OP

La direction de l'élément de l'intégrale au point N qui correspond au joint mn serait Pn' s'il n'y avait que la surcharge ; cette inclinaison correspond à la hauteur pHV de maçonnerie ; on trouve pm' pour l'inclinaison cherchée.

On obtiendra la ligne des pressions en traçant l'intégrale seconde pour une base d'intégration égale à la poussée ( 133) ; on peut intégrer par la méthode du polygone circonscrit avec un côté auxiliaire comme l'indique la figure.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 325

Si les joints sont très rapprochés, on peut aussi assimiler les arcs de l'intégrale première à des droites et supprimer ce côté auxiliaire. Si au contraire les joints sont assez éloignés, on pourra assimiler les arcs de Tintrados et de l'extrados à des paraboles du 3® degré que l'on déterminera par les tangentes extrêmes ; l'intégrale première comprendra pour chaque arc deux côtés auxiliaires; l'intégrale seconde en comprendra trois (69).

Dans le cas qui nous occupe, la courbe des centres de pression est identique avec la ligne des pressions ; nous allons voir qu'il n'en est plus de même dans le cas ordinaire où les joints sont obliques.

331 . Joiiils quelconques. — Montrons tout d'abord que la ligne des pressions diffère de la courbe des centres de pression. Soient : (tig. 156) mn, un joint quelconque, m'7i' un joint infiniment voisin; en pas.sant du joint mn au joint m'n' , il faut introduire un poids élémentaire qui est la résultante du poids du voussoir infiniment petit mnm'n' et, s'il y a lieu , de la surcharge qui repose sur 7in'. Soient : FE, la ligne d'action de cette résultante; aE , la pression sur le joint mn; en composant ces deux forces, on obtient une résultante a'E, c'est la pression sur le joint 7n'n'. Le point E est l'intersection de deux tangentes infiniment voisines de la ligne des pressions ; il a pour limite le point de contact do la pression et de son enveloppe. Convenons d'appeler centre de gravité (T un joint la limite du centre de gravité d'un voussoir infiniment petit et de la surcharge; nous pouvons dire que la pression sur un point touche son enveloppe sur la verticale du centre de gravité de ce joint.

Il résulte de là que pour obtenir un centre de pression , il faut prolonger la tangente à la ligne des pressions jusqu'au joint dont le centre de gravité se trouve sur la verticale du point de contact. La courbe de pression est toujours à l'extérieur de la ligne des pressions Ces deux courbes ne se confondent que dans (^eux cas : 1° si les joints sont verticaux; 2*^ si le point a coïncidait avec le point F. Le premier cas ne

326 INTEGRATION GRAPHIQUE.

se présente jamais; le second cas ne peut se présenter que pour une forme de voûte calculée à cette fin.

Nous indiquerons la manière de tracer la ligne des pressions dans les différents cas; on en déduira facilement la courbe des centres de pression.

33*^. Surcharge nulle. — Première rnéthode. — Soit la voûte de la figure 158; on mène des joints assez rapprochés ; les poids des voussoirs sont représentés par des figures curvilignes mais que Ton peut assimiler à des quadrilatères; on obtient le centre de gravité par la méthode de Poncelet. Considérons le voussoir abcd; soit bJi la projection de la diagonale bel sur une perpendiculaire à la diagonale ac ; la la surface S du quadrilatère se compose de deux triangles de base ac;bh est la somme des hauteurs ; on a donc :

Portons les moitiés des diagonales ac, c/e... en a(3 , |3/,... ; portons les hauteurs analogues k bJi en ordonnées ; les poids des voussoirs sont les poids des rectangles Aa|3 , B /S*/... ; on les obtient par une intégration. Les poids des différentes parties de la voûte sont les ordonnées 01 , 02, 03... de l'intégrale première aB'C'D'E'. Soit QO la poussée^ Q0123estle diagramme des pressions ; on obtient la ligne des pressions 01234 par la construction connue.

Au lieu de porter en abscisse les demi-diagonales , on peut porter les diagonales entières , sauf à prendre une base d'intégration deux fois plus grandes.

Deuxième méthode. — La ligne des pressions est l'intégrale seconde de la charge par unité de longueur horizontale ( 133) ; proposons-nous d'abord de déterminer l'intégrale première ou la ligne des charges totales. Soient : (fig. 159) p le rayon de courbure de l'intrados ou plus généralement la distance a l'intrados de l'intersection de deux joints infiniment voisins ,

e l'épaisseur de la voûte,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 327

dO l'angle de deux joints ,

rfP le poids élémentaire qu'il faut introduire entre ces deux points : on a :

^P = „,<£±iâlll£!rf9 = .'«(p+|-)

dQ.

Portons sur Taxe A'j? des longueurs proportionnelles à dB : x = RB, dx = RdQ.

Dans le cas d'un intrados circulaire , on prendra R égal au rayon de l'intrados. Portons en ordonnée :

On a :

dP = n'i/dœ.

On est ramené à une intégration graphique ordinaire ( 1 ). Prenons , par exemple , le joint ab ; on obtient y par une quatrième proportionnelle :

0«-R, af=e, Oc = p+|-, y = ch-^B^.

Les abscisses s'obtiennent en développant les arcs R 9 de la circonférence de rayon R. On trouve ainsi la courbe AB.

( 1 ) On pourrait supposer P porté en rayon vecteur et 0 en argument. On est amené à effectuer une intégration grapiiique en coordonnées polaires. On intègre par éléments en se servant de la sous normale :

dP

Soit le joint cd; i, son milieu ; kd la base d'intégration des maçonneries; im une perpendiculaire sur ftc; ow une perpendiculaire sur on; mn est la sous-normale de la courbe des P. Les forces P peuvent être portées à partir du pôle 0 , ou à partir d'une circonférence de rayon quelconque.

328 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Eq intégrant cette courbe , on obtient A'B' dont les ordonnées donnent les valeurs de P. La ligne A'B' n'est pas encore la ligne des charges totales ou la dérivée de la ligne des pressions; pour obtenir cette dernière courbe, il faut dé placer convenablement les ordonnées de l'intégrale A'B'. Ainsi l'ordonnée B'(3 qui représente le poids de la partie de voûte comprise entre la clef et le joint ab, doit être déplacée jusqu'à ce qu'elle passe par le centre de gravité du joint ah ; car c'est en ce point que s'introduit le poids élémentaire rfP quand on passe du joint a& à un joint infiniment voisin On obtient ainsi la courbe ponctuée qu'il sufHt d'intégrer pour obtenir la ligne des pressions. On doit évidemment effectuer les deux intégrations par approximation ; on assimilera les courbes à des suites d'arcs de paraboles ; on obtiendra une plus grande exactitude que par la méthode précédente où nous avons assimilé les voussoirs à des quadrilatères.

Tl est nécessaire de déterminer le centre de gravité des joints.

Soit ( fig. 160) le joint AB ; il s'agit de déterminer le centre de gravité du voussoir infiniment petit ABB'A' au moment où A'B' vient se confondre avec AB. Nous savons déjà que ce point se trouve sur AB; cherchons la ligne d'action du poids de la surface ABB'A' dans l'hypothèse où ce poids agirait suivant une normale au joint AB. Cette ligne d'action ne sera pas changée si on augmente dans un même rapport les dimensions de la surface dans le sens d'une normale à AB; on est amené à chercher le poids d'une aire finie , si on choisit convenablement ce rapport ; cette aire est le trapèze BB"A"A , lorsque l'on supprime les aires infiniment petites qui s'annulent au moment où A'B' vient en AB. On déduit de là la construction suivante : menons, par l'intersection de deux joints infiniment voisins, la droite A"B" ; joignons les points A" et B" aux points e, ë qui divisent AB en trois parties égales ; projetons sur AB le point d'intersection i des droites A"e et B"e'; la projection ainsi obtenue est le centre de gravité du joint. En appliquant cette construction aux différents joints, on obtient le lieu géomé-

trique des centres de gravité des joints; on voit(fig. 159) que ce lieu diffère peu du lieu des milieux des joints.

Troisième méthode. - Déterminons pour chaque joint la charge par unité de longueur ; on obtiendra ( 133) la ligne des pressions par une double intégration. Soient (fig. 160) : AB , un joint quelconque ;ab,\Q lieu des centres de gravité des joints ; ac, la projection horizontale de ab. Le poids du voussoir ABB'A' doit être réparti sur la longueur ac; nous assimilerons ce poids à une charge de hauteur tj de maçonnerie ; on a :

?/ X ac = AB X hf,

/2/" étant la perpendiculaire élevée au milieu de AB. On en déduit :

î/= AB X — • ^ ac

Mais on peut remplacer le rapport — par un rapport

entre de longueurs finies; portons suivant ac une longueur arbitraire ad; menons la verticale c'&' qui coupe en &' la tangente ab au heu des centres de gravité des joints; menons parallèlement au joint A'B' ou A B la droite &'d' qui coupe en cV la normale art' au joint; joignons le point cV au point de rencontre des joints AB et A'B' ; on a successivement :

ad __ ab' ^ ad' ^ hf lie ~ ab ~ ad hf

^^r -ML.

<^oû T^- ad

La valeur de y devient :