CHAPITRE IV

Calcul des cubes et évaluation de la dépense.

§ l*"'. Calcul des cubes.

99^. Couipensatloii des déi>lai!>i «^( roniblaiM. — Soit A B I C K D E F G (fig. 1 00) la ligne obtenue en portant en ordonnées tes sections totales algébriques des profils en travei-^; les cubes de déblai et de remblai à effectuer hors profil sont représentés par les surfaces comprises entre cette ligne et l'axe des abstiisses : ces surfaces s'évalueront au moyen d'une Intégration graphique. Soit A,BiC,D,EiB\ l'intégrale obtenue en prenant AiX\ connue ligne de rei)ère ; pour qu'il y ait compensation des déblais et des remblais , il faut que l'intégrale totale des cubes soit égale à zéro, en d'auti-es termes qtie le point G, , extrémité de la ligne intégrale, tombe sur l'axe Aj Xi- Il est à remarquerque cette compensation ne doit pas être rigoureuse, car si on la réalisait exactement dans les calculs, en fait elle n'existerait pas, à cause de l'inexactitude des hypothèses admises. Dans la figure 97, il y a excès tlu tléblai sur le remblai et cet excès est re^H'ésenté par lordonnèe G,^, ; menons la droite A, G, et supposoas que la ligne intégrale soit rapportée à cette droite AjG, prise comme ligne de repère ; cette hyix)thèse revient à relever Taxe aùo d'une quantité constante égale à la dérivée de la ligne ÂjGj ; si cette quantité constante est plus petite que les erreurs que l'on peut commettre dans révaluation des surfaces de déblai et de remblai , il n'y aura aucun inconvénients à admettre cette hypothèse dont le résultat sera de réaliser une compensation mathématique.

Lorsque la difièrence entre les cubes de déblai et de remblai est trop considérable, il faut modifier le projet. Soit ABC (fig. 96) la partie du profil en long que l'on se propose de modifier de manière à augmenter l'excès du déblai sur le remblai d'un cube représenté par la droite C'C". Pour y

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arriver on remplace la ligne ABC du projet par la ligne AB'C; l'augmentation du déblai est le cube compris entre les surfaces ABC et AB'C ; c'est ce cube qui doit être représenté par C'C". Joignons A'C"; la dérivée MN de la droite A'C" donne la section moyenne du cube ABCB'A ; nous pouvons sans erreur sensible supposer que les sections transversales de ce cube aient une largeur constante , moyenne des longueurs effectives , que l'on déterminera aisément par aperçu ; dans cette hypothèse, MN représente la moitié de la section B B' ; de là on déduit la construction suivante : prenons M'N = 2M N , portons N P égal à la largeur moyenne du volume ABCB', joignons P M' la dérivée nm de la droite PM' donne la hauteur inconnue BB', ce qui détermine le profil AB'C qu'il faut adopter pour réaliser la compensation. Remarquons que dans la figure 96 , A'N est la base d'intégration adoptée pour la recherche des cubes , tandis que Vn est la base d'intégration adoptée pour le calcul des surfaces des profils en travers, PN étant porté à l'échelle de ces profils en travers.

Ayant déterminé le nouveau profil en long , il faut recommencer les calculs des profils modifiés ; mais il est facile de voir qu'il ne faut pas refaire entièrement ces calculs. Soit Ss (fig. 72) la surface du profil ACF^^c'; on veut obtenir la surface du profil A'C F' dV; il suflit évidemment d'ajouter à la surface connue , la surface comprise entre les deux lignes P^bdY et A'b'd'F'; cette surface est équivalente à un rectangle de hauteur bb' et de base I K facile à déterminer ; en projetant la hauteur de ce rectangle en OH, et en menant IK' parallèlement à PH on obtient en KK' la surface qu'il faut ajouter à Ss pour avoir la surface cherchée S S'.

*!*0. lloiiveuient des terres.— Reprenons la figure 100; la courbe intégrale AiBiCiDjEiFjGi donne le cube de déblai ou le cube de remblai compris entre deux sections transversales quelconques ; mais il est facile de reconnaître que cette courbe fournit également des données complètes sur le mouvement des terres. Aux points I, , K, , L^, M, où cette courbe coupe l'axe A, G, , il y a compensation partielle,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 181

de telle sorte que ces points divisent la route en plusieurs tronçons que Ton peut établir séparément sans devoir transporter des terres de l'un deux dans un autre. Considérons , par exemple, le premier tronçon A, Ij ; la distribution des terres la plus rationnelle est la suivante : on commencera par effectuer les terrassements aux environs du point de passage B; menons NN' parallèlement à l'axe A, G, ; entre les deux points N et N' il existe un cube de remblai , et un cube de déblai équivalent qui servira à l'effectuer; menons PP' parallèlement à NN';le cube de déblai compris entre les deux points N'P' viendra se placer sur le cube de remblai équivalent compris entre les deux points N et P ; si on divise le déblai I en tranches d'une manière quelconque, on pourra, de cette façon , déterminer l'emplacement que prendra chacune de ses tranches loi'sque le remblai I sera effectué. Ces considérations s'appliquent également au tronçon I, Kj dans lequel le déblai II servira à effectuer le remblai II' et ainsi de suite. Dans la figure 100, il y a un point de compensation partielle dans chaque déblai et chaque remblai , de telle sorte que dans chaque tronçon, il y a un seul cube de déblai séparé par un seul point de passage du cube de remblai équivalent ; cette dispoition doit être réalisée autant que possible afin de diminuer les distances de transport.

Dans la figure 99 , nous avons représenté une disposition différente ; le tronçon I M comprend deux volumes de déblai et deux volumes de remblai séparés entre eux par trois points de passage ; dans ce cas , le mouvement des terres peut être eff"ectué de plusieurs manières. Menons arbitrairement la droite NiR,, parallèlement à l'axe IjM, et rapportons les points d'intersections Nj P, Q, R, de cette droite avec l'intégrale, sur les points correspondants N P Q R de la ligne des surfaces. On pourra effectuer les terrassements dans l'ordre suivant : II en II , III en III , IV en IV, puis après V en V. En déplaçant la ligne Ni R, , on obtient une infinité de solutions;-si cette ligne se déplace depuis la tangente en I), jusqu'à la tangente en E, , le volume III varie de zéro à sa valeur maxima; le volume IV diminue depuis sa valeur

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maxima jusqu'à zéro. Au point de vue du coût des transports, la solution la plus économique est celle pour laquelle le volume III est nul. En effet , le volume III est transporté de droite vers gauche; plus tard, le volume V est transporté d3 gauche vers droite en passant par le même point D ; il y a là un transport inutile que Ion peut supprimer. Dans le tronçon I D , il y a un excès de déblai représenté par l'ordonnée Dji^,; on peut se borner à faire passer ce volume par la section D, au lieu de faire passer III en sens contraire par le point D , pour faire passer ensuite par le même point III 4- D, rf,. Toutefois , si le transport est rendu ainsi le plus économique, nous verrons plus tard qu'en tenant compte des temps d'arrêt des appareils , il peut être moins coûteux de donner au volume III une certaine importance.

*i''i7 . Tracé graphique do l^iiitégrale des cubes. — Soit 0 12 3 4.... (fig. 102) le polygone qui représente la loi de variation des sections totales y compris les sections des fossés lorsqu'ils existent; nous avons représenté (fig. 103) les opérations graphiques à faire pour obtenir la courbe intégrale des cubes ; la figure suffit pour montrer la méthode employée qui est la méthode du polygone circonscrit (36). Pour rendre l'épure plus claire, on adopte plusieurs diagrammes. La courbe intégrale est formée d'arcs paraboliques déterminés par leurs tangentes extrêmes; il est, en général, inutile de tracer ces arcs de parabole , sauf toutefois pour trouver les points I,, K, , où il y a compensation partielle. Pour déterminer l'un de ces points, on trace l'are parabolique à vue , l'abscisse du point d'intersection que l'on trouve est inexacte; on cherche le point de la courbe intégrale ayant cette abscisse ; si ce point est très rapproché de l'axe de repère, on mène la tangente en ce point et l'on détermine le point cherché en remplaçant la courbe par cette tangente; si l'erreur est plus forte, on trace la courbe aux environs du point cherché, on obtient un nouveau point plus rapproché, puis on applique la méthode précédente.

^!Î8. Foîsoiinciiient et tassement. — Lorsque l'on effec^ tue un déblai, il arrive presque toujours que les terres, après

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l'auieublissement, ont un volume plus grand que dans leur position primitive : ce phénomène est le foisonnement. Si I) est le volume de déblai à effectuer, on devra transporter un volume plus grand mï). Inversement quand les terres sont déposées en remblai, elles se tassent, leur volume diminue; et pour effectuer un remblai R , il faut transporter un volume nR. La compensation des déblais et des remblais s'exprime par mJ) = nR. On tiendra compte des coefficients m et n, en remplaçant la base d'intégration / calculée pour

m = n-= l, par — pour les déblais, par — pour les remblais. § 2. Évaluation du coût des terrassements.

A. Tronçon où les terres se déplacent dans le même sens, au moyen dun même appareil.

*^*îO. Prix lia trani«|»orl. — Le prix du transport d'un mètre cube de terres, abstraction faite de la fouille, du chargement et des temps d'arrêt de l'appareil, est donné par la formule connue

a étant le prix de la journée de l'appareil, y compris moteur

et conducteur , D , la distance de transport , c, la capacité de l'appareil , L , le chemin décrit en une journée par l'appareil marchant

continuellement.

Cette formule peut aussi se mettre sous la forme

p = ttD ,

TT désignant le prix du mètre cube transporté à un mètre de distance.

Soit (fig. 100) un volume de déblai représenté par la surface I^'B , à transporter sur le volume de remblai ABa; soit dv un élément du volume de déblai, —dv le volume de remblai exécuté par ce déblai. Nous supposons que tous les

184 INTEGRATION GRAPHIQUE.

traospoi ts se font liorizoulalemenl , la pente étant i)i'es(jue toujours négligeable. Soit x la distance horizontale des éléments dv et —dv; le transport de l'élément dv coûte

77 dv X.

Attribuons à l'élément di' un coefficient n ou si nous voulons un poids spécifique r. (en francs); à ce point de vue et en c(>usidérant les déblais comme positifs et les remblais comme négatifs , les poids des éléments M et M' constituent un couple dont le moment t: dv x est précisément le prix du transport du petit volume considéré; comme le prix du transport est toujours positif, le moment r c^ y ;r sera toujours affecté du signe plus, quel que soit le sens du couple; on obtiendra le coût de tous les transports effectués sur une route, en faisant la somme des valeurs absolues des moments des couples élémentaires.

Dans le tronçon AI les terres se déplacent toutes de droite vers gauche , tous les couples élémentaires ont même sens , donc le prix des transports , qui est égal à la somme des valeurs absolues des moments de ces couples élémentaires , est aussi égal à la valeur absolue du moment du couple résultant; les poids T.dv se composent en un poids résultant ttV appUqué au centre de gravité de la surface «AB ; les poids — T.dv se composent en un poids — - V appliqué au centre de gravité de la surface BI<; ; le coût du transport du volume V est le moment du couple formé par ces deux poids , c'est ti VX , X étant la distance horizontale des centres de gravité de ces deux surfaces. Il résulte de là que la dépense est la même que si le volume V avait été transporté à une distance constante X; cette distance est appelée pour ce motif la distance moyenne de transport. SoitA.2B.L2C2... rintégrale seconde de la ligne ABIC...; on sait (111) que les tangentes en A^ et Bj se coupent sur la verticale du centre de gravité de la surface ABrtf, que les tangentes en BJj se coupent sur la verticale du centre de gravité de la surface BI/; la distance entre ces deux verticales est la distance cherchée de X. On pourrait calculer le coût du transport au moyen de cette distance X , mais nous allons montrer que ce calcul est inutile et que

INTEGRATION GRAPHIQUE. 185

l'intégrale seconde la^'j représente ce coût à une certaine échelle.

Le prix du transport du volume V est P = f -clvx; soient

x\ x" les distances des éléments dv et —dv à la droite li ; on a : i: .-r = x' — x" (on prendra le signe plus quand les terres se déplaceront de gauche vers droite, le signe moins dans le cas contraire); on en déduit :

zb I dvx = I dvx' + l{ — dr)x".

Le second nombre de cette équation est précisément le moment du premier ordre des surfaces ABa et Bli , par rapport à la droite li; on sait (109) que l'intégrale seconde est aussi la ligne des moments du premier degré , donc

fd rx' -h f{—dv) x" = ± I2 ?'2 ,

l'équation précédente devient ± / dvx = ± I.2/.2' tlûù / drx = L'î ; on a donc :

En prenan* une base d'intégration convenable, L^/^ représentera le prix P à une échelle déterminée. On a aussi J^t^ = Surface A,B,I, = S, donc P = ttS.

Les trois valeurs de P: P= 7tVX = -S = rlj/^, supposent que les transports s'effectuent au moyen d'un même véhicule, mais la distribution des terres est quelconque et peut différer de celle que nous avons décrite au n" 226. Ainsi une partie des terres voisines du point de pas.sage pourraient être transportées en a; si d'autres terres viennent se placer près du point de passage, le coût du transport sera toujours le même. Lorsque l'on adopte la distribution la plus rationnelle (226), on peut vérifier très simplement la formule P = -S; en effet , les terres comprises entre les points P et N viennent se placer en P'N'; le volume dv de ces terres est représenté par la distance entre les droites NN' et PP', le prix du trans-

186 INTEGRATION GRAPHIQUE.

port est t: cl v x = t. surface N N' P' N ; donc le coût total est 7:S.

On peut remarquer que les formules précédentes sont encore applicables au cas d'un tronçon où il y a plusieurs points de passage, tel que le tronçon IM (flg. 99), pourvu que les terres soient transportées dans le même sens, le volume III (226) étant réduit à zéro ; en effet , tous les couples élémentaires ont même sens et la somme des valeurs absolues des moments de ces couples peut s'obtenir en prenant la valeur absolue du moment du couple résultant : les démonstrations précédentes sont encore applicables. Il faut remarquer toutefois que pour composer les poids + r.dv, il faut chercher le centre de gravité des volumes de déblai réunis et que pour composer le poids — r.dv, il faut chercher le centre de gravité des volumes de remblai réunis. On obtient aussi le coût du transport par une seconde intégration; mais l'intégrale seconde ne donne directement la distance moyenne de transport que si on intègre ensemble les parties de l'intégrale seconde qui correspondent au déblai et au remblai; cette précaution est inutile, lorsque l'on calcule la dépense sans se servir de la distance moyenne de transport en multipliant l'intégrale seconde par -. Lorsque les terres se déplacent dans deux sens différents , les formules précédentes ne sont plus applicables; car, dans ce cas, les couples élémentaires ont des sens différents et le moment du couple résultant que l'on obtiendrait par les formules précédentes n'est plus égal au prix total , mais à la somme algébrique des prix élémentaii'es , en considérant les transports qui s'effectuent dans un sens comme ayant un coût positif et les autres comme ayant un coût négatif. Ainsi dans le cas de la fig. 99 , on ferait en mulipiiant l'intégrale seconde par -, une erreur égale au double du prix du transport du volume III; la formule P = rS est sujette à la même erreur, les transports "des volumes II , III , lY tt V coûtent respectivement TirSurfaceNiC,?!, - Surface P,D,Q, , -Surface Q,E,R, , - Surface IjNjRjM, ; on trouve P = 7-(S -f 2P,T),Q,j.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 187

d30. Temps perdus. — En établissant la formule p = ttD, on n'évalue que le coût du transport proprement dit ; il faut encore tenir compte des temps perdus au chargement et au déchargement et appelant a la dépense qui en résulte par mètre cube , on a : p = a -f- - D , formule que l'on peut mettre aussi sous la forme p = - (D -f c?) ; rf est la distance qu'il faut ajouter à la distance de transport pour tenir compte des temps perdus. On peut représenter cette formule en portant D en abscisse, p en ordonnée; on obtient une ligne droite pour chaque appareil; a et — d sont les coordonnées à l'origine.

Nous avons représenté (fig. 97j les valeurs suivantes de^; (1) :

( 1 ) Les éléments qui ont servi à établir ces formules sont les suivantes :

1 2aD

10 Brouette , c = — , L = 30000 , a = 2^,50 , p = -t^j~= 0,0045 D, les

temps perdus sont négligeables; 2° camion, c = 0,20, L = 30000,

2« a (3 hommes )= 7^,50 , 7:=--:-= 0,0025, pendant le déchargementetla

mise eu train, le camion parcourrait 80™, cela équivaut à une augmentation de 40"^ dans la distance de transport, d'où p = 0,0025 (D-J-40);

30 tombereau, c = 0,50, L = 3000 , a = 9f, n =z -~ = 0,0012. Le

temps pex'du au déchargement est 0^^"''s,033; pendant ce temps l'appareil parcourrait 0,033 X 3000 = 100™, ce qui équivaut à augmenter la distance de transport de 50=^^ Un chargeur charge 15'"' en un jour sur une brouette; suruc tombereau.il charge seulement 12™'; comme 3 chargeurs

peuvent travailler simultanément, la durée du chargement est — '- ;

, . 1 0,50 il faut pour ce motif ajouter une distance de transport égale a — • —

X 30000 = 208™. Comme le conducteur travaille avec les chargeurs , on charge par journée 3 fois 12™' = 36 , soit 6™' de plus; il en résulte un bénéfice qui conduit à retrancher 12™ à la distance de transport. Ou a donc d = 50 -{-208 — 12, soil environ (i= 250™; 4° wagons, 9 wagons de 2"'^ sont traînés jiar 3 chevaux et un conducteur ; le wagon dure deux ans, coûte 750 fr. , circule pendant 250 journées, le wagon coûte par journée 3 fr. ; il fait majorer ce prix de 20 pour cent pour tenir compte des wagons

188 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Brouette ;?--- 0,0045 D d = 0 ligne OA

Camion p = 0,10 + 0,0025 D f/--40™ ligne AD Tombereau 2? = 0,30 4- 0,0012 D rf = 250'" ligne BC

Wagons j^ = 0,39 + 0,0016D-[-^|^ lignes DE, DE'...

Dans la dernière formule , ou a tenu compte de la dépense

due à rétablissement de la voie provisoire, qui s'exprime par

4 L , L étant la longueur totale des voies ; si on admet L= 3D,

si Y est le volume à transporter , on obtient par mètre cube

12 D une dépense supplémentaire égale à ; la valeurde p est,

dans ce cas, une fonction de deux variables , que l'on représente par un système de droites , chaque droite correspondant à une valeur du volume V. L'axe des V est parallèle à la droite DEo qui correspondant à V =- co , car si Ion fait

= une constante, soit 0,12, on a D = — — , on obtient très

facilement un point de chaque droite sur Taxe OV. Cette représentation graphique permet de déterminer l'appareil le plus économique; pour les petits volumes le polygone OABC donne le prix minimum pour chaque distance ; le wagon ne devient économique que pour un volume considérable.

Nous avons trouvé que le coût du transport d'un volume V (fig. 100) était donné par les formules

en réparation, on trouve fr. 3-60 ; on fera donc « =: 20f -|- 9 fois .3 60 ; on

2 a a.lopteL = 36000, C=18™% d'où t = —r- = 0,00016. Le déchargement

coûte fr. 0 OSparmètre cube; le chargement coûte 0-22deplusquepar tout

autre appareil : cunette 0-04, transport en brouette 0-04. les chargeurs

ne chargent que 10™' au lieu de 15 , soit 0-10 de dépense supplémentaire ;

l'arrêt des wagons coûte ^ , X -^^ = 0,09 ; on trouve

INTEGRATION GRAPHIQUE. 189

Pour tenir compte des temps perdus, on ajoutera une distance supplémentaire cl , et l'on aura :

Q = ttV (X + rf) = t:(S + Vrf) = t: (L22 + Vrf). Lorsqu'on se sert de la surface S , on voit qu'il y faut ajouter un rectangle Bi^^iWiUj de hauteur V, de base f?; si on se sert de l'intégrale seconde, on doit ajouter l'intégrale relative au rectangle dont il s'agit qui est V^u^ et l'on a :

Quand le transport se fera au wagon , on donnera à t: la valeur r. = 0,00016, mais on ajoutera la dépense due à l'établissement de la voie qui 4L = 12D.

B. Coût total des transports. — Évaluation approchée.

531 . Ppomière inéfliode. — On trace (fig. 100) l'intégrale seconde k^ Bj C^... de la ligne des surfaces ÀBIK...; pour chacun des tronçons AI, IK... on fait choix d'un appareil. Nous savons que le véhicule qui correspond à la dépense minimum dépend de la distance de transport ; si on s'impose comme règle d'emploj'er pour chaque distance le véhicule le plus économique , on est conduit à employer plusieurs appareils pour le transport d'un même volume de déblai ; le calcul exact du prix des terrassements dans cette hypothèse est un calcul assez laborieux que nous exposerons plus loin ; d'habitude , on effectue les calculs en admettant un appareil unique choisi d'après la distance moyenne de transport, laissant à l'entrepreneur le soin d'effectuer sur cette évaluation certaines économies par un choix rationnel des véhicules. L'appareil étant choisi pour chaque tronçon , on évaluera la dépense pour chaque tronçon en appliquant la méthode précédente; ainsi pour le tronçon AI, la dépense est 77 {\iii-\-\5.iiii) = T.{l^i^). La multiplication par r. s'opère graphiquement comme il est indiqué sur la figure.

53'^. Deuxième méthode. — Cette multiplication peut être évitée de la manière suivante. Par l'inspection des surfaces qui représentent les cubes à transporter , ou mieux

190 INTEGRATION GRAPHIQUE.

encore par rinspection de l'intégrale de ces surfaces, on peut déterminer la distance de transport X ou — - assez exactement pour faire choix d'un appareil; alors on adopte une base d'intégration (55) telle que Ton obtienne immédiatement la dépense ttS; si pour chaque tronçon, on emploie la base d'intégration qui correspond au véhicule employé, les ordonnées I2 ii, M2 m^,... représenteront les prix des transports, abstraction faite des tem[)s perdus. L'ordonnée extrême ne représente cependant pas le coût total des transports, parce que cette ordonnée n'est pas la somme arithmétique des longueurs I^^j, ^Um^,... mais leur somme algébrique; pour que l'ordonnée extrême de l'intégrale seconde représente le coût total des transports,- il suffit de changer le signe de l'intégrale seconde pour chaque tronçon où cette intégrale est négative ; ce changement de signe s'obtient en changeant le sens de la base d'intégration : ainsi OH donne l'inchnaison en Bj- O'H donne l'inclinaison au même point de l'intégrale changée de signe. Pour tenir compte des temps perdus , il suffit d'introduire dans l'intégration un rectangle supplémentaire Yd pour chaque tronçon.

9ââ. Ti'àcfês graishiqifès. — Nous avons appliqué cette méthode à la figure 1 02 ; là figure 103 donne l'intégrale première; elle se eôÉûpose d'ârcs paraboliques déterminés par leurs tangentes extrêines; pour effectuer Une seconde ihtégraticiiJ, on applique la méthode du numéro 113; on obtieht un polygone circoùsci-it à l'intégrale secoùde. Avant d'effectuer cette intégration , on reconnaît qiie les points î,, K, divisent la route en trois tronçons , le premier s'exécutant au tomisereau , les deux autres aii camion. Les bases d'intégration sont déterminées graphiquement de la manièi-e suivante : on trace un rectangle A B C D représentant un transport dont le prix soit facile à évaluer: V = AB = 500™^ D = A D = 800'" ; au tombereau 7- VD est égal à 0,0012 x 500 X 800 = 48 francs; on porte DE = 48 francs, AE doit être l'intégrale de BC, on mène CP parallèlement à AE , PD est la base d'intégration relative au transport par tombereau.

On trouve de même la base d'intégration P'D relative au transport par camion. Ces bases d'intégration sont portées dans un sens convenable pour que les prix des transports s'ajoutent ; chaque fois que le prix augmente de 100 francs , on abaisse l'intégrale seconde de la hauteur qui représente cette somme , de cette manière l'épure reste comprise dans des limites convenables. La figure indique sufîisammeut les constructions employées ainsi que la manière dont il a été tenu compte des temps perdus.