CHAPITRE III

Problèmes sur Téquilibre des voûtes.

§ 1. Généralités.

397. Polygones des pressions. — Soit (fig. \ô6)efbcda une voûte ordinaire en berceau; il suffît d'en considérer unelongueur égaleà 1 mètre mesurée suivant les génératrices du berceau. Si, par la pensée, on enlève la culée ef, il faudra, pour maintenir l'équilibre de la voûte , introduire une réaction R; on obtiendra la pression sur un joint quelconque ih, en composant la réaction R avec le poids du msL&sit'efih et la surcharge qui rei)Ose sur cette partie de voûte. Composons la réaction R avec les différents poids que l'on rencontre en passant du joint e/" aux suivants; nous obtiendrons successivement les pressions sur ces joints. Ces pressions forment un polygone qui n'est autre que la ligne des résultantes auxiliaires des poids des voussoirs avec leurs surcharges , en prenant la réaction R comme force auxihaire ( 130 ).

Connaissant la réaction R , on obtiendra le polygone des pressions par un tracé connu (136). On porte Q 1 = R ; on porte les poids en 12, 5^3, 34... ; on obtient en Q2, Q3, Q4,... les pressions sur les différents joints; on trace le polygone des pressions en menant successivement ses côtés parallèlement aux raj'ons QI , Q2, Q3,.., les sommets du polj-gone se trouvent sur les verticales des centres de gravité des poids des voussoirs et de leur surcharge.

Généralement , il existe un plan de symétrie ab par rapport à la voûte et aux charges qu'elles supportent. Imaginons un joint fictif «& dans ce plan; la pression sur ce joint est horizontale par raison de symétrie : cette pression est la poussée de la voûte. Dans ce cas , il suffit de considérer la demi- voûte abcd. Enlevons, par la pensée, l'autre demi-

yoùte ; il faut introduire la. poussée q sur le joint ab. Si on construit la ligne des résultantes de la poussée q avec les poids que l'on rencontre en marchant de gauche vers droite , on obtient le polygone des pressions en ABD. *

3!Î8. Courbe des centres de pression. — Sur chaque foint, on obtient un centre de pression. Si on imagine des joints fictifs infiniment rapprochés, le lieu des centres de pression est une courbe que M. Méry a appelé courbe des centres de pression ou simplement courbe de pt^ession.

3'39. Ligne de pression. — Lorsque les joints soijt infiniment voisins , le polygone des pressions a pour limite une autre courbe que nous appellerons ligne des pressions. CeiXQ courbe est la ligne des résultantes auxiliaires des poids continûment répartis de la voûte et de la surcharge , tn prenant l'une des pressions ou la poussée à la clef comme force auxiliaire. Nous avons démontré ( 133) que cette courbe est l'intégrale seconde de la charge qu'il faut introduire par unité de longueur horizontale.

Objet de ce chapitre.— Dans le paragraphe 2, nous donnerons le tracé graphique d'une ligne de pression, connaissant la poussée et le centre de poussée. Le tracé du polygone des pressions que nous avons rappelé au numéro 327, ne répond qu'en partie à cette question , car il suppose connus les centres de gravité et les poids des voussoirs et de la surcharge. En considérant la ligne des pressions comme une intégrale , on peut résoudre la question d'une manière plus complète.

Nous avons montré précédemment comment on détermine une ligne des résultantes, étant données trois conditions dont une de position (135, 144). Tous ces problèmes s'appliquent à la détermination des lignes des pressions dans la voûte non symétrique. Dans une voûte symétrique, deux conditions suflisent : ce cas particulier sera traité dans le paragraphe 3.

324 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Les relations entre la courbe de pression et la ligne des pressions ainsi que les problèmes qui s'y rapportent feront l'objet du paragraphe 4.

Le paragraphe 5 contient la théorie des courbes des pressions normales conjuguées aux courbes des poussées.

§ 2. Tracé graphique d'une ligne des pressions.

330. Joints verticaux. — Soit (fig. 157) la voûte cabd supportant un massif cd^/". Les forces verticales peuvent être considérées comme les poids des éléments des surfaces cdba et cdgf\ on doit attribuer à ces surfaces deux poids spécifiques différents : à la première le poids spécifique des maçonneries , à la seconde le poids spécifique moyen des terres rt matériaux supportés. Menons des joints suffisamment voisins pour assimiler les surfaces comprises entre ces joints à des trapèzes; on intègre alors par la méthode du polygone circonscrit; les sommets du polygone AB circonsrit à la première intégrale se trouve au milieu des intervalles qui séparent les joints voisins. On obtient les directions des côtés en suivant une méthode déjà employée applicable aux cas où les aires ont des poids spécifiques différents. Les bases d'intégration (55) et 312) sont dans le rapport inverse des poids spécifiques :