RAPPORT

ne SI. LE CAPtTAlSe DIDIOIV,

Proftfcâour du couru d'artillerie à l'École d’application «le l'artillerie et (lu gcitie.

Commissaires, MM. Poncelet, Piobert, Morin, Duhamel rapporteur

« Les géomètres se sont beaucoup occupés du mouvement des projectiles dans Pair, tant a cause des difficultés que présentait cette question, que pour Pimportancc des applications qu'on en pouvait faire à l’ Artillerie. Avant leurs recherches sur ce sujet, on avait |cs idées les plus fausses sur la nature de ce mouvement. Dans le tir du canon , on regardait la trajectoire comme une ligne droite; dans le tir des bombes, on la regardait comme composer de lignes droites et d’arcs de cercle. De pareilles erreurs ne doivent pas étonner : les anciens, par les raisons les plus singulières , voulaient ramener à la ligne droite et au cercle toutes les trajectoires relatives aux grands phénomènes naturels. Leurs idées ont régné jusqu'au moment où l'on a pensé que les lois de la nature ne devaient pas être inventées à priori , mais découvertes par l'observation. Cette révolution, la plus grande que Ton puisse signaler dans l'histoire de la philosophie naturelle, est due à Galilée; et c'est à lui encore que l'on doit Li solution de la question qui est le point de départ naturel de la théorie dont nous avons à nous occuper en ce moment.

» En combinant le principe, qu'il avait posé le premier, de la composition des mou>ements provenant de différentes causes , avec les lois de l'accélération des graves , qu’il avait découvertes dans la chute des corps suivant la verticale , il démontra que la courbe décrite par les projectiles dans le vide serait une parabole.

• Newton voulut aller au delà et tenir compte de la résistance de l'air; il établit, par des considérations peu rigoureuses, qu’elle était proportionnelle au carré de la vitesse du mobile; mais il ne donna aucune méthode pour la détermination eifective de la trajectoire.

• Jean Bernoulli est le premier qui ait ramené aux quadratures la solution de la question, dans l’hypothèse la plus générale sur la loi de résistance du milieu. Divers géomètres célèbres le suivirent dans cette voie.

• Euler, en supposant la résistance proportionnelle an carré de la vitesse, a donne le moyen de trouver l’expression finie de la longueur de l’arc de 1a trajectoire, compris entre deux points pour lesquels on s’est donné l'inclinaison de la tangente. Cela posé , il calcule les longueurs d’on grand nombre d’arcs, en partant de l’inclinaison donnée à l'origine, et faisant varier, d'un petit nombre de degrés, les inclinaisons aux extrémités des arcs succes-

sifs qu'il considère» U projette ensuite ces différents are» sur les axes de coordonnées, en regard j ni chacun d’eux comme une ligne droite qui aurait une inclinaison moyenne entre le* deux extrêmes. En faisant la somme de ces projections, il obtient les deux coordonnées de chacun des points de In trajectoire, qui répondent aux inclinaisons arbitrairement choisie* de la tangente.

• La vitesse du mobile pouvant aussi être calculée en fonction de l’inclinaison, on aura le temps employé à parcourir un petit arc , en divisant sa longueur par une valeur moyenne de la vitesse, et l’on parviendra ainsi k connaître le temps employé à parcourir un arc quelconque. Euler appliqua cette méthode, qui a conservé son nom, à un exemple particulier dans lequel il faisait varier les inclinaisons de cinq degrés d’nn point à l’autre.

» I/erreur résultant de cette niethode tient à la substitution que l’on fait d’une droite à . un arc de même longueur, ce qui donne des projections trop grandes. ].egendre proposa de substituer les arcs des cercles osculateurs ayant respectivement k leurs extrémités les mêmes inclinaisons que ceux de la courbe. M. le capitaiuc Didion propose, comme plus exacts encore , les arcs des paraboles oscillai rices.

» Lambert a employé la méthode des développements en séries. Il a donne l'expression de l'ordonnée de la trajectoire et de la durée du trajet en séries ordonnées suivant les puissances de l’abscisse. Mais ces développements sont peu convergents et par conséquent peu applicables, lorsque le» inclinaisons ne sont pas très-petites.

• Cette méthode a été employée par d'autres géomètres, parmi lesquels on doit citer

Borda, Tempclhoff et Français. •

» Ce» divers procédés exigeant de très-longs calculs, les géomètres ont cherché h rendre les équations intégrables, en modifiant convenablement l’expression de la résistance. Ils l’ont supposée proportionnelle au carré de la vitesse et k une fonction de l’inclinaison qui rende l’intégration possible, sans trop s’écarter de la réalité. C’est Borda qui ouvrit cette voie nouvelle-, il y fut suivi par Bexout, par Legendre qui perfectionna notablement la méthode de Borda, en adoptant une loi de variation moins inexacte, et enfin par Français, qui propos» encore une modification à la loi adoptée par Legendre.

» Jusque-là on avait supposé* la résistance de l’air proportionnelle au carre de la vitesse; toutefois on avait reconnu la nécessité de modifier le coefficient suivant les vitesses, et on l’avait fait souvent d'une manière arbitraire sans obtenir néanmoins nn accord suffisant entre les formules et les résultats de l’expérience.

» L’Académie des Sciences provoqua de nouvelles recherches sur cette importante théorie en la proposant, en 1837, comme sujet du grand prix de Physique; elle donna son approbation à un travail fait en commun par MAI. Piobert, Morin et Didion.

» M. le colonel Piobert reconnut que, d’après les expériences de Hutton, la loi de la résistance pouvait être représentée par deux termes respectivement proportionnels au carré et au cube de la vitesse. Il détermina, dans celte hypothèse, la valeur de l’espace parcouru et la durée du trajet en fonction de la vitesse.

• La question était arrivée à ce point lorsque M. le capitaine Didion commença les recherches dont nous allons rendre compte aujourd’hui k l’Académie.

» Observons d’abord que les problème» de la balistique ne sont pas de ceux qii on puisse résoudre sans employer di-s formule» générales, et par le seul emploi de Tables construites pour chaque genre de question». Le nombre de» données y est trop grand pour que Ton air pu songer à former des Tables où elles entreraient comme éléments avec, toute» les valeurs dont chacune est susceptible. Ce n’est pas à dire qu’il ne puisse être très-utile d en construire qui aient pour objet de donner promptement les résultats de calcul» intermédiaires; mais on ne peut se dispenser d’avoir recours à des formules entre les inconnues et les données des problèmes si variés dont la solution intéresse l’Artillerie. Ce que l’on devait proposer

'«fait donc le perfectionnement de la théorie dont les résultats ne représentaient pas suffisamment les expériences. 11. le capitaine Didion a très-bien senti que ce n'était pas la méthode de calcul, mais l’hypothèse elle-même qu'il fallait modifier; aussi, sans se laisser arrêter par les difficultés de l’entreprise, il résolut de reprendre théoriquement toutes les questions de la balistique en faisant usage de la loi proposée par notre confrère le colonel Piobert , et d'en conduire la solution jusqu'à l'application pratique la plus simple,

• On devait craindre que cette loi , beaucoup plus compliquée, ne conduisit ii des formules .d'une application peu commode; mais l'auteur est parvenu à réunir la facilité du calcul à une

plus grande exactitude, au moyen de Tables spéciales qu’il a imaginées et exécutées. Nous allons donner une idée rapide des résultats auxquels il est parvenu

» Dans le tir sous les grands angles de projection au-dessus de l'horizon, on sait que l'équation différentielle de la trajectoire n'est pas intégrable; mais il sérail possible d'obtenir l’équation approchée d'un arc d’une certaine amplitude, en remplaçant la valeur variable du rapport d’un élément à sa projection par sa valeur moyenne dans l'étendue de l'arc que l’on considère. C'est ce qu'a fait M. le capitaine Didion , et il a obtenu , pour un point quelconque de cet arc de la trajectoire, l’ordonnée, l'inclinaison de la tangente, la dura) du trajet et la vitesse du projectile, en fonction de l'abscisse. Les expressions de ces différentes quantités sont très-simples; l'auteur leur a donné une forme semblable à celle qu'elles auraient si le mouvement avait lieu dans le vide, et l’on conçoit que cela était toujours possible en substituant à des coefficients constants des fonctions convenables de l'abscisse. Mais ce qui est remarquable, c’est qu'elles ont une forme telle, qu'au moyen de Tables peu étendues et que fauteur a formées, on peut eu obtenir très- facilement la valeur numérique correspondante à une valeur quelconque de l’abscisse. De cette manière, toutes les quantités que nous avons indiquées pourront être calculées dans l’hypothèse d'une résistance représentée par deux termes, l’un proportionnel au carré de la vitesse, et l’antre au cube, avec presque autant de facilite que si le mouvement avait lieu dans le vide. Mais , pour que ces résultats soient suffisamment exacts, il ne faut pas que l'amplitude de l’arc soit trop grande, et M. le capitaine Didion a discuté avec soin les limites entre lesquelles elle devait être renfermée. Ayant ainsi déterminé* tout ce qui se rapporte à ce premier arc, qui commence au point de départ du projectile, onac transporte à son extrémité où l’inclinaison sera connue, et l'on recommence les mêmes calculs pour un second arc, et ainsi de suite. Le nombre de ces divisions est, en général, peu considérable. Dans le tir ordinaire des lourds projectiles comme les bombes, sous de grands angles de projection , pour les distances auxquelles ce tir conserve encore assez d’efficacité, et pour lequel les vitesses sont faibles, on peut embrasser à la fois toute la trajecloire.

• Dans le cas du tir du canon et des obusiers, les projectiles sont animés d'une grande vitesse ; mais les angles de projection sont petits, par la condition de n’obtenir que des portées telles que les déviations ne soient pas trop considérables. Alors l’inclinaison dot divers cléments de la trajectoire est assez, faible pour que leur rapport avec leurs projections puisse être regarde comme égal à l’unité dans les termes où il multiplie les coefficients de la résistant de l’air. Les formules prennent alors une plus grande simplicité et permettent de résoudre les divers problèmes qui peuvent être proposés; elles trouvent particulièrement leur application dans le tir plongeant, ou tir à ricochet , sur une branche d’ouvrage de fortification. Les objets qui y sont placés, cachés aux coups directs par une masse* couvrante, ne peuvent être atteints que par les projectiles qui, passant un peu au-dessus de la crête de la masse rouvrante, viennent atteindre un point donné du terre-plein, ou pénètrent sous un errtain angle avec I horizon.

• Os divers problèmes, dont la méthode de M. le capitaine Didion donne une solution

simple et élégunte, n’étaient qu’imparfaitement résolus, même dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse. *

» L’auteur examine ensuite le cas où Ton peut faire abstraction de la pesanteur, comme dans le tir à grande vitesse et à petite distance; if est retombe sur deux relations qu'avait déjà ' obtenues M. le colonel Piobert. 1

» Il considère enfin le cas du tir à de petites distances, avec de lourds projectiles et de faibles vitesses. On peut alors supposer la résistance de Pair proportionnelle au carré de la vitesse, pourvu qu’on en détermine le coefficient pour chaque cas particulier. Les formules rentrent alors dans celles auxquelles on était déjà arrivé; mais elles se présentent sous une * forme plus simple par l'introduction des fonctions particulières dont nous avons déjà parte Néanmoins, par suite de la nécessité de déterminer le coefficient dans chaque cas particulier, les formules déduites de l'hypothèse plus générale sont encore les plus commodes dans l’application , a l’aide des Tables des fonctions calculées par l’auteur.

► Dans un appendice au Mémoire, se trouvent résumés les travaux d’Euler, Lambert, l^gendre et d’autres géomètres qui s’étaient occupés de 1a question balistique , dans l’hypothesc d’une résistance proportionnelle au carré de la vitesse. L’auteur a ramené ces divers calculs à des notations communes, qui permettent de mieux saisir les rapports entre les résultats auxquels ils conduisent. Il indique plusieurs perfectionnements à ces méthodes, et montre comment les calculs qu’elles nécessitent se trouvent simplifiés au moyen des fonctions dont il a déjà été question , et des Tables qu’il en a formées.

» L’utilité des questions traitées dans le Mémoire de M. le capitaine Didion est suffisamment démontrée par les efforts des géomètres qui s’en sont occupes et des praticiens qui ont cherché à en faire l’application. Si les résultats de l’expérience se sont trouvés peu d’accord avec les indications de la théorie, c’est à cause de l’inexactitude de la loi adoptée pour la résistance de l’air. Cela ressort évidemment des expériences faites à Gavres, de i83o à i84o, par l’artillerie de marine, sur le tir du canon et des obnsiers; ainsi que de celles qui ont été faites à Tou Ion sc en i833, et à Valence en i843 pour l’établissement de Tables de tira ricochet. Mais lorsque ces recherches ont été confiées à la Commission des principes du tir de Met*, en i844» l’application des nouvelles formules a présenté un accord remarquable avec les résultats de l’observation. Les Tables résultant de ces formules sont actuellement soumises à l’examen du Comité de l’artillerie.

* L’Académie avait senti toute l’importance de ces questions, lorsqu’en 1837 elle en fit le sujet du grand prix de Physique. C’est à cette occasion qu’ont été faites les expériences et les recherches diverses qui ont servi de point de départ au travail dont nous venons de rendre compte. Votre Commission pense que ce travail a beaucoup avancé la solution des problèmes de balistique, et lui a lait acquérir un bien plus grand degré d’exactitude, sans exiger des calculs trop pénibles. En conséquence, elle vous propose de donner votre approbation au Mémoire de M. le capitaine Didion , et de décider qu’il sera inséré dans le Recueil des Savants étrangers . »

Ia?s conclusions de ce Rapport ont été adoptées