CF= - CD

L'erreur relative devient alors :

335. Centre de graiilé d'un arc de cercle. — Le centre de gravité d'un arc de cercle ACB (fig. 162) se trouve sur l'axe de symétrie OC et à une distance du centre déterminée par la formule suivante qui se trouve dans tous les traités de mécanique :

corde

a,. = RÏ51 = R

arc

Soit /"la flèche de l'arc :

/ = R(1 - 008^) = Rj ^

coscp ) = K I ^r- — J-

Prenons comme valeur approchée de x :

L'erreur relative commise en prenant cette valeur est ;

^ 'ÔC ~ 1920 "^ ■■■

Donc en divisant la flèche d'un arc de cercle en trois parties égales, le point de division le plus rapproché de la circonférence diflère peu du centre de gravité de l'arc.

L'erreur relative commise varie comme la quatrième puissance de l'arc ; pour l'arc de l'hexagone régulier et du dodécagone régulier, on trouve respectivement :

On peut d'ailleurs déterminer le centre de gravité d'un arc quelconque avec une approximation aussi grande que l'on veut en opérant comme il suit. Divisons l'arc ACB en deux parties égales ; les poids des deux moitiés AC et CB sont symétriquement placés par rapport à l'axe de symétrie OC ; donc le centre de gravité de l'arc ACB est la projection orthogonale sur OC du centre de gravité de l'arc CB. Si on détermine le centre de gravité de l'arc CB par la méthode précédente , on commet une erreur relative de :

En divisant l'arc CB en deux parties égales , en projetant le centre de gravité de l'arc CB sur OC et le point ainsi

334 INTEGRATION GRAPHIQUE.

obtenu sur OC, on obtient le centre de gravité avec une approximation 16 fois plus grande encore. On peut, en poussant plus loin la division, obtenir une approximation aussi grande que l'on veut.

33G. 4utre manière de trouver la longueur d^un arc de cercle. — Nous avons rappelé la formule :

on en déduit :

Soit E le centre de gravité de l'arc ; portons A'B' = A B ; on trouve :