II

Divisons par -^, e exprimons — au moyen de /i; , on a :

290 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Posons: x^h (-— l)-

On obtient pour ligne des — :

En éliminant-- des équations qui donnent x ei y , on obtient les lignes des h :

En éliminant k des mêmes équations, on obtient les lignes

des — :

Les lignes des — et des — se construisent comme dans les ^ e T.

cas précédents ; les lignes des h m construisent en remarquant que pour 2/ = 6 , x — 'ili\o\s. obtient ainsi un axe rec • tiligne des k; la direction des lignes des h se détermine comme celle des n dans le premier exemple de ce numéro.

On peut simplifier la construction des paraboles des — en

remarquant comme au 3° que les lignes des h sont coupées par

ces paraboles suivant des échelles proportionnelles à celles des

tt' t:'

— ; il suffit de connaître deux lignes des — :

pour — = 1 , û; = 0 ,

pour ~ = ~ 2 , y = ^'

INTEGRATION GRAPHIQUE- 291

Une petite partie de l'épure est seule utile; les axes paraboliques sont presque rectiligues dans la partie utile du tableau.

§ 3. Hauteurs limites des murs précédents.

303. — Dans le calcul des dimensions des murs précédents , nous ne nous sommes pas occupés de la résistance des matériaux à l'écrasement; nous avons vu cependant (290) que si toutes les formes semblables ont môme coefficient de stabilité , la pression par unité de surface varie dans le même rapport que la hauteur du mur et qu'il existe dès lors une hauteur limite que l'on ne peut dépasser sans craindre l'écrasement de la matière. Il est utile de déterminer ces hauteurs limites , parce que si on avait à construire un mur d'une hauteur plus grande, il faudrait en augmenter les dimensions. Rappelons que dans le cas d'un mur supportant son propre poids, la hauteur limite H est donnée par :

R' = 7:'H d'où H=^- (1)

R' étant la pression maxima par unité de surface. Dans le cas d'un mur de soutènement, la hauteurlimite h est moindre

que H, nous nous proposons de déterminer le rapport — .

304. llurs rectangles. — Si nous supposons le coefficient de stabiUté égal à 2 , le centre de pression de la section inférieure est au quart de l'épaisseur du mur, donc c'est la loi du triangle qui se produit; en appliquant la formule connue, on trouve :

à II 3

Nous obtiendrons la hauteur limite /^ , égalant p kR' on TT'H ; on trouve :

it'H = — Ti'h, d'où -jj == 8 ■

292 INTEGRATION GRAPHIQUE.

305. Wur a%ec fruit extérieur. — Il est lacile de reconnaître que la loi du triangle se produira encore dans la section inférieure ; le cas le plus défavorable à cette thèse est le mur triangle, or dans ce cas on a la loi du triangle sur toute rétendue de la section; en effet, si c'est l'épaisseur,

e' le poids résistant tombe à une distance 2 — de l'axe des

e' moments, on a donc u = —(245). Considérons deux murs

de hauteur égale à l'unité, l'un de profil rectangle, l'autre présentant un fruit extérieur; dans le premier cas, on a :

dans le second cas

Soient h et h' les hauteurs limites dans les deux cas; on a : 2 P 2 P*

su 3 Pw

Si on remarque que Fu et F'u' représentent las moments résistants des deux murs de hauteur un, moments résistants qui sont égaux , on obtient en divisant ces deux équations :

Le rapport — est celui des épaisseurs moyennes des murs

'-2 Mais nous avons trouvé ( 295 ) e'* = e* H ; on a donc :

' " . /, ij' n

V'+3ii--i;

En remplaçant li par sa valeur— ;- H, on trouve :

v/^ = )Li . (3)

3e^ fi

11' On peut indiquer les valeurs du rapport r- sur le tableau

U'oxûe. la figure 138; ce tableau a été constiuil lu portant

x = e, y = — — ; l'équaliun précédente montre que le rap- 1/3

port — et aussi z^est fonction de — ; cette équation peut

être mise sous la forme :

n ih

= = cp(-) ou y=^-T(g)

Les lignes d'égal — sont des lignes passant par l'origine; H

ces lignes étant tracées , il suffit de les graduer convenablement; on peut trouver cette graduation en construisant

deux courbes; portons en abscisse ( fig. 148) x = — :: , en

ordonnée le second membre de l'équation (3); portons ensuite

Ji' en abscisse a = — -y , en ordonnée le premier membre de

/{' l'équation (3; ; pour chacune des valeurs de -- , on trouvera

successivement les points correspondants de deux courbes ,

et la valeur a qui n'est autre que la fonction 9 ; on obtient

ainsi l'échelle des cp, que l'on porte sur la droite xF, en

h' inscrivant la valeur correspondante de yt-

h' On peut aussi porter la valeur — en rayon vecteur a partir

INTEGRATION GRAPHIQUE.

de l'origine 0 sur la ligne — du tableau y'ox de la figure 138 ;

pour construire la courbe, on opère comme il suit : soient

h' (fig. 149) œoy les axes, OB une droite „ , z son coefficient

angulaire (p = &B; portons oa = 1 , Aa = 9 , OA sera perpendiculaire sur OB ; on a :

Si on porte AC donne les valeurs :

n Je

(pl/3

sj'

, le lieu des points C

On a donc :

Portons OK

joignons CK , menons KL perpendi-

culairement sur KG, et LD perpendiculairement sur KL, on trouve :