OH = H, 0H' = -^, 0H
Il résulte de là que le lieu des points H est une demi-circonférence sur OE comme diamètre ; on prend OE = 2a égal à la l)lus grande hauteur que l'on pourra rencontrer , telle que OE = 25'".
Si, par exem['le, on veut approprier cette table à une surface de déblai, ou doit faire: H = h-hk^, I = T — ^ S^ = S — C^. Traçons une circonférence de rayon OK = ^^ , on porte h en KH , on prendra S^ à partir de l'axe â? = Cj ; on portera — î à partir du point C^ tel que CC^ = T.
On peut mettre l'équation S = — sous d'autres formes :
1/ S = — :z^, log. 2S = log. H. 4- log. I; chacune de ces
formes conduit à trois systèmes de tables ; si, par exemple , on
pose a; = log I , ]/ ^ log H , d'où 2 y -f- x = log 2 S , on obtient
le système des tables que M. Lalanne a construit en 1843.
176 INTEGRATION GRAPHIQUE.
TT
'î^ I . Tal»lcs des largeurs. — La formule / = — se représente de la même manière , mais plus facilement que la précédente :
(1) .T = I, ?/ = H, y = Ix ,
(2) X = l , y == H , y = Ix,
La forme log / = log H — log I conduit aussi à trois systèmes de tables.
^*J*Î. Tables des largeurs el des surfaces. — Pour obtenir une table donnant les largeurs et les surfaces, on peut utiliser les principes de l'élimination graphique. Dans
les formules S = H(J , / = -- il y a quatre variables H, I, /, S ;
on en choisit deux comme variables indépendantes , les deux autres sont des fonctions à repré.senter ; on obtient ainsi quatre systèmes de lignes : lignes des H , des I , des /, des S; connaissant deux variables , on trouvera les deux autres par la table.
Si nous prenons une table des surfaces quelconques, il suffira de tracer un système de ligne des l pour compléter la table; ainsi pour le système 2 du numéro 220 , on a :
1= -,, I=^,H = l/2^, d'oii 1="^,
les lignes des l sont des paraboles. De même si nous prenons une table des largeurs , il suffira de tracer les lignes des S pour la compléter; prenons, par exemple, le système 2 (221):
TT T ^ IR xy
X = l , î/ = H, y = Ix; onaS= — =:^;
donc les lignes des S sont des hyperboles xy = 2S ; nous avons choisi cet exemple parce qu'on retrouve ainsi le système des tables de Davaine légèrement modifié par M. Lalanne Les tables de Davaine s'appliquent aux surfaces de déblai et de remblai; supposons, par exemple, une surface de remblai;
INTEGRATION GRAPHIQUE. 177
on fera I = T+ i ; i)reuons pour ligue des I,y = ix, nous retrouverons les tables de Davaine d'une manière bien différente de celle qui a été employée par l'auteur. On a alors : x = l ,
TT
ij --= ix, la formule l = -.donne les lignes des H, y = R—Tx,
ce sont des droites parallèles. On trouve, pour les lignes des
S,S = x{y + Tx) ; ce sont des hyperboles.
Lorsque les formules sont laissées sous la forme S = — ,
= Y , il est impossible de représenter , d'après le système
qui nous occupe , les fonctions S et / sans faire usage d'un système de courbas difficiles à construire ; on ne peut éviter ces courbes qu'en utilisant la transformation logarithmique. On a alors :
log 2S = log H -I- log l log l = log H — log I.
En prenant au hasard deux logarithmes comme x ,y, on obtiendra un système de tables ; il y a donc 6 systèmes principaux de tables de ce système. Deux de ces systèmes ont été trouvés par M. Lalanne , en amorphosant les tables de Davaine; on les obtient aussi comme il suit :
1° .x- = log; ?/ = logH x-hy = \og2S y~x = \ogL 2° X = log2S y = logl î/ + î/ = 2logH y — x = 2log^.
'i'iS. Deiixièuie ««yslènie de tables des largeurs des siirlaces. — Si on représente les largeurs par l'un des systèmes du no 22 1 , on obtient une table qui se compose de lignes émergeant de l'origine ; or les tables des surfaces ont aussi cette disposition , donc une même table suffît pourvu que l'on change la graduation si l'on opère par nombres , ou les axes si l'on opère par ligues. Ainsi, par exemple, pour les systèmes :
x^ l y = îl y = îx les lignes convergentes restent les mêmes (fig. 91), les I, les S , les ^ se prennent ou se lisent de la même manière ;
178 INTEGRATION GRAPHIQUE.
mais il .v a deux axes pour porter les H , un axe ciiculaire
pour le calcul des surfaces , un axe rectiligne pour le calcul
des largeurs; c'est-à-dire que dans la fig. 91 , on obtient les
largeurs enH"B' (si 0H"= H) les surfaces en H'B (siOH = H).
Au lieu de représenter les fonctions S == — , / = y , on
peut aussi représenter les formules l ^ —-, S = -^ ; il en
résulte une nouvelle série de tables ; c'est dans cette série que nous avons trouvé la table du paragraphe précédent; dans les deux calculs ij = U, la hauteur ne se porte qu'une seule fois; c'est un avantage de cette disposition.
*i*î-l. Kêsuniê. — La méthode des coordonnées générales permet de trouver très naturellement un nombre très grand de tables de surfaces et de largeurs ; les unes sont nouvelles, d'autres sont connues. Les tables les plus élégantes, les plus ingénieuses sont celles que M . Lalanne a établies au moyen de l'anamorphose logarithmique ; elles ont cependant pour le but que nous promenons trois Inconvénients graves :
1° Pour chaque nouveau gabarit, elles exigent un travail de 168 heures ; 2° elles suppo.sent des côtes de déblai et de remblais calculées; 3<* elles donnent les surfaces en nombre. Les autres sj'stèmes n'ont pas ces inconvénients; le système que nous proposons a les avantages suivants :
1" La table peut être construite très rapidement ; 2* une seule table suffit ; 3° les cotes rouges ne doivent pas être calculées ; 4° les largeurs et les surfaces sont représentées par des lignes ; 5" on peut faire lithographier les tables générales , on les appropriera à un gabarit donné en très peu de temps.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 179
