CHAPITRE V

Solutions stables dans le cas d'une résistance limitée.

§ 1. Méthode d'élimination par les enveloppes.

395. Principe de la méthode (1). — Considérons d'abord la stabilité élastique du joint a& (flg. 180) situé au sommet de la voûte ; la pression maxima engendrée par la poussée ne doit pas dépasser une certaine limite R' ; nous avons vu (250) comment on peut tracer la ligne bea des plus grandes pressions totales que le joint peut supporter; cette ligne bea constitue une pression limite que la poussée ne peut dépasser. Soit ensuite un joint quelconque cd; traçons de même la ligne cfd des plus grandes pressions normales que ce joint peut supporter et les conjuguées AB et CD des

(1) C'est la méthode de M. Durand-Claye. Voir la note du numéro 364.

courbes cf et df\ rextrémité de la poussée doit rester à l'intérieur du quadrilatère ABCD pour qu'il n'y ait pas danger d'écrasement dans les joints ad et cd. Déplaçons le joint cd; pour toutes les positions , traçons les courbes analogues à AB et CD ; traçons le contour qui limite l'aire intérieure à tous les quadrilatères analogues à ABCD ; cette aire est l'aire des solutions stables.

30G. Tracés graphiques. — Nous savons (250) comment on trace les lignes be, ae, df, cf; chacune de ces lignes comprend une droite et un arc d'hyperbole. Les arcs d'hyperboles sont presque toujours inutiles à considérer , car ils se rapportent à des centres de pression situés près du milieu du joint; or, si on atteint déjà la pression limite dans ce joint, ces pressions seront dépassées dans les joints où le centre de pression s'éloignera du milieu ; les arcs d'hyperboles représentent donc presque toujours des solutions instables et il sera inutile de les tracer.

Il faut aussi construire les conjuguées des lignes df et ef; à un point de ces lignes , correspond une pression normale et un centre de pression .sur le joint cd; on détermine la poussée et le centre de poussée par une méthode exposée au numéro .344. On obtient ainsi un point de la conjuguée; on peut trouver la tangente à ce point par le théorème du numéro 359. On détermine un nombre suffisant de points pour tracer ces conjuguées AB et CD et mener l'enveloppe intérieure de ces courbes (1).

(1) Les lignes d/' et c/* sont formées chacune d'une droite et d'un arc d'hyperbole équilatère. La conjuguée de la droite est une hyperbole non équilatère passant par le point T conjugué de N = 0 ; on peut déterminer graphiquement ses asymptotes. La conjuguée de l'hyperbole (357, corollaire) est une hyperbole équilatère dont l'asymptote autre que ab est l'horizontale de l'un des points qui divisent cd en trois fiarties égales.

382 INTEGRATION GRAPHIQUE.

§ 2. Élimination des solutions instables par les maxima et minima.

307. Principe de la niétiiodc. — Donnons-nous le centre de poussée m\ les poussées stables sont comprises entre deux limites qui sont déterminées par les enveloppes des courbes ab , c<^ ; on reconnaît aisément qu'on obtient ces limites en cherchant le minimum de l'ordonnée Nm, et le maximum de l'ordonnée Mm lorsqu'on fait varier le joint cd.

30$. Tracé graphique. — Cette méthode ne conduit pas à un tracé graphique très simple. Mentionnons pour mémoire les deux suivants : 1° on peut chercher les ordonnées Nm et Mwi en traçant les courbes AB et CD; 2° on trace la conjuguée du point m ; cette conjuguée coupe la ligne elfe en deux points , les ordonnées Nm et Mm correspondent à ces deux points. On cherche le maximum de Mm et le minimum de '^m comme au numéro 367.

§ 3. Méthode directe.

309. Principe de la méthode. — Considérons une solution stable; faisons croître la poussée; la courbe de pression se relève et s'approche de l'extrados. La pression par unité de surface en certains points de l'extrados devient de plus en plus grande ; il arrivera donc un moment oti la pression en un certain point dangereux atteindra la pression hmiteR'; la poussée correspondante sera une poussée maxima. Si , au contraire , on diminue la poussée sans changer le centre de poussée , la courbe de pression s'approche de l'intrados , et il arrivera un moment où la pression en un certain point dangereux atteindra la limite R'. Deux cas bien différents peuvent se présenter : 1° on peut atteindre la pression limite R' aux sommets ab ou aux extrémités cd de l'intrados ou de l'extrados ; 2° on peut atteindre la pression R' en un point intermédiaire. Dans ce dernier cas, la pression dans le joint dangereux est plus grande que dans les joints

INTEGRATION GRAPHIQUE. 383

qui précèdent et qui suivent; donc la pression passe par un maximum R'; dans le second cas, R' est simplement une plus grande valeur. Nous sommes ainsi amené à résoudre le problème suivant : tracer une courbe de pression telle que dans un Joint doniié la p^^ession à t extrados ou à Vintrados passe par un mi^iimum égal à R'. A chacune de ces courbes de pressiou , correspond un point du contour limite; mais ce contour pourra comprendre aussi des arcs de la ligne bea et de la coujuguée de la ligne cfd.

400. Équations du problème. — Pour fixer les idées, nous nous donnerons le point dangereux à l'intrados. Soit cd{ûg. 181) le joint donné ; on veut déterminer la poussée et le centre de poussée par les deux conditions suivantes : au point c, la pression par unité de surface est égale à R' et cette pression est plus grande que dans les joints voisins. Soient : ^ = QA la poussée inconnue; P = AP le poids du tronçon de voûte compris entre le sommet et le joint cfZ; cp l'angle de ce joint avec la verticale ; N la force normale qui sollicite le joint; on a :

N = g cos 0 + P sin ^ .

Soit u = cB la distance du centre de pression à l'intrados, on doit avoir :

Nous supposons la loi du triangle ; nous avons déjà fait remarquer que ce cas se présentera presque toujours (399) ; si la suite des opérations indiquait que cette hypothèse n'est pas la vraie , il faudrait reprendre les calculs avec la formule qui s'applique à la loi du trapèze. Nous devons aussi exprimer que la pression passe par un maximum ; nous écrirons :

du dN ,,

384 INTEGRATION GRAPHIQUE.

On sait qu'il faut deux conditions pour déterminer une courbe de pression ; les équations ( 1 ) et (2) suffisent donc pour résoudre le problème. Nous remarquerons cependant que l'équation (2) convient aussi au cas où la pression par unité de surface passe par un minimum R'; ces solutions sont instables, on les éliminera facilement. Il nous reste à mettre l'équation (2) sous forme finie en calculant du et <^N.

Calcul de du. — On a (si cA, BE sont perpendiculaires au joint) :

du = c'B' — cB = EB' — c'H.

Soient : w' = angle EBB' = angle P"QN , k =anglec'cH, r le rayon de l'intrados , d(^ l'angle des deux joints cd c'd'.

On a : c H == rrf^ ; c'H = cHtgife = r igk dv ;

EB = (r + u) d'f ; EB' = EB tg w' = (r + u) tg oV d cp ; on en déduit :

du^(r -\- u)tg(ù'df — rtgkd(p. (3)

Calcul de dN. — On a :

dF rfN = — qsmzd:^ + Pcosxd'z^ + ir- siu^d?. (4) ' ' ' ' d'y ' '

Soit : (ù -= angle PQN.

On a NP = g- sin 9 — P cos cp , or ~NP = Ntgoo , Donc: ^sin'v — Pcoso = Ntgco. (5)

D'autre part , nous avons trouvé pour la force fictive (348) :

dF a — X .

do X ^

Soit G le centre de gravité du joint ; posons : Ui = cG , au point c on a :

au point B , on a :

p =-r- ~&ino , (6)

do r ' ^ '

dP u. —u .

i>' = - '— — sin(?. (7

Au moyen des équations (5) et (6), on peut transformer la valeur de rfN, on trouve :

rfN = — NtgwrZo 4-^rf9. (8)

L'équation (2 ) devient , en remplaçant du et dN par leurs V aleurs :

Les (équations ( 1 ) et ( 9) sont les équations du problème ; on reconnaît, en effet, que toutes les inconnues N, ii, oj, w', q ne dépendent que de deux inconnues. Par l'élimination, on ramènera la question à la résolution d'une seule équation à une inconnue.

<i01. Choix et détermination de Tineonnue. — Soit PP' = Il , nous choisirons pour inconnue l'angle :

z = P'QN.

On a :

tg £ = tg co + ^ ,

tg£ = tgco'^-i^.

Tirons de ces équations les valeurs de tgw etdetgw , introduisons-les dans l'équation (9); on trouve :

(r4-2zOtgc = rtg/H-(>'+2u+^')-^ -(^rJ,U)^l (10)

Des équations (6 ) et (7), on tire :

, i<, — u r Ui r + u

L'équation (10) devient , eu éliminant x/ :

(r + 2 u) tg £ = r tg -f ^ ^- ^'^ + w, ).

d'où l'on tire :

tg h , 21) u r 4- u.

tg £ = \-

1 i 0 il ^ w, r + 2m r

386 INTEGRATIOxX GRAPHIQUE.

Déterminons N, par l'équation :

3 Ut

N II On a : N, = ; la valeur de tg t devient :

tg,„^«^ + |?! L. („)

Les longueurs 21 et r«, sont très petites, comparées au

rayon r de l'intrados ; on peut négliger vis-à-vis de l'unité

Il u

les termes 2 — et — f- ; cette simplification est d'autant

plus admissible que la valeur de tg î est très petite, et qu'ainsi Terreur commise est une fraction très petite d'une quantité qui est elle-même très petite. On trouve :

tg£ = tg + |^. (12)

L'angle s détermine la direction de la droite P'Q et par conséquent la poussée QA. On connaît alors la pression N, on en déduit u au moj'en de l'équation (1); la courbe de pression est déterminée par le centre B et la poussée ; on obtient le centre de poussée et un point de la courbe des poussées minima. La détermination de ce point s'opère par le tracé graphique suivant.

409. Tracé graphique. — Déterminons d'abord la poussée minima Q'A qui correspond au joint dangereux cd dans le cas dune résistance illimitée; pour cela (369), portons : le poids P du tronçon de voûte correspondant en AP , la force fictive i;, prise en sens contraire en PP'; menons P'Q' parallèlement à l'élément ce' de l'intrados; on obtient Q'A. Construisons sur PP' et P'Q' prolongé un parallélogramme PP'ST dont la hauteur perpendiculaire à PP' soit

égale à — N, = ÏK , valeur de la force normale maxima au

milieu I de cG, distance comprise entre l'intrados et le centre de gravité du joint ; la diagonale P'T détermine l'extrémité Q de la poussée. On obtient le centre de pression B par la condition BM = QN.

Intrados normal aux joints. — Presque toujours les joints sont dirigés normalement à l'intrados ; dans la construction précédente on doit faire ^ = 0 ; on applique alors la règle suivante (fig. 182) : on porte le poids P du tronçon de voûte en AP , la force fictive prise en sens contraire en

N PP' , la force normale maxima -^ au milieu de la distance

du centre de gravité du joint à l'intrados enTP, on mène TP' qui détermine la poussée QA.

Point dangereux à t extrados — Si l'on établit que la pression par unité de surface à l'extrados passe par un maximum R' en un certain point donné, on obtient les mêmes équations , sauf en ce qui concerne le signe de la force fictive ; on est donc conduit au même tracé graphique (fig. 183) : on porte AP = P; PP' = — p , force fictive prise en sens contraire pour un centre de pression à l'extrados ; on mène P'Q' parallèlement à l'élément dd^ de l'extrados ; sur PP' et sur P'Q' prolongé, on construit un parallélogramme dont la hauteur perpendiculaire à PP' soit égale à l'K' la force normale maxima au milieu I' de la distance à l'extrados du centre de gravité du joint; la diagonale P'T détermine l'extrémité Q de la poussée QA ; on trouve le centre de pression B en portant N en BM.

4103. Contour limite. — Soit (fig. 180) la voixl^ahcd. Pour chaque position du point dangereux à l'intrados, on obtient une poussée minima ; en faisant mouvoir ce point dangereux sur l'intrados , on obtiendra une courbe A'X ; nous reconnaîtrons bientôt que cette courbe est l'enveloppe des conjuguées de toutes les lignes analogues à c^ Si de même nous faisons mouvoir le point dangereux sur l'extrados, nous obtenons la courbe D'Y. En considérant les poussées qui correspondent aux pressions R' aux quatre points ab cd.

388 INTEGRATION GRAPHIQUE.

nous obtenons Taire ABCD ; la courbe A'X enlève une partie de cette aire , nous obtenons finalement la surface A'B'CD. Nous reconnaissons ainsi que la courbe D'Y, dans le cas de la figure, doit être écartée du contour limite ; il est facile de voir yjourquoi ; à un point de cette courbe correspond une courbe de pression telle , que la pression en un point de l'extrados passe par un maximum ou un minimum égale à R' ; mais la position de cette courbe en dehors du quadrilatèi-e ABCD prouve qoe la pression en & et d est plus grande que R': donc R' est ici une valeur minima de la pression et c'est la raison pour laquelle les courbes de pression représentées par D'Y sont toutes instables.

§ 4. Propriétés des courbes limites.

Nous connaissons suffisamment les propriétés de lignes ae, be (fig. 180) et des conjuguées des lignes cf, fd; nous nous occuperons exclusivement des courbes A'X et D'Y; pour simplifier le langage nous appellerons respectivement ces courbes les conjuguées des pressions limites à l'intrados et à lextrados.

4I04. Théorème 1. — La conjuguée des pressions limites à l'intrados est l'enveloppe des conjuguées des lignes analogues à cf. La conjuguée des pressions limites à V extrados est Venvéloppe des conjuguées des lignes analogues à df.

Cette propriété peut être considérée comme la conséquence de la première méthode que l'on peut employer pour trouver les courbes limites (395) ; elle peut aussi se démontrer directement. L'intersection des conjuguées de deux courbes analogues kcf, correspond à la courbe de pression qui produit une pression R' en deux points de l'intrados; si ces deux points deviennent infiniment voisins, on obtient un point de Tenveloppe de ces conjuguées et ce point correspond à une courbe de pression telle que l'on atteint la pression R' en deux points infiniment voisins de l'intrados. Si la pression à l'intrados est égale à R' en deux points infiniment voisins,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 389

c'est qu'en général elle passe par un uiaximum ou un minimum en ce [loint. Donc le point où la conjuguée de c/" touche son enveloppe, est le point de la conjuguée des pressions limites à l'intrados qui correspond au joint cd.

On démontre de la même manière que le point où la conjuguée de df touche son enveloppe, est le point de la conjuguée des pressions limites à l'intrados qui correspond au joint cd.

405. Tlicorèoie II. — Si Von fuit tourner la sous-tangente de la courbe limite, de 180° aidour de l'ordonnée horizontale, si l'on fait tourner de 180'^, la distance du point dangereux au centre depressioyi correspondant, aidour de ce centre de pression , on obtient deux points au même niveau.

En effet , cette propriété existe pour la conjuguée d'une ligne analogue à cf; il suffit d'appliquer le théorème du i.uméro 371. Soit X le conjugué du [loint K, portons ch = hF'\ menons l'horizontale FF'; Yx est la sous-tangente renversée. Or la tangente à l'enveloppe se confond avec la tangente à l'une de ses enveloppées; soit X le point de la courbe limite qui correspond au point dangereux c, soit k le centre de pression correspondant; la tangente en X n'est autre que la tangente conjuguée de la tangente cK; cela démontre la propriété.

400. Théorème Mil. — La conjuguée des pressions limites à l intrados touche la ligne ae des poussées qui produisent une pression R' au sommet de Vinirados; la conjuguée des pressions limites à V extrados touche la ligne be des ptoussées qui produisent une pression R' au sommet de Vextrados.

Nous avons démontré que la courbe AX est l'enveloppe des conjuguées des lignes analogues à cf; si le point c vient se confondre avec « , cette conjuguée devient la ligne «e; donc la ligne AX touche la ligne ae. Ou démontre de la même manière que la ligne B' touche la ligne he.

300 INTEGRATION GRAPHIQUE

§ 5. Formes de la conjuguée des pressions limites à l'intrados.

407. Intrados d'égale résistance. — Supposons que pour une courbe de pression, la pression par unité de surface à l'intrados soit constante et égale R' ; nous dirons que l'intrados est d'égale résistance. Soit AA' (fig. 184) la [loussée qui engendre cette courbe de pression; pour obtenir un point de la conjuguée des pressions limites à l'intrados , on doit se donner la pression R' en deux points infiniment voisins de l'intrados ; quels que soient ces deux points on trouvera une courbe de pression unique , c'est celle qui correspond à la poussée AA' ; la courbe enveloppe se réduit donc au point A : on vérifie facilement que toutes les enveloppées passent par ce point.

408. Wes difTércnts genres d'intrados. — L'intrados d'une voûte peut différer de l'intrados d'égale résistance dans un sens ou dans l'autre. Donnons-nous la pression R' en deux points infiniment voisins de l'intrados ; la pression passe par un maximum ou un minimum. Si la pression passe par un maximum, nous dirons que l'intrados est du 2?>"e»i^er genre ; si la pression passe par un minimum, nous dirons que l'intrados est à.\x second genre; dans ce dernier cas, le point oti la pression est R' n'est plus un point de plus grande fatigue , c'est au contraire un point de moindre fatigue. Les courbes d'intrados peuvent se composer d'arcs du premier et du second genre. L'intrados sera du troisième genre, si sa partie supérieure est du second genre et sa partie inférieure du premier. L'intrados sera du quatrième genre si sa partie supérieure est du premier genre et sa partie inférieure du second.

Cette classification ressemble à la classification que nous avons adoptée pour le cas d'une résistance illimitée; les deux classilicatious ne sont cependant pas identiques, car la courbe de passage du premier au second genre est la courbe d'égale résistance et elle dépend de la limite R'.

Toutefois on peut montrer que les deux classifications ne diffèrent que dans les cas voisins des courbes de passage. En effet, dans le cas d'une résistance illimitée, l'intrados est du premier genre, s'il est touché supérieurement par les courbes de pression; pour une courbe de pression tangente à l'intrados, la pression à l'intrados passe au point de^contact par un maximum égal à l'infini ; élevons le centre de poussée d'une quantité convenable; la pression dans les environs du point de contact passera par un maximum égal à R'. Ce raisonnement suppose que dans la valeur de^la pression

l'influence de la diminution de u domine l'influence de l'augmentation de N ; cela ne se produirait pas si u variait très peu, c'est-à-dire si la courbe de pression tangente coïncidait presque avec la courbe d'intrados : ce ca°s est exceptionnel.

D'après ce que nous avons dit précédemment (375, 376, 377, 378), l'intrados en arc de cercle et en anse de panier est du premier genre; l'arc ogival est du second; l'ogive complète est du troisième; le quatrième genre est exceptionnel.

lOO Inlpados du premier genre - Donnons nous à 1 intrados un point où la pression passé par un maximum R' • déplaçons ce point du sommet vers la naissance; l'extrémité la poussée décrit une courbe; le premier élément touche la ligne ae(fig. 180), l'élément extrême touche la ligne A X La poussée qui correspond à un point de cette courbe doit produire à l'mtrados des pressions moindres que R', sauf au pomt de plus grande fatigue où la pression est R'- il faut pour cela que cette courbe soit située eu A'X, dansVanc^le CAX, car tous les points en dehors de cet angle correspondent à des poussées qui produisent, soit en a, soit en c des pressions supérieures à R'. La courbe présente un élément horizontal. On peut (405) tracer la tangente en un

392 INTEGRATION GRAPHIQUE.

point quelconque de la ligne AX, on reconnaît facilement à quel point dangereux correspond l'élément horizontal. On peut aussi démontrer que le point A' correspond à la courbe de pression qui produit une pression R' en quatre' points infiniment voisins du sommet a.

410. Iiilrados du deuxième genre. — Donnons-nous (fig. I85j à l'intrados un point où la pression passe par un minimum R'; déplaçons ce point du .sommet vers la naissance; l'extrémité de la pous.sée décrit une courbe; le premier élément touche l'enveloppée ea, l'élément extrême touche l'enveloppée A B ; mais la poussée qui correspond à un point de cette courbe produit en 6ï et en c des pressions plus grandes que R' ; il faut pour cela que cette courbe soit située en A'X dans l'angle opposé à DAB. Elle présente aussi un élément horizontal. Dans ce cas la ligne A'X ne limite pas les poussées stables; la courbe limite est formée par les deux enveloppées AD et AB.

4LI I. Intrados du lroi!»iènic genre. — La partie supérieure de l'intrados est du deuxième genre; la partie inférieure est du premier genre. Nous n'avons pas représenté la courbe d'intrados (fig. 186); cependant nous désignerons la partie supérieure par ai, la partie inférieure par ic. En raisonnant comme précédemment, on voit qu'à l'arc ai correspond l'arc A'I et qu'à l'arc îc correspond l'arc IX. Ces deux arcs doivent avoir en I un point de rebroussement. La limite des poussées stables est formée par l'arc IX complété par l'enveloppée «D et quelquefois par AX.

4I'Î. Intrados du qnalriènie genre. — A la partie supérieure de l'intrados, correspond l'arc AI (fig. 187); à la partie inférieure correspond l'arc IX; la limite des solutions stables comprend une partie A'B de l'arc AI , et les deux enveloppées extrêmes BC et EA.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 393

§6. Formes de la conjuguée des pressions limites à l'extrados.

La conjuguée des pressions limites à l'extrados peut présenter toutes les mêmes dispositions que la conjuguée des pressions limites à l'intrados ; il n'y a de différence que dans la détermination des parties utiles de la courbe.

413. Extrados d'éj^ale rcsii^taiice. — Pour une poussée ce (flg. 184 ) , la pression en tous les points de l'extrados est constante et égale à la limite R'. La conjuguée des pressions limites à l'extrados se réduit à un point unique C ; on vérifie aisément que toutes les enveloppées passent parce point; les deux enveloppées CB et CD qui correspondent au som.met et à l'extrémité de l'extrados font partie de la courbe limite des solutions stables.

11-1. Exlrados du premier genre. — On se donne une pression R' en deux points infiniment voisins de l'extrados ; l'extrados est du premier genre quand la pression à l'extrados passe par un minimum en ces points. On trouve une courbe D'Y (fig. 180) , car elle doit correspondre à des poussées qui produisent en a et rf des pressions supérieures à R'. Les arcs BC et CD des enveloppées extrêmes font partie de la courbe limite.

415. E\irados du deuxième genre. — On se donne une pression R' en deux points infiniment voisins de l'extrados ; on détermine la courbe de pression par ces deux conditions ; l'extrados est du second genre quand la pression passe par un maximum enjces points. Les poussées que Ton obtient ainsi produisent en a et c (fig. 185) des pressions inférieures à R'; on trouve une courbe C'Y dont une partie forme limite des solutions stables.

41 G. Extrados du troisième genre. — La partie supérieure est du deuxième genre ; la partie inférieure est du premier.

La conjuguée des pressions limites à l'extrados a la forme

394 INTEGRATION GRAPHIQUE.

B'I'Y(fig. 186); elle présente un point de rebroussement l' qui correspond an point de séparation entre les deux parties de l'extrados. L'arc B'C de l'enveloppe, l'arc EB' de l'envelopitée hC , l'arc CD de l'enveloppée extrême DY font partie de la courbe limite des solutions stables.

417. Extrados du qaatricmc genre. — La partie supérieure de l'extrados est du premier genre , la partie inférieure est du second genre. La conjuguée des pressions limites à l'extrados a la forme B'I'Y (fig. 187) ; elle présente un point de rebroussement. L'arc E'D' de la courbe enveloppe, et quelquefois deux arcs des enveloppées extrêmes font partie de la courbe limite des solutions stables.

§ 7. Forme de l'aire des solutions stables.

Nous avons étudié les formes des diverses parties de la courbe limite; il nous reste à discuter les positions relatives de ces courbes; cette discussion est presque la reproduction de celle que nous avons faite dans le cas d'une résistance illimitée (389 à 393).

4118. Intrados et extrados d'égale résistance. — L'aire des solutions stables est un quadrilatère ABCD (fig. 184) formé par les conjuguées des pressions limites aux sommets et aux extrémités de l'extrados et de l'intrados. Cette forme de voûte est celle qui donne la plus grande surface des solutions stables.

Si on réduit l'épaisseur de la voûte, l'aire ABCD diminue ; pour une certaine épaisseur cette aire se réduit en un point ; cette épaisseur est l'épaisseur miniraa. La courbe de pres.sion doit alors produire une pression R' en tous les points de l'extrados et de l'intrados ; dans chaque joint les pressions doivent suivre la loi du rectangle ; la courbe de pression unique coïncide avec la ligne centrale de la voûte ( 1 ).

( 1 ) Pour une épaisseur voisine de l'épaisseur minima, la loi des pressions dans chaque joint est la loi du trapèze ; le quadrilatère des solutions stables est formé de quatre arcs d'hyperboles; on démontre facilement que chaque arc est la conjuguée d'un centre de pression 5xe ( 357 ).

INTEGRATION GRAPHIQUE.' 395

410. Iiiirados el extrados du prciulci* ^enre. — L'aii'C des solutions stables est A'B'CD (fig. 180); si l'intrados était d'égale résistance, cette aire serait ABCD; l'aire A'B'BA est la partie à retrancher; elle peut prendre toutes les formes depuis le point A et la forme triangulaire jusqu'au quadrilatère; cela dépend de la forme de l'intrados. Si on diminue l'épaisseur de la voûte , l'aire des solutions stables se réduit comme l'indique les surfaces hachurées. Pour une certaine épaisseur, il ne reste plus qu'une solution stable. Elle produit sur l'intrados des pressions qui passent par un maximum R' ; à l'intrados , la pression est aussi égale à R', au sommet et à l'extrémité.

490. Inirados el extrados du second genre. — L'aire des solutions stables est ABCD' (fig. 185); si l'extrados était d'égale résistance, on obtiendrait l'aire ABCD; l'aire à retrancher DCC'D' est d'autant plus grande, que l'extrados diffère de la forme d'égale résistance.

Si on diminue les épaisseurs de la voûte, l'aire des solutions stables diminue comme l'indique les figures hachurées. Pour une certaine épaisseur, il ne reste qu'une courbe de pression stable. Elle produit sur l'extrados des pressions qui passent par un maximum R'; à l'intrados la pression atteint aussi la limite R', au sommet et à l'extrémité.

491. Intrados et extrades du troisième genre. — L'aire des solutions stables a la forme FEB'C'D (fig. 186); si l'intrados et l'extrados étaient d'égale résistance, cette aire serait ABCD ; les angles C et A sont enlevés ; les aires à retrancher dépendent de la forme de la partie supérieure de l'intrados et de la partie inférieure de l'extrados.

Si on diminue les épaisseurs de la voûte, l'aire des solutions stables diminue comme l'indique les figures hachurées. Pour une certaine épaisseur, il ne reste qu'une courbe de pression stable ; elle produit sur l'extrados des pressions qui ont un maximum R'; elle produit à l'intrados des pressions qui ont un maximum R' et une plus grande valeur R' à l'extrémité. Le maximum à l'extrados pourrait être remplacé par une plus grande valeur.

396 INTEGRATION GRAPHIQUE.