SCIENCE EXACTE

8§9. — Notre système de constructions repose sur trois idées fondamentales dont nous revendiquons la priorité : 1» constituer l'intégration graphique comme science exacte, 2® remployer comme opérateur universel, 3« déterminer les constantes d'intégration en rapportant les intégrales générales à des lignes de repère paraboliques (i).

Le calcul intégral comprend des méthodes d'intégration exacte et des formules de quadratures approchées. Avant nos travaux, il n'existait, comme intégration graphique, que la méthode inverse des tangentes, c* est-à-dire un tracé grossièrement approché, équivalent à la méthode des rectangles (Sonnet) ou des trapèzes (Solin). Nous avons pensé que l'intégration graphique pouvait avoir, comme le calcul intégral, des méthodes exactes, des procédés d'investigation, des constructions approchées équivalentes aux meilleures formules de quadrature. Une courbe dérivée peut être déterminée par des éléments suffisants : points, tangentes, ou autres lignes; dans notre système, l'intégration graphique consiste à construire exactement des éléments suffisants pour déterminer les courbes intégrales de divers ordres. Ces courbes intégrales ne se tracent que si on en a

(1) Ces trois idées sont formulées dans une note que nous avons publiée dans le bulletin mensuel de TAssociation des ingénieurs sortis des Écoles spéciales de Gand (décembre 1877). Dans les thèses que nous avons publiées et défendues en 1874, nous avions déjà indiqué en termes généraux les problèmes que l'on pouvait résoudre par l'intégration graphique; mais nous n'avions pu, dans des énoncés concis, indiquer la nature de nos méthodes. Le mémoire, dont la note de 1877 était un résumé, a été augmenté de plusieurs recherches nouvelles annoncées en 1884 (Revue universelle des mines); ces questions ont fait l'objet de plusieurs causeries données en 1884 et 1885 à la section de Gand de l'Association des ingénieurs.

besoin; dans bien des problèmes, les polygones qui les remplacent suffisent.

On peut dire que notre système est l'opposé de celui de MM. Sonnet et Solin: dans la méthode inverse des tangentes, on trace effectivement la courbe intégrale par éléments aussi petits que possible; au contraire, nous représentons les courbes entières par des polygones de quelques côtés qui permettent d'effectuer exactement les intégrations ultérieures; nous ne nous préoccupons pas des courbes intégrales, sachant bien que, quand nous le voudrons, nous en trouverons facilement une ordonnée et ses dérivées.

Nous nous sommes occupés spécialement des fonctions entières, parce qu'elles suffisent pour résoudre la plupart des problèmes relatifs à fart de l'ingénieur; dans ce cas, toutes les constructions sont linéaires. Mais il est facile d'appliquer ces principes à toutes les fonctions. Ainsi, par exemple, dans l'intégration des fractions rationnelles, on introduit les courbes

y = A log (a? — a).

Une courbe de cette espèce est complètement déterminée par son asymptote et un point x = a + ej y = A. Si plus tard, on doit tracer la courbe, on se servira d'un patron logarithmique. De même, en représentant par des patrons les fonctions transcendantes sin x, sin amXy cos amXj etc., on peut intégrer graphiquement toutes les expressions que Ton intègre analytiquement. Dans les applications, les fonctions que l'on rencontre sont généralement ou entières, ou trop compliquées pour pouvoir être intégrées exactement. Dans ce dernier cas, nous remplaçons la courbe dérivée par une parabole d'interpolation; nous pouvons alors trouver les intégrales de divers ordres par des polygones ayant un nombre de côtés restreint et sans faire de nouvelles erreurs. Dans l'intégration successive par éléments très-petits, au contraire, on commet des erreurs grossières à chaque

intégration et ces erreurs s'accumulent en s'ajoutant aux précédentes.

L'intégration graphique des équations différentielles conduit aussi à des résultats utiles ; nous avons montré par des exemples (724) que Ton pouvait par la géométrie intégrer des équations qui résistent assez bien aux méthodes analytiques (1).

Nous considérons l'intégration graphique comme l'opérateur universel ; si la différentiation est la méthode générale d'étudier les fonctions connues, c'est l'intégration qui engendre les fonctions inconnues; comme l'intégration comprend comme cas particulier la sommation et la multiplication, on peut dire qu'aucune question ne peut résister à l'intégration graphique. Il y a plus : tous les problèmes utiles à l'art de l'ingénieur se ramènent à construire des intégrales de divers ordres; exemples : lignes des surfaces, courbes de moments, lignes de résultantes, ' lignes de pression, courbes funiculaires, lieu des efforts tranchants^ des moments fléchissants, courbes élastiques, etc. La plupart de ces propriétés étaient ignorées : Rossin avait bien inventé les courbes intégrales, mais il n'avait pas publié ses recherches et il n*avait appliqué Tintégration graphique qu'aux moments du premier et du second degré. L'existence de la statique graphique nous démontrera plus loin que Culmann

(1) Nous avons eu roccasion, quand nous étions en service, d'appliquer l'intégration graphique aux équations aux dérivées partielles. On se donne des courbes arbitraires et s'il y a lieu, des dérivées le long de ces courbes ; on détermine les éléments de proche en proche. Les discontinuités des courbes arbitraires se propagent suivant les caractéristiques de Monge. Dans le mouvement varié des eaux courantes, ces caractéristiques représentent le mouvement de deux ondes infiniment petites, Tonde d'amont, l'onde d'aval ; Tonde devient finie quand il y a mascaret. Dans la poussée des terres ces caractéristiques divisent le massif en régions ; une des régions se trouve sous Tinâuence du mur de soutènement ; une autre se trouve dans les mêmes conditions que si le massif était indéfini. Ces recherches feront l'objet d'un mémoire spécial.

et ceux qui l'ont suivi ignoraient complètement que la courbe funiculaire fût une intégrale seconde.

L'idée des lignes de repère nous a paru indispensable pour trouver simplement une intégrale particulière au moyen de l'intégrale générale. C'est la considération de ces lignes de repère qui nous a amené à chercher pour les paraboles des polygones d'intégration permettant d'exprimer facilement le contact des paraboles entre elles et des paraboles de repère avec l'intégrale générale.

883. Problèmes simples de rintégratlon exacte. — Si la courbe dérivée est une ligne à gradins, on trouve immédiatement que la ligne intégrale est un polygone dont les directions des côtés s'obtiennent par le triangle de Leibnitz. Si la courbe dérivée est un polygone, on remplace chacun des trapèzes par un rectangle ou deux rectangles équivalents et on est ramené au cas précédent; la ligne intégrale est une suite d'arcs paraboliques du second degré; chacun d'eux est complètement déterminé par deux tangentes extrêmes. On peut dire que dans ces problèmes simples toutes les propriétés qu'il fallait appliquer étaient connues de tout le monde. Cependant nous allons démontrer que ces intégrations graphiques n'avaient jamais été appliquées comme telles.

Une poutre droite supporte des charges uniformes; le lieu des efforts tranchants s'obtient élégamment en intégrant une ligne à gradins. Nous avons cherché si, avant nos thèses de 1874, on avait mentionné ce tracé, soit dans un cours imprimé, soit dans un enseignement oral; nos recherches ont été vaines. Dans les traités de statique graphique, on traçait le lieu des moments fléchissants dans le cas de forces isolées, au moyen du polygone funiculaire. Si au lieu de considérer ce tracé comme une opération unique, nous traçons d'abord le lieu des eôorts tranchants, nous voyons que le lieu des moments fléchissants est rintégrale d'une ligne a gradins. Nous pouvons donc

aflSrmer : l^" que Gulmann et ses continuateurs n'ont pas vu que le lieu des moments fléchissants était l'intégrale du lieu des efforts tranchants, sinon ils auraient appliqué immédiatement l'intégration d'une ligne à gradins au problème précédent, Z" que Tintégration exacte d'une ligne à gradins était si peu soupçonnée qu'on ne la reconnaissait pas lorsqu elle se présentait d'elle-même, déduite de considérations de statique.

Nous arrivons aux mêmes conclusions en examinant répure de Gulmann relative au mouvement des terres ; il s'agit tout simplement d'intégrer un polygone; Gulmann résout ce problème par la transformation des triangles en triangles équivalents de hauteur 2; ces constructions pénibles ne peuvent pas être comparées au tracé si élégant que fournit l'intégration graphique.

Ges exemples prouvent à l'évidence que l'intégration graphique était l'objet d'un préjugé; tout le monde aurait construit immédiatement l'intégrale d'une ligne à gradins ou d'un polygone si l'on avait posé le problème; mais personne ne soupçonnait que, pour des questions élémentaires l'intégration graphique aurait donné une solution plus simple que tout autre moyen. Quand il s'agit de calculer des rectangles ou des trapèzes, il n'y a aucun avantage à appliquer le calcul intégral; aussi quand on a pensé à calculer graphiquement ces surfaces, c'est à la géométrie élémentaire et non à l'intégration que l'on s'est adressé.

Nous trouvons un exemple de la force de ce préjugé dans l'ouvrage déjà cité de M. Solin. M. Solin sait, comme tout le monde, que si le petit arc de la dérivée est rectiligne, les tangentes à l'intégrale se coupent au milieu de l'intervalle qui sépare les ordonnées des points de contact. Il ne pense pas à dire que si la courbe dérivée est formée de droites aussi grandes que l'on veut, il est complètement inutile d'appliquer sa méthode, que l'on peut supprimer la courbe intégrale et les tangentes très-rapprochées qui la

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déterminent, qu'il suffit de conserver les tangentes extrêmes et que l'on a ainsi le moyen de dresser élégamment Tépure du mouvement des terres. Au lieu de diriger ses regards vers les problèmes faciles, M. Solin s'occupe surtout de construire des intégrales qui ne peuvent s'exprimer par l'analyse, comme si c'était cela le seul avantage de l'intégration graphique.

Les lecteurs de l'ouvrage de M. Solin n'ont pas vu, plus que l'auteur, le parti que l'on pouvait tirer de l'intégration graphique. En 1873, M. Favaro analyse le mémoire de M. Solin dans un ouvrage intitulé : La statica graphica neir insegnamento tecnico superiore. Quatre ans plus tard, il publie ses leçons de statique graphique, et il reproduit l'épure de Culmann pour le mouvement des terres. Ce n'est que dans l'édition française et après avoir pris communinication de notre mémoire qu'il applique l'intégration graphique.

Ce préjugé, ou plutôt cette répulsion dont l'intégration graphique était l'objet, avait sa raison d'être. Ne pouvait-on pas affirmer à priori Timpossibilité absolue d'arriver par l'intégration graphique à des constructions différentes de celles que Ton trouverait par la géométrie? Cette affirmation est vraie. Si nous examinons de plus haut les constructions des lignes intégrales, nous pouvons les considérer comme des successions de quatrièmes proportionnelles ou des transformations de rectangles en rectangles de base 1. Seulement, si en analyse les mêmes équations fournissent toujours les mêmes valeurs pour les inconnues, en géométrie les mêmes triangles, les mêmes quatrièmes proportionnelles fournissent tantôt une épure embrouillée, tantôt une épure élégante. La ligne intégrale est, dans les problèmes qui nous occupent, le fil conducteur qui a rassemblé tous ces triangles de manière à rendre l'épure la plus simple possible; c'est ce fil conducteur que l'on n'a pas soupçonné. C'est dire qu'une fois l'ordre des lignes

établi, on peat abandonner l'intégration et vérifier les constructions par les lignes proportionnelles ou la transformation des aires. On peut même en utilisant le tronc de pyramide arriver, sans calcul intégral, jusqu'au polygone d'intégration de la parabole du troisième degré.

§ IV. — L'intégration graphique exacte et la

STATIQUE graphique.

ftS4. Pour comparer l'intégration graphique à la statique graphique, nous prendrons comme exemple le cas d'une poutre sur plusieurs appuis. Nous supposerons que le poids mort est représenté par une suite de courbes que Ton assimile à des arcs paraboliques du second degré. On résout immédiatement ce problème en intégrant par polygones semi-circonscrits; on peut trouver par des constructions exactes tous les éléments de la poutre y compris la flèche de déformation.

Tous ces tracés ont l'avantage considérable de ne reposer que sur une seule règle; la construction du polygone d'intégration des paraboles.

Voyons maintenant comment on pourrait résoudre ce problème par la statique graphique. Le lieu des moments fléchissants est une courbe funiculaire; on décompose la surface des charges en triangles et en segments de paraboles; on évalue les poids de ces surfaces par la transformation des aires en reproduisant Tépure de Culmann pour le mouvement des terres. On applique ces poids aux centres de gravité correspondants; on les détermine par la géométrie. On trace enfin le polygone funiculaire ; ce polygone enveloppe la courbe des moments fléchissants. Il est nécessaire pour la suite des opérations de tracer effectivement cette courbe; il faut donc diviser la surface des charges par des ordonnées très-voisines, et l'on devine combien toutes ces constructions seront pénibles. II faut ensuite construire la courbe élastique qui est la seconde courbe funiculaire, en appliquant les constructions précédentes à la surface des

260 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).

moments fléchissants. Il est vrai qull suffit pour appliquer la méthode de M. Mohr de connaître pour chaque travée le poids et le centre de gravité de cette surface et qu*on peut employer le planimëtre ; mais il faut alors représenter les moments statiques par des aires et les courbes qui limitent ces aires doivent être construites par points très rapprochés. En outre, on ne se réserve plus la faculté de trouver les flèches de déformation. Cet exemple prouve à l'évidence que les constructions fondées sur l'intégration graphique dépassent de beaucoup en simplicité et en élégance les expédients de la statique graphique. La raison pour laquelle les inventeurs de la statique graphique sont arrivés à des résultats si pitoyables doit être cherchée dans l'influence de la géométrie allemande. On a voulu supprimer toute idée de mesure et transformer complètement la géométrie de Poncelet; on a voulu également écarter Tanalyse de la statique; on a fini par oublier que le calcul intégral existait. On a appliqué la courbe funiculaire, sans se donner la peine de chercher quelle était la nature analytique de cette courbe, et on n'a pas vu que c'était une intégrale seconde. Le tracé de la courbe funiculaire ou du polygone qui la remplace n'est pas une opération unique; il se divise en deux opérations identiques; ce sont deux intégrations. En statique graphique, on effectue la seconde intégration par la règle de Leibnitz. N'est il pas ridicule d'abandonner cette règle pour la première intégration et d'y substituer toutes ces constructions pénibles fondées sur la transformation des triangles.

Non seulement la courbe funiculaire est un opérateur imparfait lorsqu'on ne la considère pas comme une intégrale seconde; mais on n'a pas même su utiliser cet opérateur de la manière la plus convenable. On remplace la courbe funiculaire par un polygone en décomposant la charge en charges isolées. Pourquoi a-t-on effectué cette décomposition au hasard? On aurait dû chercher s'il n'existait pas

INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 261

certains modes de décomposition conduisant à des constructions plus élégantes, si notamment on ne pouvait pas remplacer la courbe funiculaire par un polygone qui la déterminât mathématiquement de telle façon qu'on pût à volonté trouver un point de la courbe et construire exactement le second funiculaire. Prenons le cas d'un trapèze parabolique; la parabole est du second degré, elle est déterminée par les tangentes extrêmes. Dans les ouvrages de statique graphique les plus récents, on décompose la surface en un trapèze ordinaire et un segment de parabole. Il est facile de voir quMl est plus simple de remplacer la surface par trois forces représentées par les trois ordonnées de la figure et appliquées en trois points qui divisent l'intervalle des ordonnées extrêmes en quatre parties égales. En adoptant ce mode de décomposition, on trouve un polygone qui détermine mathématiquement la courbe funiculaire; c'est le polygone d'intégration tracé conformément aux règles de l'intégration graphique. Nous ferons la même remarque au sujet de la méthode de M. Mohr; en appliquant l'idée des lignes de repère, on arrive à un mode de décomposition beaucoup plus simple; on est ramené au cas d'une poutre non chargée; toutes les complications des lignes croisées disparaissent.

Nous avons dit que Tintégràtion graphique s'applique naturellement à tous les problèmes sans aucun eflfort d'invention. Rien de semblable n'existe en statique graphique. Tout ce qu'on sait, c'est que Ton a introduit le polygone funiculaire dans quelques questions; que ces questions sont résolues par la méthode ingénieuse de Monsieur X, la méthode ingénieuse de Monsieur Y. Mais si un autre problème se présente, comment verra-t-on qu'on peut le résoudre par une nouvelle méthode ingénieuse? L'intégration graphique donne la réponse à cette question. S'il s'agit d'une intégrale d'ordre impair, ne cherchez pas. Si, au contraire, il s'agit d'une intégrale d'ordre 2w, considéréz-Ia

262 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICb).

comme la courbe funiculaire de rang n; construisez chacune des intégrales d^ordre impair de la manière la plus compliquée en oubliant tout ce qui a été écrit sur le calcul intégral; vous aurez trouvé une nouvelle méthode ingénieuse de statique graphique; ce sera la méthode de Monsieur Z.

Ce qui nous étonne profondément, c'est qu'une science aussi ridicule ait pu se maintenir si longtemps. Si dans quelque île lointaine, un mathématicien imaginait l'algorithme suivant

, \im — =p

y = funiculaire (p) p = charge (y)

fun. (a?*) = Aa? + B + zr— r etc. ,

si ce mathématicien s'avisait de répandre ses idées dans le monde civilisé, on lui dirait immédiatement que sa méthode n'est qu'une mauvaise caricature de l'analyse infinitésimale. N'est-il pas triste de constater que la statique graphique, qui n'est que la traduction géométrique de cette méthode barbare, ait pu impunément se propager et cela dans la patrie de Leibnitz, deux siècles après ses immortelles découvertes.

§ V. — Ouvrages divers sur l'intégration graphique.

SS5. m. NeU (1877). — Uber graphiscke intégration und ihre anroendung in der graphischen statik, M. Nels a eu comme nous l'idée d'employer l'intégration graphique d'une manière systématique; mais ses méthodes sont complètement différentes des nôtres. Il emploie la méthode de M. Solin et une autre méthode qu'il a inventée et qui est la traduction de la méthode des rectangles perfectionnée en prenant comme hauteur de chaque rectangle Tordonnée de la courbe au milieu de la largeur. Il se rend parfaitenvent

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compte du peu d'exactitude de ces procédés et il ajoute que l'on peut déterminer des points de la courbe intégrale avec plus de précision en utilisant les formules de quadrature approchée. Il compare avec beaucoup de soin toutes les formules de quadrature, mais il est étrange que l'idée ne lui vienne pas de construire ces formules. Ce n'est qu'en 1885 <}u'il reproduit, sans qu'il paraisse s'en douter, les constructions que nous avions publiées en 1878.

L'idée des lignes de repère ne lui vient pas non plus; c'est ce qui explique la longueur des formules au moyen desquelles il exprime les moments de divers ordres.

Dans l'épure des moments fléchissants, c'est par l'analyse qu'il démontre que les moments fléchissants sont représentés par les segments d'ordonnée compris entre l'intégrale et sa corde. Il est évident d'après cela que dans les poutres encastrées ou à plusieurs travées, il arrive des méthodes qui n'ont rien de commun avec les nôtres .

8S6. m. Savlolll. — Note sur les méthodes d' intégration graphique [Revue des mines ^ 1883. Oiornale del Oenio civile, 1882). M Saviotti applique aussi l'intégration graphique par éléments très-petits. Il ne donne que deux exemples d'intégration exacte : la ligne à gradins et le polygone. Pour dresser l'épure du mouvement des terres, il effectue deux intégrations successives; dans la première intégration, il reproduit sans s'en douter, une des méthodes que nous avions publiées en 1878. Mais il n'arrive pas à effectuer la seconde intégration d'une manière exacte; il donne deux tracés approchés qui consistent à remplacer l'intégrale première soit par un polygone inscrit soit par un polygone circonscrit. M. Saviotti aurait retrouvé la construction que nous avons publiée en 1878, s'il avait pensé à considérer la seconde intégrale comme un polygone funiculaire et à diviser les trapèzes primitifs en deux triangles.