A=.SU, /' = S'U

3*51 . Poussée de l'eau. — Il faut déterminer la poussée de l'eau sur toutes les hauteurs qui comprennent un certain nombre de tronçons. On peut opérer comme nous l'avons fait au numéro 314 pour déterminer la poussée des terres; la poussée est égale au poids d'un prisme triangulaire de liquide; ce poids est représenté par la surface d'un triangle ; on obtient les dififérentes poussées en intégrant une droite avec la base d'intégration relative aux poids des volumes liquides. Dans la figure 155, nous avons remplacé l'intégration par une multiplication; sur une hauteur^ = On, la poussée est le poids d'un volume liquide que l'on peut représenter par un triangle ou bien par un rectangle de hauteur deux fois moindre ; ce rectangle a pour base h , et pour hauteur nn' = — \ il en est de même pour d'autres profondeurs ,

mais les hauteurs des rectangles que l'on doit considérer sont les ordonnées de la droite On' , si on prend la verticale On comme axe d'abscisses. On doit donc multiplier les ordonnées d'une droite par ses abscisses; on doit évidemment prendre pour base d'intégration la base X qui convient pour l'évaluation des poids des volumes liquides. Soient : OT = /., Ty l'axe du]diagramme des inclinaisons , Tv = n7i' ; joignons Ov; on obtient le point n"; ona,q = n7i". On trouve de même les autres points de la courbe On". On sait que les poussées agissent aux deux tiers des profondeurs; elles sont donc déterminées en grandeur et en position.

3^*î. Poids des volumes liquides. — Les poids des volumes liquides qui reposent sur le parement intérieur sont représentés par les surfaces comprises entre le profil de ce parement et la droite OX qui représente le niveau liquide; on obtient donc ces poids en intégrant graphiquement le contour OB'C'N' rapporté à l'axe OX ; on intègre par polygone circonscrit ; les directions des côtés sont S2, S 3, S4.... S8.

333. Poids des maçonneries. — Il faut déterminer les poids des différents tronçons ; chaque tronçon est un trapèze de hauteur égale à 5 mètres ; on peut le transformer en un

318 INTEGRATION GRAPHIQUE.

rectangle de même hauteur dont la base est la distance des milieux des côtés non parallèles du trapèze; on est dor.c ramené à intégrer une droite unique ?/ = 5 mètres; l'intégrale est la droite V W parallèle à S'K , si U K = 5 ; cette droite unique permet de trouver les poids de tous les tronçons, il suffît de prendre l'accroissement de l'ordonnée de cette droite pour un accroissement d'abscisse égal à la largeur moyenne du tronçon. On trouve ainsi les poids P, , P^, Pj , Pi.... Pg; le poids P, doit être répété trois fois pour obtenir le poids de la partie rectangulaire du barrage.

3^4. Cenires de pressions. — Soit à chercher les pressions sur le joint NN'; suppo'^ons d'abord le réservoir rempli d'eau ; il s'agit de composer la poussée Q 8 avec les poids des volumes liquides et les poids des maçonneries. On doit tracer une ligne des résultantes ; cette ligne est une intégrale seconde ( 133). Pour composer la poussée Q8 avec les poids des volum.es liquides, il faut intégrer la ligne ON" en prenant une base d'intégration égale à la poussée et en prenant la lio-ne d'action de cette poussée comme premier élément de l'intégrale. On intègre par polygone circonscrit avec côtés auxiliaires (69); pour chaque côté du profil, nous avons obtenu deux côtés dans l'intégrale première , nous obtiendrons trois côtés dont deux tangents à l'intégrale seconde; des simplifications que nous ferons connaître tantôt ont été apportées dans le tracé des lignes de résultantes représentése sur la figure. Le dernier élément de l'intégrale seconde dont nous venonsde nous occuper, est la ligne d'action de la résultante des pressions de l'eau ; cette résultante est représentée en grandeur et direction par 80 sur le diagramme des résultantes auxiliaires. On doit ensuite composer cette force avec les poids des maçonneries ; ces poids sont des forces isolées p ,P2,P3, etc., connues en grandeur et en position; on porte ce poids sur l'axe On en OR, , RjRî, R2R5 , etc.. ; on obtient sans difficulté la ligne des résultantes de ces poids : le dernier côté de cette ligne est la ligne d'action de la résultante de toutes les forces qui sollicitent le massif qui repose sur le joint NN'; ce côté coupe le joint NN' au point a ; c'est

INTEGRATION GRAPHIQUE. 319

le centre dépression dans riij'pothèse du réservoir plein. Lorsque le réservoir est vide , la force sollicitante ne comprend que le poids des maçonneries; on prolonge les côtés de la ligne des résultantes qui comprennent entre eux les poids des maçonneries ; on obtient ( 131 ) le poids résultant et le centre de pression a'. Si ou examine la ligne des résultantes tracée sur la figure, on remarque que le nombre de côtés est beaucoup moindre que celui que Ton obtienrlrait si on appliquait la méthode que nous venons d'exposer; cela provient de ce que nous avons profité de certains résultats acquis avant de tracer la ligne Q8. Supposons que tous les tracés relatifs au joint MM' soient effectués; la ligne des résultantes Q 7 est tracée; en introduisant le poids Pg, on obtient le côté pointillé; on peut obtenir le poids résultant df s maçonneries qui reposent sur le joint NN'; on peut obtenir aussi ( 131 ) la résultante des poids des volumes liquides qui reposent sur le parement B'M'; c'est pour ce motif que la ligne des résultantes Q8 ne comprend que quatre sommets : deux sommets pour le nouveau volume liquide , un sommet pour le poids résultant des volumes liquides déjà calculés, un sommet pour le poids résultant des maçonneries.

3'15. Calcul graphique des dimensions. — Les tronçons se calculent successivement en commençant par le haut. Montrons, par exemple , comment on détermine les dimensions du joint NN'. Le joint MM' est connu ; la ligne des résultantes Q7 est tracée. On mène les lignes MN et M'N' en s'inspirant de la forme du profil déjà calculé. On détermine le poids Pg du nouveau tronçon ; on introduit ce poids dans la ligne Q7, on obtient le côté pointillé ; on détermine comme nous l'avons dit précédemment le centre de pression a' dans l'hypothèse du réservoir vide. Les points N et N' ne sont pas encore déterminés exactement, mais les petits déplacements que ces points pourront subir dans la suite du calcul exerce une si faible influence sur le poids résultant des maçonneries que l'on peut considérer ce poids résultant et son point d'application a' comme fixés invariablement. On détermine la position du point N' par la construction graphique connue (248) ou bien au moyen du tableau de la figure 109 (249).

Le point N' étant connu , un continue l'intégrale des poids des volumes liquides en y introduisant le trapèze qui repose sur la face M'N' ; on peut alors tracer la ligne des résultantes Q 8 ; on obtient le centre dépression a. Le déplacement que l'on devra peut-être faire subir au point N , ne produira sur N' qu'un déplacement insensible; on peut considérer la résultante appliquée au point a comme fixée invariablement; on obtient le point N par le même procédé que celui que nous avons employé pour obtenir le point N'. Si les déplacements à faire subir aux points N et N' étaient quelque peu sensibles, on devrait corriger l'évaluation des forces, la détermination des points a. et a' ; on recommencerait la détermination des points N' et N ; mais presque toujours ces tâtonnements sont inutiles.

Il est utile de remarquer que certaines lignes de la figure 155 peuvent être tracées définitivement avant de passer à la détermination des dimensions des tronçons ; ce sont : la courbe des poussées On", les diagrammes des inclinaisons des intégrales premières et secondes des poids des volumes liquides, la ligne VW intégrale du poids d'un tronçon ; les autres lignes se déterminent de proche en proche.

3*^6. Autre niélhode. — On peut perfectionner le procédé que nous venons d'employer pour déterminer les dimensions d'un joint NN', en résolvant le problème suivant : on donne dans deux hypothèses extrêmes les pressions résultantes? en a, P' en a'; on demande de calculer le joint NN'. On doit avoir à la fois les deux équations (248) :

z"^ + az = ab (1)

L'inconnue ;: représente le tiers de la longueur du joint ; les longueurs a et a' sont proportionnelles à P et P'; en adoptant les mêmes échelles que tantôt

es longueurs h et W sont h = «N', 6' = a'N ; si on pose

INTEGRATION GRAPHIQUE. 321

on a l'équation de condition :

Si on élimine b et U entre les équations (1), (2), (3), on trouve :

Posons

Il vient

z^ — mz -{■ nm ^ 0. (5)

L'équation (5) ressemble beaucoup aux équations ( 1 ) ou ( 2 ) ; on trouverait aisément comme aux numéros 248 et 249 uneconstruction géométriqueet un tableau graphlquepermettant d'obtenir la valeur de 2. On obtiendrait b par l'équation ( 1 ) ou le tableau de la figure 109.

La valeur de m donnée par l'équation (4) s'obtient très facilement ; on a :

3a = rgR8, Sa'^ORg;

déterminons le conjugué harmonique L du point R» par rapport à la droite Ot\ ; on démontre aisément que :

LRg "" 2 \ORh ^ R,rJ '

d'où l'on déduit ^ ^ « ^^s-

L'expérience nous a indiqué que la méthode du numéro précédent sufl^sait; c'est pourquoi nous laissons au lecteur le soin d'appliquer celle-ci.

322 INTEGRATION GRAPHIQUE.