Voûte en arc de cercle tlVpaisseur constante
Supposons (fig. 163) que l'extrados et l'intrados soient établis suivant deux cercles concentriques ; les joints passent par le centre de ces deux cercles, les milieux des joints se trouvent sur une circonférence dont le raj'on est la demisomme des rayons de l'intrados et de l'extrados. Soient : ds, l'élément de cette circonférence compris entre deux joints infiniment voisins ; e, l'épaisseur de la voûte. Le poids du voussoir infiniment petit compris entre les deux joints est n^eds. Développons l'arc 5sur l'axe AB ; portons AD = e ; Ti^es est le poids du rectangle ABCD. Soit A F la base d'intégration, on obtient l'intégrale AE; BE est le poids total; les ordonnées delà droite AE donnent les poids des diff"érentes parties de la voûte comprise entre la clef et un joint quelconque. Soit QO la poussée; QO 123 est le diagramme des pressions ; menons les verticales des centres des gravités des voussoirs ; on obtient la ligne des pressions 0 12 3.
Le lieu des centres de gravité des joints est ici une circonférence ayant pour centre le centre de l'intrados et de l'extrados; il suffit de déterminer le centre de gravité d'un joint pour avoir tous les autres. On peut décomposer un voussoir quelconque en voussoirs infiniment petits ; les poids de ces voussoirs se répartissent uniformément sur la circonférence des centres de gravité des joints ; on obtient donc le centre de gravité d'un voussoir en cherchant le centre de gravité d'un arc de cette circonférence.
Donnons quelques détails sur la manière de développer un arc de cercle, et d'en chercher le centre de gravité.
ÎJ34. Développement d'un arc de cercle.— En divisant l'arc en arcs assez petits , on peut les remplacer par leurs cordes; l'erreur relative t, c'est-à-dire le rapport entre
INTEGRATION GRAPHIQUE. 331
l'erreur absolue et l'arc à mesurer se calcule par la formule suivante.
Soieiit(fig. 161) G = 2ç l'angle au centre du petit arc, R le raj'on ; on a :
2Rsin(p — 2Ry __<?*, ?*
On obtient t = 0,001 pour ? =^ 77; o^ ^ =^ "^ î ^^ prenant
des dixièmes de cadran , l'erreur est donc assez petite pour pouvoir être considérée comme nulle dans les applications.
Deuxième méthode. — L'erreur commise par la méthode précédente peut s'exprimer en fonction de la flèche CD = / :
/•■=R(1 .cos9)=-R^-f ...
En négligeant les termes en tp* , on trouve :
On corrigera la partie principale de l'erreur en prenant : On peut prendre aussi :
Soit DE le tiers de la flèche CD ; menons par E la droite HK parallèle à la corde AB : la formule (2) donne : s = HK.
On trouve que l'erreur commise par cette méthode est :
EK — Rcp 9^ = — +
'"~ Ro ~ 20 "*" ■ ■ 320"^ '■
Troisième méthode. — La formule ( 1 ) conduit à la solution suivante. Soient CE' une droite égale au tiers de CD ;
332 INTEGRATION GRAPHIQUE.
A'B' une droite égale et parallèle à la corde menée par le point C ; on trouve :
L'erreur relative commune est
sin9
coscp
Quatrième 7néthode. — Les deux constructions précédentes ne diffèrent que par la position à donner au tiers de la flèche ; dans la première , on le porte en DE , dans la seconde, on le porte en CE'. Portons le tiers de la flèche dans une position intermédiaire FM; déterminons cette position de manière à annuler le terme en o* de l'erreur relative. On trouve :
CM
