OB ^ OD

•ri -h' ~ h'" — Yi'

On a donc :

On tire de là :

w {h'-h'") = Llih'-r,) (ù' ih'"- h') = 9.{h"' — r,) co7i'+w"/i" = i2y;.

Les valeurs des quatre forces à composer deviennent : 9 O

Si on examine les valeurs de F, F', F", F'", on s'aperçoit

que si la pression était uniforme et égale a -j-, les premiers

termes resteraient les mêmes , les seconds termes s'annuleraient ; donc les premiers termes représentent quatre forces nui se' composent en une force unique égale au poids d'un

prisme de base Û et de hauteur^; ce poids — 1/^ est

appliqué au centre de gravité du quadrilatère. Il reste alors à composer cette force avec quatre forces appliquées aux sommets et représentées par les seconds termes. Supprimons dans l'expression de ces cinq forces le facteur commun 0 , on est ramené à composer les forces suivantes :

?dL au centre de gravité du quadrilatère ;

^'' ^ "^ ~ ^ .'' ~ ^' aux quatre som-

mets du quadrilatère.

Autre construction. — Ou peut aussi obtenir le centre

Ih ,.

de pression en composant deux forces : 1° une force — appliquée au centre des pressions /?, W, h", h'", rapprochées du centre de gravité du quadrilatère de manière à ce que leurs distances à ce centre soient le quart de leurs valeurs primitives ; 2" une force ^^ au centre des moyennes distances des

quatre sommets du quadrilatère.

En effet, reprenons le résultat précédent et composons les

forces — —,-, — , — d'une part, et les forces -— ,

244 INTEGRATION GRAPHIQUE.

d'autre part. Les l'orces -- , —, —, — douneiit une résultante Y^ que Ton compose avec — en divisant la droite qui

joint leurs centres en quatre parties égales ; on doit ainsi rapprocher le centre des pressions h , h\ h", h'" du centre de gravité, de telle manière que la distance de ces deux points soit quatre fois plus petite que la distance primitive; on arrive au même résultat en rapprochant les pressions h, h', h", h"' dans le même rapport avant de les composer ; la résultante appliquée au point que Ton obtient ainsi a pour valeur

Ih Ih là — r,

\- -— = -7—- Les quatre ibrces —^ aux 4 sommets se

composent en une force — -^ appliquée au centre des moyennes distances des 4 sommets. Il reste à composer les forces

— et — — ^ , ce qu'il fallait démontrer.

'i79. Iles »ieclion<!i «lVgali> înerlîe. — Si ou transforme une section en une autre de même .surface (ou de mèmema.s.se) et de même ellip.se centrale d'inertie , les relations entre les pressions résultantes et les pressions en chaque point ne seront pas changées ; ces sections peuvent être appelées sections d'égale inertie, car on reconnaît aisément que les moments d'inertie autour d'uD axe quelconque sont égaux. Si pour trois axes neutres, les centres de pression sont les mêmes pour deux surfaces équivalentes ou de même masse, ces surfaces sont d'égale inertie; en effet, il résulte du problème du numéro 267 que tous les autres centres de pression et le centre de gravité coïncident pour ces deux surfaces. Pour une même loi de pression , la pression moyenne est la même et par suite la pression totale qui est égale à la pression moyenne multi[>liée parla surface ou la masse, est aussi la même et appli(iuée au même point pour les deux sections. Il résulte de là que quelque compliquée que soit la forme de la surface pressée, on peut toujours y substituer une forme plus simple pour déterminer les relations entre les axes

INTEGRATION GRAPHIQUE. 245

neutres et les centres de pression. Nous allons donner deux exemples de cette transformation.

l^'' exemple. — Transformation d'une section en trois points. Soient (fig. 130) a le pôle de la droite bc ; h un point quelconque cette droite , crt sa polaire ; alors ah sera aussi la polaire de c ; le triangle possède alors la propriété d'être lui-même sa figure réciproque : ce triangle est dit autopolaire. Considérons la section w comme une section matérielle de densité 1 ; décomposons la masse w en 3 masses w', a»", w'" appliquées en a, h, c de telle manière que le centre de gravité ne soit pas déplacé; il est facile de voir que nous aurons ainsi transformé la surface en 3 points de même inertie. En effet, pour chacun des axes al), bc , ca , les centres de pression sont évidemment conservés. Si on demande le centre de pression pour une loi de pression qui donne li' h" h'" aux points a,J),c., on considérera 3 axes neutres l)C,ca,ab oX respectivement les pressions h\ h", h'" sur les sommets opposés ; on obtiendra trois forces co' h' , w" h" , w'" h'"; en composant ces trois forces , on obtiendra la pression résultante demandée. Réciproquement si on donne cette pression résultante , on la décompose en trois forces P', P", P'" appliquées en a,b,c; la première produit une pression h' en a donnée

P' par la formule P' = o)'h' ; d'où /?' = — r ; de même les deux

pu prr»

autres produisent en b et en c des pressions /<"= —-,/i"'= — rr ;

w" co'"

en superposant ces lois de pression , on obtient les pressions

cherchées.

Si le triangle autopolaire est choisi de telle manière que

le centre de gravité 0 de la surface soit aussi le centre de

gravité du triangle, les masses w' m" w'" sont égales à-p-;les

forces à composer sont proportionnelles aux pressions/i',^",^i"'. Pour obtenir un pareil triangle, on commencera par déterminer le pôle A d'une droite BC telle que AO = 20 I; on obtient A 0 et 01 par les équations :

AO X 01 = ao X 01 = 0^

246 INTEGRATION GRAPHIQUE.

p étant le rayon de l'ellipse centrale d'inertie dirigé suivant OA; si ona AO = 201, on tire

AO = p \/2", 01 = -^

La valeur de AO montre que le triangle est inscrit dans une ellipse semblable et concentrique à l'ellipse centrale d'inertie ; la valeur de 01 montre que ce triangle est circonscrit à une autre ellipse semblable et concentrique aux deux précédentes. Ces trois ellipses peuvent être considérées comme les projections de trois circonférences concentriques

de rayons «, a \^2, — ^r, « désignant le demi-axe de l'ellipse l/'2

centrale d'inertie. Le triangle dont il s'agit est la projection d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon «\/2

et circonscrit au cercle de rayon —3:.

Deuxième exemple. — Transformation en un triangle. 11 s'agit de déterminer (fîg. 131) un triangle ABC dont le réciproque a, h, c ait pour sommets les milieux des médianes du premier triangle. Si on attribue à ce triangle la même masse co qu'à la surface donnée , le triangle sera un triangle de même inertie que la surface donnée. En effet pour les trois axes neutres AB , BC, CA, les centres de pression sont conservés. On doit avoir :

«OxOI = p% «0 = ^,

d'où : 01 = p V2 , AO = 2 p 1/2.

En raisonnant comme précédemment, on reconnaît que le triangle cherché est la projection d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon 2a V2, l'ellipse centrale d'inertifî étant la projection d'une circonférence de raj^on a concentrique au précédent.

INTEGRATION GRAPfflQUE. 247

§ 4. Digression sur quelques centres de gravité,

'580. Tronc de prisme ou «le cylindre. — On sait que le plan diamétral dïin volume homogène contient le centre de gravité de ce volume; or, dans un tronc de cjiindre les deux plans de troncature forment une surface du second degré ayant un plan diamétral passant par l'intersection des deux plans (ou peut démontrer géométriquement cotte propriété). Ce plan diamétral détermine dans le cylindre une section médiane; sur un élément f^-o, on peut construire un filet cylindrique droit ou oblique , le poids de ce cylindre peut être assimilé à une pression exercée sur l'élément rfco; cette pression est évidemment l'ordonnée d'un plan ; elle est généralement oblique, mais on peut la rendre normale sans changer le centre de gravité qui devient alors le centre de pression conjugué à l'intersection des plans de troncature par rapport à la section médiane.

Tout ce que nous avons dit des centres de pression s'applique à la recherche du centre de gravité d'un tronc de cylindre. Lorsqu'il s'agit simplement d'obtenir la génératrice passant par le centre de gravité , alors il est inutile de considérer la section médiane ; on peut effectuer les constructions dans une des troncatures ou même dans une section quelconque; lorsque cette section contient l'intersection des plans de troncature , cette intersection est l'axe neutre, sinon c'est "la projection de cette intersection par un plan projetant larallèle aux génératrices. Ce qui précède s'applique aussi au centre de gravité de la surface cylindrique ou prismatique et même dans le cas du prisme au centre de gravité des arêtes : dans le premier cas , la section que l'on doit considérer est le contour ou le périmètre de la section médiane ; dans le second cas c'est un système de points de même masse.

^8B. Surface on volume de révolution. — Considérons le volume engendré par une surface située dans un plan qui tourne autour d'un axe de révolution ; le volume élémen-

248 INTEGRATION GRAPHIQUE.

taire engendré par une rotation angulaire rf0, peut être assimilé à un tronc de cylindre; ce volume est r.rsids , si t: est le poids spécifique , w la section , cls\e chemin décrit par le centre de gravité de la section ; le centre de gravité de ce volume élémentaire est le centre de pression conjugué à l'axe de révolution pris comme axe neutre; on peut considérer le poids du volume élémentaire comme le poids de l'arc élémentaire ris' décrit par ce centre de pression, en attribuant à cet arc un certain poids spécifique r' ; soient Xi , Xi les distances du centre de gravité et du centre de pression de la section à l'axe de révolution, R le rayon de gyration de la section autour de l'axe de révolution, k le rayon de gyration autour d'un axe mené par le centre de gravité de la section parallèlement à l'axe de révolution ; on a :

T.<j)dS = -'ri5' ,

ds Xt

do Ju^

d'où -==;:c,£l.

On a aussi x^, Xi=^R^ = k^ + x^^ ; la valeur de r' devient :

Il résulte de là que le centre de gravité du volume engendré par la rotation d'une section plane autour d'un axe situé dans son plan, est identique avec le centre de gravité de l'arc décrit parle centredepressionconjuguéàraxede révolution.

Le même raisonnement s'applique au centre de gravité de la surface de révolution engendrée par une courbe située dans un plan qui tourne autour d"uu axe de ce plan ; mais alors le centre de pression doit être déterminé en considérant la courbe et non la surface qu'elle limite.

tî8^. Troncs de prismes particuliers. — On obtiendra le centre de gravité des troncs de prismes à base triangle , rectangle, trapèze, quadrilatère, poh'gone, au moyen des

INTEGRATION GRAPHIQUE. 249

constructions précédentes (270 à 274); ces constructions doivent être faites dans la section diamétrale. On peut aussi ramener la question à la composition de certaines forces (275 à 279) ; on arrive aux énoncés suivants :

Le centre de gravité d'un prisme triangulaire est le centre de gravité des arêtes parallèles transportées au milieu des médianes de la section diamétrale.

Le centre de gravité d'un tronc de parallélipipède est le centre de gravité des arêtes parallèles transportées au tiers des diagonales de la section diamétrale ( 1 ).

Si l'on mène deux plans à égale distance des faces parallèles d'un tronc de parallélipipède, si l'on cherche les centres de gravité des sections faites par ces deux plans, si par ces l)oints on mène dans la section diamétrale des parallèles à ces deux plans , ces parallèles se coupent au centre de gravité du parallélipipède. Cette règle se déduit immédiatement du tracé du numéro 266, 3°.

Si h , h', h", h'" sont les arêtes d'un tronc de prisme à 4 faces , si tj est la parallèle aux arêtes qui joint les points de rencontre des diagonales des faces de troncatures, on obtient le centre de gravité du tronc de prisme en composant une force 1 —- appliquée au centre de gravité de la sec-

tion diamétrale avec les forces '■ ■ '- .

appliquées au sommet de cette section. On obtient aussi ce

centre de gravité en appliquant le poids 2 -—au centre de

gravité des arêtes , rapprochées au préalable du centre de gravité de la section diamétrale, de manière à ce que leurs distances à ce centre soit le quart de leurs valeurs primitives;

on compose ce poids avec la force — -— appliquée au centre

(1) Voyez une note de M. IMister sur le centre de gravité du tronc de prisme triangulaire et du parallélipipède tronqué ( Mathésis , juin 1884).

des moyennes distances des sommets de la section diamétrale ; le centre de ces deux forces est le centre de gravité cherché.

383. Trapèze. — On sait que dans le cas d'un joint rectangulaire (245) la })ression totale est le poids d'un trapèze à base verticale ; en ai)[)liquaut le théorème du numéro 254, on arrive à 12 constructions très élégantes qui déterminent la verticale du centre de gravité d'un pareil trapèze. Soient (fig. 132) le trapèze ABB'A'; C, D les points qui divisent A B en trois parties égales ; E le milieu de A B. A l'axe neutre A correspond le centre D , à l'axe neutre B correspond le centre C; joignons A'C et B'D; ces droites se coupent sur le poids résultant du trapèze ; on retrouve ainsi une construction que nous avons déjà trouvéeautrement (115). Mais on sait que le centre de pression et l'axe neutre sont réciproques; si, par exemple, nous prenons D comme axe neutre , A est le centre de pression, les droites D'C et B'A se coupent sur le poids résultant. De même si on prend A et C comme axes neutres , on obtient les droites A' B et C D ; si on prend C et D comme axes neutres, on obtient les droites AC et BD'; en résumé, la considération des centres C et D nous fournit quatre systèmes de droites se coupant sur le poids résultant. Si nous supposons l'axe neutre à l'infini, le centre de pression est le point milieu E de AB; en raisonnant sur les centres E et D comme nous l'avons fait sur les centres C et D, on trouve aussi quatre systèmes de droites; si X est le conjugué du point p] , c'est-à-dire le point de AB situé à l'infini, si X' est le point de A'B' situé à l'infini, ces quatre systèmes de droites sont :

X'DetA'E, E'DetA'X, D'EetX'A, E'A et E'X. Enfin la considération des points C et E donnent les systèmes :

X'CetB'E, E'CetB'X, C'EetX'B, E'B et C'X.

Pour obtenir le centre de gravité d'un trapèze quelconque, on choisit une verticale conventionnelle parallèle aux bases , on applique l'une des douze constructions qui précèdent , on

INTEGRATION GRAPHIQUE. 251

obtient une droite que coupe la droite qui joint les milieux des bases du trapèze au centre de gravité cherché.

;S$4. Volume eosiipris onlrc doux B>ai^c<>i parallèles. —

Prenons un plan des yz parallèle aux bases et proposons-nous de chercher l'abscisse du centre de gravité du volume donné. Soit ad l'axe des œ, la section transversale du volume par un plan parallèle aux bases à une surface m qui s'exprime par une certaine fonction de x; on peut représenter (flg. 133) cette fonction par une courbe AED tracée dans un plan quelconque mené par l'axe des œ ; il est facile de voir que l'abscisse du centre de gravité cherché est aussi l'abscisse du centre de gravité de la surface KBba. En effet , la formule générale qui donne l'abscisse du centre de gravité d'un corps est :

fdpœ

S dp

si on considère deux sections x ei x + dx , on trouve dans le volume et dans la surlace deux poids élémentaires égaux ou proportionnels ; la valeur de J7, est la même dans les deux cas. Lorsque la surface w s'exprime par une fonction entière de X , on peut trouver graphiquement l'abscisse Xi par une double intégration exacte ; dans les autres cas , on en emploie une construction approximative. Il est utile de considérer les deux cas particuliers suivants.

Cas particuliers . — 1° w est une fouctiondu premier degré. On est ramené à déterminer l'abscisse du centre de gravité d'un trapèze AD«rf; ou l'obtient par l'une des constructions du numéro précédent.

2" co est une fonction du second degré. La courbe AED est une parabole que l'on détermine par trois points ; il suffit pour cela de déterminer les deux bases coq, Wj et la section cû, à égale distance des bases, et de porter :

coo = A« , wj = E^ , «2 = Vfd. On obtient les tangentes extrêmes AB et DB en utilisant une propriété de la parabole; soit C le milieu de AB, on prend E B = E C. On peut alors effectuer deux intégrations graphiques successives par la méthode générale (69).

On peut aussi déduire de là certaines constructions particulières ; si dans la première intégration , on prend — -—

comme base d'intégration, on obtient A'B'C'D' comme première intégrale; si on projette les points A', B', C, D' en o.\ f^', y, ô' sur l'axe du diagramme des inclinaisons de l'intégrale seconde, on reconnaît facilement que :

Prenons comme base de la seconde intégration et

choisissons le pôle P' sur une perpendiculaire élevée sur le milieu de (3' -/' , on obtient A" a (3" y D" comme intégrale. En effet les directions P' (3' et P' y' sont par constructions symétriques par rapport à P'O' ; menons le premier côté A" a par le point a ; le second côté a j3" doit être parallèle à P (3' ; il est facile de voir que le troisième côté coïncidera avec |3" y , car si les angles j3 y. (3" et /3' P 0 sont égaux , il en est de même de leurs symétriques (3 y (3" et 0' P' y', ce qui exige que les droites (3" y et P'' y' sont parallèles. De ce que F'0' = ax = y d, on tire :

A" a = O'a' = Aa + -^, D" f/ = 0' o'' = D d + -^.

De là résulte la construction suivante :

R fi Portons A A" = D D" = —^ , joignons A" et D" aux points

a et y qui divisent ad en quatre parties égales, les droites A" a et D'' y se coupent en un point qui a même abscisse que le centre de gravité cherché.

On peut aussi déduire de ce qui précède le théorème suivant : l'abscisse du centre de gravité du volume donné est la même :

1° One celle du cenlre des trois forces : Woena, co'=B(3en|3, w^eny; 2° " " " " : WoOna, 4w, enj3, w^encl;

3" Que celle de deux forces : -^ + w, en « , -^ + coj eu d.

t]n effet, le polygone A"ai3"yD" peut être considéré comme la ligne des résultantes auxiliaires de trois forces :

INTEGRATION GRAPHIQUE. 253

et! (3' = coq , B' 7' = &y , y' 0' = «2 appliqués respectivement en a, (3, 7 : cela démontre la première partie du théorème. Mais on peut exprimer w' au moyen de w, , on a :

BE-EC ou co' — co, = (0, — ^'° ^ ""

r.i. -4- Ciid'où w' = 2 M, —

Décomposons la force ojq appliquée en a , en deux forces -^

appliquées en « et en (3 ; décomposons de même la force Wj

appliquée eu -/ , eu deux forces — - appliquées en d et en /3 ;

on obtient trois forces parallèles appliquées en a, (3, rf qui

sont respectivement ——■, 2 w,, -^. En multipliant toutes ces

forces par 2 , on est conduit à la seconde partie du théorème. Remplaçons la force 2w, appliquée en (3 par w, en a et o),

en d; les trois forces —~, 2f.), , -^- se ramènent à deux forces appliquées en a et en ^/ qui sont respectivement — ~ 4- Wj , -~- + w, ; cela démontre la troisième partie du théorème.

Construction fféométriqiie.— Portons En = ■^, Em ■■ ,

joignons «n et. 6? «z; ces droites se coupent en un point H dont l'abscisse est celle du centre de gravité.

En effet, pour composer les deux forces co, + ~ = [n^,

w, 4- -^==m (3 appliquées en a et en d , il sufHt de tracer

une ligne de résultantes auxiliaires de ces forces; prenons ad comme côté intermédiaire de cette ligne; «|S comme force auxiliaire; on obtient an comme direction du premier côté; on reconnaît facilement que a))i est la direction du troisième côté ; les côtés extrêmes prolongés sont am eta^i;

254 INTEGRATION GRAPHIQUE.

ils se coupent en un point du poids résultant; donc le centre de gravité cherché a même abscisse que le point H.

Applications. — Parmi les volumes auxquels cette méthode est applicable , nous citerons particulièrement le volume limité latéralement par une surface réglée. Dans le cas d'une surface réglée i\ plan directeur, on opère comme nous l'avons fait au numéro 159 (fig. 68) ; on prend un plan de comparaison , on lirojette les génératrices sur ce plan par des plans parallèles au plan directeur; entre deux plans directeurs infiniment voisins , on trouve un volume élémentaire dont la section transversale est un rectangle de base constante E et de hauteur y comprise entre deux droites; cette hauteur est une fonction du premier degré de l'abscisse de la section; donc la section transversale du volume total 2E// est aussi une fonction du premier degré de l'abscisse. Lorsque la surface réglée n'a pas un ])lan directeur unique, le raisonnement qui précède doit se modifier ; en projetant les génératrices sur le plan de comparaison, on obtient des plans de projection non parallèles , la largeur E de la section transversale du volume compris entre deux plans projetants voisins est une fonction du premier degré; la section transversale totale lEy est alors une fonction du second degré.

Le plan étant une surface réglée, tout ce qui précède s'applique à un volume comjiris entre deux bases polj^gonales situées dans des plans parallèles et une série de faces planes triangulaires ou quadrangulaires menées par un sommet d'une base et un côté de l'autre , ou par deux côtés parallèles de l'une et de l'autre base.

!J85. Tronc de pyramide ou de cône. — Prenons comme axe des œ la droite qui joint les centres de gravité des ba.ses; on sait que cette droite contient le centre de gravité du volume; en appliquant la méthode précédente , on obtiendra donc non seulement l'abscisse du centre de gravité , mais le centre de gravité lui-même. La section transversale est une fonction du second degré de l'abscisse; mais il n'est pas nécessaire de mesurer la section médiane (ùi : nous allons

INTEGRATION GRAPHIQUE. 255

démontrer que la surfiice m' est égale à l/o^gW,. En elïet, les sections transversales sont semblables; si on considère trois dimensions homologues dans les sections extrêmes et dans la section médiane , on démontre aisément que celle de cette dernière est la moyenne arithmétique des deux autres; mais les dimensions linéaires des surfaces semblables sont proportionnelles aux racines carrées de ces surfaces ; on a donc :