir de certaines lignes y = — C2, 1/ = ± C3, 7/ = — C.t parallèles à l'axe des longueurs. Toutefois toutes ces petites opérations peuvent

172 INTEGRATION GRAPHIQUE.

être supprimées en appropriant la table au gabarit spécial dont on a besoin.

!SIO. ilppropriation d^iinc table à un gabarit donné. —

Les éléments de la table générale H, I, S diffèrent des éléments du profil h ou h', ± i, S de quantités constantes; il suffit dès lors , pour pouvoir porter directement h , i et obtenir S , de déplacer les origines des axes, de ces quantités constantes; comme ces constantes dépendent du gabarit , on obtient alors une table particulière à ce gabarit. Nous avons représenté cette table fig. 101.

Pour ce qui concerne les i, il y a trois origines différentes; pour le calcul de s, ou Sj , on doit prendre 1= ± /, donc C,, ou C'i3 est l'origine des ti; pour le calcul de 5'^ , on doit prendre I = T' + z, on portera les i à partir de l'origine Cj que l'on obtient en portant CisCj = T'; pour le calcul de s^ on doit prendre I = T — ? , donc on portera les i à partir de l'origine Ci que l'on obtient en prenant C^ C^ = T. Sur la figure , C2 et C4 coïncident parce que nous supposons T = T'. Lorsque les inclinaisons sont données numériquement , il faut 2 ou 3 graduations différentes pour les lignes des i ; nous les avons indiquées sur la figure, mais elles sont inutiles quand les inclinaisons sont données en longueur.

Pour ce qui concerne les h ou li' et les s, il faut cinq origines différentes: 0 pour les h ou h\ les s, ou s',, 0\ pour les IV et les «2 ' O3 pour les li et les s-^ quand ^■ <0, 0\ pour les IV et les 53 quand ?' > 0 , O4 pour les li et les s^ ; ces origines se déterminent avec la plus grande facilité.

L'origine des 5, est connue; c'est l'origine des axes coordonnés. Calculons i)ar la table li et 5, pour /, = L, , z = — T; portons y = h, x = Si, nous aurons le point 0^: la table de s'j sera construite. Calculons par la table des s\ , h' et s\ pour ^2 = L2, ?" = 0, prenons y = h', x = s\ nous aurons l'origine O3; prenons ?/= —/?', x^= — s\ nous aurons l'origine 0'^ : la table des 53 et des .s'- sera construite. Calculons par la table des s'3, //' et s\ pour /3 = L3, « = T, prenons ij -= h\ x = s'-^ on obtient l'origine O4 : la table s'i est construite.

*H7 . Iloteriiiination de la nature du profll. — La table de la flg. 101 doit être employée de cinq manières différentes; il faut donc pouvoir déterminer la nature d'un profil donné. Il est d'abord évident que dans la plupart des cas il sera manifeste qu'il y a déblai ou remblai; mais si la ligne du terrain se dirige vers le fossé, il peut y avoir indécision; dans ce cas on calcule If , l^, Iz, h et d'après les longueurs que l'on obtient on saura quelles sont les surfaces à calculer. On

calculeras, si /, <L,, s^ si l<i> L,, 53 si l^ ^t ^ 5,si^4>L4;

c'est pour faciliter ces vérifications que nous avons tracé les droites œ = Lt, x = L^, x = L^, x = Li sur la table graphique ; généralement , dès que l'on aura déterminé l^ , toute indécision sera disparue. Voici , au surplus , tous les cas qui peuvent se présenter : 1°'' cas, i > 0. Si h > 0, il y a déblai ; si h <0, il peut y avoir déblai et remblai. On calcule li, si ^4 > L5 , Si est la surface totale ; mais il y a passage , il faut calculer une surface partielle qui est s,, Sj ou s^ ; si li < L,, c'est 5i, si l^ > L, li <L2, c'est 52, si /, > L,, /2> L^, c'est s^. 2^ cas, î < 0. Si h > — hz, il peut avoir un ou deux passages. Si II > I/3, 5i est la surface totale ; il peut avoir deux points de passage ,sih>0,lt< L,, on calculera 5, et s.^. Si l^ < Lj, Iz > Lj le profil est intermédiaire ; il peut y avoir deux points de passage, si h > 0, /, < L,, on calculera s^ et s^. Si l^ < L3, Iz < L2, on a un profil de déblai ; il y a un point de passage sih <0, on calcule /, et 5,. Enfin si h < — k^ , le profll est tout entier en remblai.

*HH. Emprises, surfaees de talus. — Les longueurs /, , ii, iz, ^ii L,, L2, L3, L4 permettent de construire un plan terrier complet ; une intégration graphique donnera les surfaces d'emprises et les surfaces de talus. Les surfaces de talus sont déterminées par leurs projections horizontales ; soit A une surface de talus de déblai , cette surface fait avec l'horizon

un angle dont la tangente est T , et le cosinus — — , donc

la projection horizontale B est B = — — ,

174 INTEGRATION GRAPHIQUE.

d'Où A = B 1/ 1 -; T* .

Ainsi la projection horizontale du talus doit être multipliée par une constante; on tiendra compte de cette constante dans le choix de la base d'intégration. Pour le talus de

remblai on aura : A' = B' V l -[- T'S la base d'intégration sera différente.

Si l'on voulait connaître la longueur du talus en vraie grandeur , on pourrait l'obtenir très facilement sur le tableau de la fig. 101 : si par la pensée on prolonge les longueurs des talus jusqu'à l'axe du profil en travers considéré , les longueurs des talus ont pour projections horizontales l^ ou l^ selon qu'il s'agit d'un talus de déblai ou de remblai ; on obtiendra ces longueurs sur les droites T' et T; on tient comptes des constantes en plaçant convenablement les origines T' et T.

§ 4. Tables diverses utiles aux calculs de terrassements?.

•ÎIO. Il [)eut être utile d'exposer d'une manière sommaire les différents sA'stèmes auxquels la méthode des coordonnées générales (181) nous a conduit d'une manière toute naturelle; c'est après la comparaison de tous ces systèmes que nous avons choisi le sj^stème du paragraphe précédent. Nous avons d'abord suivi les anciens errements et construit des tables pour les diverses surfaces partielles et totales que l'on rencontre ; il faut une table spéciale pour chaque cas lorsque l'on s'impose la condition de n'emploA^er que des droites d'égales cotes; pour chaque table il faut, lorsque l'on donne le gabarit , tracer une courbe qui en limite l'emploi , ou bien établir le tableau de M Lalanne (flg. 85) qui permet de déterminer a jjriori la nature du profil. Plus tard nous sommes parvenus à ramener les calculs à un système unique de formules, nous nous occu lierons exclusivement de ce système qui est :