CHAPITRE II

Murs de soutènement et de réservoir.

§ 1. Poussée des terres.

SSO. Poussée des terres. — On considère les terres comme dépourvues de cohésion ; le talus le plus incliné BC

(fig. 134) que l'on peut maintenir sans soutènement est le talus naturel ; il fait avec Thorizon un angle cp égal à l'angle du frottement des terres. Pour maintenir un massif BAC, il

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faut un iT)ur de soutènement. Supposons d'abord que A.B soit un plan invariable mobile autour de B comme charnière; si la force qui soutient ce plan diminue progressivement, il arrivera un moment où le plan AB cédera à la pression des terres, les terres glissant vers le bas; à l'instant où ce glissement est sur le point de se produire , les terres exercent sur AB la pression minima; un mur de soutènement est stable dès qu'il peut résister à cette pression qui est la poussée des terres. Si, au contraire, la force qui soutient le plan AB croît progressivement , il arrivera un moment où les terres céderont en glissant vers le haut; à l'instant qui précède ce glissement, les terres exercent sur le plan AB, la pression maxima qui est la butée des terres et qui intervient comme résistance dans la stabilité d'une culée.

La détermination exacte de la poussée étant trop difficile, on la simplifie en admettant que les terres glissent suivant un certain plan inconnu, tel que BE. Si l'on connaissait ce pian, la poussée se déterminerait très facilement ; le poids du prisme AEB, les réactions des terres sur le plan AB et BE doivent se faire équilibre ; en exprimant que la résultante est nulle , on obtient le triangle Bee' , dans lequel Be est le poids du prisme ABE , ee' est la réaction du mur égale et contraire à la poussée , e'B la réaction des terres: pour construire ce triangle, on connaît Be, la direction de la droite ee' qui fait avec le mur l'angle 9' du frottement des terres sur le mur, la direction de la droite e'B qui fait avec Be l'angle cp du frottement des terres entre elles.

On détermine la position du i)lan BE par la méthode des fau.sses positions; imaginons un plan BD , l'équilibre du prisme ABD conduirait aussi à la détermination de la poussée dd" = ee', si l'on connaissait la direction de la réaction Bd" qui se développe sur le plan BD ; mais on sait que cette réaction fait avec la normale au plan, un angle plus petit que l'angle du frottement; en admettant que les terres glissent sur BD et que la réaction Bd" devienne Bd' , on fait une fausse hypothèse qui conduit à une poussée trop petite dd' < q. Cette inégalité devient une égalité pour une seule

258 INTEGRATION GRAPHIQUE.

position du plan BD, c'est lorsque BD devient le plan de rupture BE; alors cld' devient égal à q et atteint sa plus grande valeur; on a donc :

q = {dd')was.

De là cette règle : on adopte différents plans passant par B comme plan de glissement, on trouve des poussées généralement inexactes ; la yioussée exacte est la valeur maxima de ces poussées ; le plan de glissement qui y correspond est le véritable plan de rupture ( 1 ).

Pour déterminer le centre de poussée , on fait une nouvelle liy[)othèse ; on admet que les plans de glissement sont parallèles pour toutes les hauteurs de mur ; la pression sur lin élément infiniment petit du mur est proportionnelle au poids des terres comprises entre les plans de glissement menés par les extrémités de l'élément ; on démontre aisément que le centre de poussée est la projection du centre de gravité du prisme de plus grande poussée, cette projection étant faite par une droite i)arallèle au plan de glissement.

^1) Nous sommes entrés dans quelques détails sur la théorie coniHïe sous le nom de théorie du prisme de plus grande poussée, parce qu'il nous semble que les auteurs ne l'ont pas toujours bien exposée. Les uns admettent avec Coulomb que le plan qui limite le prisme de plus grande poussée est effectivement le plan de rupture sans démontrer celte aflRrmaiion; les autres laissent supposer qu'en calculant la plus grande poussée, on se place dans les conditions les plus défavorables; on vient de voir que la poussée que l'on calcule est réellement la p'us petite de toutes celles qui peuvent se produire, la recherche du maximum n'est qu'un procédé d'analyse pour éliminer l'influence d'une fausse hypothèse. Nous ajouterons que la prétendue plus grande poussée est presque toujours plus faible que la plus petite des poussées possibles, parce que la surface de rupture n'est généralement pas un plan ; sur le plan BE luimême , la réaction n'est pas dirigée parallèlement àBe', mais suivant une direction Be" faisant avec la normale un angle plus petit que l'angle du frottement; la poussée minima est ee", la théorie incomplète du prisme de plus grande poussée donne ee' ; on aura ee' = ee" lorsque la surface de rupture est un plan. Ces considérations prouvent que cette théorie ne doit pas être employée sans discernement.

'9^7. Tracés graphiques. — Première méthode. — Traçons des plans B 1 , B2, B3, etc. , assez voisins pour que les éléments A 1 , 12, 2 3... puissent être supposés rectilignes; on déterminera ces plans de manière que les poids des triangles AB 1 , 1 B2, 2B3... soient égaux ; ayant pris arbitrairement B 1 , ou joint A 1 que Ton prolonge d'une quantité égale à elle-même, et on dirige B 2 vers l'extrémité ainsi obtenue; on opère de même pourBS, B4,etc.... Si B l'est la droite qui représente le poids d'un des tiiangles, en portant des longueurs égales, on obtiendra immédiatement en B 1', B2', B3'... les poids des différents prismes; les poussées correspondantes forment les ordonnées d'une courbe que l'on trace; en menant à cette courbe une tangente parallèle à Brf, on obtient la poussée cherchée q = e e' . Pour obtenir fticilement les directions des réactions analogues à B cl', on remarque qu'elles font , avec le plan sur lequel elles se développent, un angle constant égal à C B D = 90" -\- 9 ; donc on trace une circonférence du point B comme centre, et on porte au compas l'arc qui mesure cet angle à partir des droites BI, B 2, B3.... On peut éviter cotte opération en faisant tourner le diagramme des poussées de cet angle pris en sens contraire, alors Brf vient en BC, les réactions sont dirigées suivant les plans sur lesquels elles se développent; après cette rotation, la normale au mur Bii vient en Bn'; la direction Bq de la poussée, vient en Bq' et fait avec le mur un angle © + (}.'. Pour trou^ver le centre de poussée, on suppose que les poids des triangles agissent parallèlement à B E ; on cherclie leur résultante au moyeu d'une ligne de résultantes auxiliaires ; cette résultante coupe AB au centre de poussée 0.

Autres méthodes. — La surface d'un prisme de poussée

/r^ dO ■ — - — ; en portant 9 en abscisse,

- — en ordonnée , on est ramené à une intégration ordinaire ;

/r^ d 9 — - — en rayon

260 INTEGRATION GRAPHIQUE.

cl 0 f^

vecteur; la courbe a pour sous-normale — ^- = — et peut

être tracée par éléments. Ayant déterminé l'angle 9, , du prisme de plus grande poussée, on obtient la distance Zi au plan de glissement du centre de gravité et du centre de poussée par l'équation :

•Si M= / — - — X -^ r sin (01 —G) = -7- / r'rfCcosG, — G).

En portant r' en ordonnée, cos ( 0 — 6, ) en abscisse , on est

ramené à une intégration ordinaire. Pour obtenir l'inté-

d 0 y' graleen rayon vecteur, ou se sert de la sous-normale -—^ =="T

sin (G, — 0) , expression facile à construire.

S 8 8. iMélliode do Poiicelel. — Poncelet a trouvé par des considérations analytiques, un tracé applicable au cas où le profil du terrain est rectiligne dans les environs du plan de rupture; on peut déduire le tracé de Poncelet des considérations qui précèdent.

Soient : (fig. 135) AB le mur, ADC le mas.sif de terres à soutenir; remplaçons le profil courbe DA par un profil rectiligne DA' donnant la même surface : A'DB = BAD. Les poids des prismes BAM', BAN' ou leurs équivalents BA'M', BA'N' sont proportionnels aux longueurs A'M', A'N' et peuvent être représentés par Bm , B« ; on obtient les points «2 et n en menant 'Wm , ^'n parallèles à A'B ; on obtient les poussées en Mm, Nn , ces droites Mm et Kw étant menées parallèlement à la droite B'o qui fait avec le mur AB l'angle ;p j cp' (-287). Mais cette construction est précisément celle d'une hyperbole ( 101 ) dont l'asymptote est parallèle Bo' ; on obtient cette asymptote oy' en remarquant que si BM' vient en Bo', Mw2 vient en 0^' et le point M se transporte à l'infini. L'ordonnée maxima que nous supposons être M;n , s'obtiendra donc en déterminant N' par la relation ( 101 ; : O'M'2 =0'A' X 0'^''

De là résulte une construction graphique très simple pour déterminer le prisme de plus grande poussée : on mène une

INTEGRATION GRAPHIQUE. 261

droite Bo' faisant avec le mur un anglecp + <f,' , on détermine O'M en cherchant une moyenne proportionnelle entre O'A' et O'C ; BM' est le plan de rupture.

Cas particuliers. — I° Si le point o' se transporte à l'infini, le point M' devient le milieu de A'C : ce cas se présente lorsque BA et A'C forment un angle égal à cp -j- ^'.

2^ Si les droites A'B et BC sont anti-parallèles dans l'angle Bo'C , c'est-à-dire si angle o'CA = angle O'BA' , on a ( O'B)* = O'A X O'C, donc O'M' = O'B ; on obtient immédiatement le point o'. Il est facile de démontrer qu'alors BM est la bissectrice de l'angle A'BC ; en effet :

angle A'BM' = O'BM' - O'BA' angle M'BC = O'M'B - O'CB.

Ces deux angles sont égaux comme différences d'angles égaux.

Lorsque le profil du terrain est rectiligne dans toute son étendue , AB ne diffère pas de A'B ; l'angle O'BA' est l'angle 9 + Ç' ; pour que l'angle O'CB soit aussi égal à ^f -|- 9' , il faut que les terres soient dressées suivant une ligne A'C, faisant avec l'horizon un angle ç-'; si on néglige le frottement des terres sur le mur , cette construction s'applique au cas ofi les terres sont dressées horizontalement ; c'est le cas ordinaire de la pratique.

:î80. llélhodc pratique. — Soient : (fig. 136) AB le mur de forme quelconque , AC le profil des terres supposé horizontal , BC le talus naturel faisant avec l'horizon l'angle cp , avec la verticale l'angle T = 90" — ff .

Déterminons la poussée sur un mur fictif vertical BD , en supposant la poussée normale à ce mur, le prisme de plus grande poussée s'obtient en menant la bissectrice BE de l'angle DBC ; on trouve que cette poussée agit au point F situé au tiers de la hauteur et a pour valeur

g=— tang-j.

Tï étant le poids spécifique des terres, h la hauteur du mur, 1 la largeur.

262 INTEGRATION GRAPHIQUE.

On obtiendrait la poussée sur le mur AB en composant la poussée q avec le poids ADB ; mais il est plus simple de faire intervenir ce poids dans l'évaluation du moment résistant.

On peut démontrer que cette méthode revient à supposer que l'état d'équilibre du massif des terres est le même que si ce massif se prolongeait indéfiniment au-delà du mur; on a donc la certitude d'obtenir de cette manière une poussée plus forte que celle qui se produirait au moment île la rupture. Lorsque le mur est rectiligne , on pourrait adopter la méthode Poncelet ; nous préférons la précédente parce que celle de Poncelet conduit presque toujours à une poussée trop taible.

Si le terrain était dresse suivant une ligne inclinée DA, on pourrait aussi imagmer un mur fictif vertical BD, mais la théorie mathématique de la poussée des terres démontre quil convient alors de supposer sur ce mur une poussée parallèle au profil des terres.

§ 2. Murs de soutènement a sections pleines.

*^tlO. Principe générai de ia Mimililudc dc!« iiiiir$« »»lMl>lv!!i. — Étant donné un mur stable soutenant un massif de terres limité par une ligne droite , on peut en trouver une infinité d'autres de même stabilité et de hauteurs différentes, eu construisant des formes semblables à la forme donnée.

En effet, en augmentant toutes les dimensions du mur dans le même rapport, le moment résistant par mètre courant augmente dans le rapport des cubes des hauteurs ; le prisme de plus grande poussée reste aussi semblable à luimême; son poids et par conséquent la poussée augmente comme le carré de la hauteur; le moment solhcitant augmente donc comme le cube de la hauteur. Il en résulte que le coefficient de stabilité reste le même. Il faut remarquer toutefois que si .le coefficient de stabilité ne change pas, il n'en est pas de même des pressions ; la pression totale varie

INTEGRATION GRAPHIQUE. 263

évidemment comme le carré de la hauteur, il en résulte que la pression par unité de surface varie comme la hauteur du mur; pour une forme donnée il existe donc une hauteur limite que Ion ne peut dépasser , si l'on veut éviter 1 écrasement de la matière ; au-delà de cette hauteur , il faut augmenter les dimensions pour satisfaire à l'équilibre élastique.

Corollaires. — 1° Dans un mur de forme trapèze ou rectangle , la section dangereuse est la section inférieure.^ Soit (fig. 137) le mur ABCD ; pour une hauteur AF le mur semblable AGHF donnerait le même coefficient de stabilité que le mur ABCD; donc le mur A FE 15 donnera un coefficient de stabilité plus grand ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

2° Le triangle est la forme d'égale stabilité. Soit (fig. 137) le mur ACD; les murs AHF et ACD étant semblables, le coefficient de stabilité est le même pour toutes les assises du mur triangle ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. — Si on appliquait le principe que nous avons appelé le principe de la similitude des murs stables, au cas où le profil du terrain n'est pas rectiligne, on ferait une erreur, à moins de faire varier la forme du terrain dans le même rapport que les dimensions du mur. Il est aisé de reconnaître , d'après cela , que si on augmente les dimensions d'un mur stable proportionnellement à la hauteur, on obtiendra un mur ayant trop ou trop peu de résistance, selon que le terrain est convexe ou concave.

Nous allons appliquer les principes que nous avons développés dans le chapitre III du livre précédent (IHl à 207.)

^Ol . Tableaux graphiques. — Nous nous proposons de faire voir que l'on peut très facilement construire des tableaux graphiques donnant immédiatement les dimensions des murs de soutènement ou de réservoir de forme rectangle ou trapèze, le terrain étant supposé horizontal. Nous supposerons que la hauteur du mur soit égale à l'unité ; en vertu du principe précédent, il suflîra de multiplier, par la hauteur donnée , toutes les dimensions obtenues par cette hypothèse.

264 INTEGRATION GRAPHIQUE.

^O^. .lllirs reotangle!^. — Soient : t. le poids spécifique des terres, -' celui des maçonneries, T l'angle du talus naturel des terres avec la verticale, 1 la hauteur du mur, e l'épaisseur inconnue, ra le coefficient de stabilité que nous

prendronsjégal à 2; le moment résistant du mur de ttc X --,

le moment sollicitant est ~ tang* ^ X -ir ' ^^ exprimaut

que le premier est m fois le second, on obtient une équation d'où l'on tire :

e = tang — y^^^ (1)

ou en faisant în = 2