MODE BUC NT DANS LOU* MPCSUNT M CELLES MJ MOUVEMENT HANS U VIDE

U y a entre les fonctions par lesquelles les équations du mouvement dans l’air diffèxeat de celles du mouvement dans la

vide des relations qu’il est utile de connaître; trois de ces fonctions. en représentant par a la variable, sont les suivantes :

e*, '-Z!= P ' acl !^l!:

La première est l’exponentielle , dans laquelle e est la base des logarithmes naturels et égal à 3,718381828; sa valeur est exprimée par la série convergente ‘V . ,

• v e*-gaè l-t-- -4- •+• imjjr l\ > H»»otc-;-. ••

/ ‘ *1 ,*-*--»eé> s 1 v; .

la seconde se forme de cette première en retranchant le premier terme du développement él en divisant le reste par. lé second terme ; elle a pour valeur

'Y * - •• - M /* s î * irn*'!» 1 ! ~H- >' V*vp)Wi>r| *v «i/.

la troisième se forme également de la première, lorsqu’on en retranche les deux premiers termes du développemenl , et quoi) divise le reste par le troisième terme ton a alors

Fa= , -f- -f- etc.

Il est facile de voir qu'enlre Fa et Fia , il y a cette relation

F»= — — , aualogueà celle-ci F'«= ——.laquelle consiste, pour

l’une et pour l’autre , à retrancher le premier terme du développement et à diviser le reste par le terme suivant.

Chacune des trois fonctions e*, F‘(a), F (a), a l’unité pour premier terme- de son développement; lea autres -termes étant tops positifs, ces fonctions sont toujours plus grandes que l’unité , et elles s’en rapprochent d’autant plus que a est plus petit; elles ne se réduisent î l’unité que quand a est égal à téro; <-'■* •

C Les seconds termes des séries qui expriment les valeurs de ce*

trois fonctions sont respectivement a, ^ a , ja; les troisièmes

ternies se déduisent du deuxième , en augmentant l’exposant du numérateur d’une unité, et en donnant au dénominateur lui second facteur égal au précédent, augmenté d’une unité; les quatrièmes termes et les suivants se déduisent des précédents de la même manière. Qn voit par là que, quelle que soit la valeur de a, hors le cas où cette quantité est nulle, la valeur de F'a est plus petite que celle de. e*, et que celle de F {a ) est plus petite que cellede F' (a); enfin, puisque le développement de c“ est toujours une série convergente, les développements, de P (a) et dé F (a) seront plus rapidement convergents encore.

Dans un certain nombre de cas, ces séries sont assez convergentes pour qu’on puisse së contenter d’un très-petit nombre de

tenues. Ainsi, potir Fd, 'si a ^±=- le second terme de la série est -,

le troisième est égal à le quatrième à , le cinquième i

tU* *• *7 i 108 •>& fù *•** ** ti' ! 1

Un terme aussi petit est toujours négligeable; b quatrième

le serait dans la plupart dea caa.

’ e* est exactement le carré de mais si F'(a) et F (a) ne sont pas exactement les carrés de F ' et de F ils n en différent

que très-peu. En effet, en faisant 1» carré des développements de ccs. fonctions et le? retranchant de ceux de fa'el de Fa, on trouve

et

Fa

— (F-) , =-«*-t--l-a*-t-4-a*H-etc.; •

de aorte que quand a eat une petite fraction , ce qui est le cas le plus général, ces différences sont très-petites.

rf existe une semblable analogie relativement aux (onctions

représentées par les caractéristiques x et % composées des précédentes et du rapport 'y, qui dépend de la vitesse initiale , et que nous représenterons par b. ... -, 0 • ■.,>••« •*. •

' Si l’on élève au carré x (c. 6). qui est { » ■+• b) e* — b , on aura :

Cette quantité est composée en e\ comme les fonctions \J»'(a, b) le sont avec F’ (a) et F (a) , de sorte que, vu l'analogie, on peut la représenter par la caractéristique V et écrire

Il ulen est pas de même relativement aux fonctions Fa et Fa, parce que (f(‘ 7 ))‘ et (f(;))‘ ne sont pas tout à fait égales à F'(a) et F (a) ; mais ces quantités ne diffèrent que très-peu entre elles quand a est petit, et l’on a :

*’(«’*•) — { xia, b) j*=(i-+-6) )

.*(» . — j X ( «. * ) ^ ^ a ‘-+-^g a ‘-Fe*c- )

Si la résistance de l'air était supposée proportionnelle au carré

de la vitesse, il faudrait faire -=o, ce%ui donnerait o — — «*; dans ce cas , les, fonctions composées + et % et x* se réduiraient

aux fonctions F, F et e\ ceat-à-dire que

+ { x, V, ) ae réduirait A F , •

r (x, vjàFp),

1 et x'{*. V t )é «“ <■- •*. •

SUH LA BALISTIQUE.

et l’on aurait :

■ it J'fl

À mesure que * est plus petit, c’est-à-dire à mesure que i’oa considère des arcs de moindre étendue, ou que e, qui est proportionnel au diamètre et à la densité du projectile, est plus

grand, la valeur de — est plus petite, et les valeurs de F - F 1 —

«“ , qui, comme on Fa vu, sont de la forme

... tS'-,eâ^r<» ;/* fier - aiitvvâms't»*’: ^ (

F’ (û) æ-i -+* - *t- — -f- — j-j — 1— etc.

‘ ~ C • • ,.J* V^I: -tv '

» ‘ 1^75 .*+: tï; •+- «*«•

• V-". ■ ,Y "■ * *"•••>.' '*Mf ;; ,-J\ ’se* •

se rapprochent de l’unité. & en résulte que l'influence de la résistance de l’air dont ces fonctions tiennent compte va en diminuant de plus en plus, et que le mouvement se rapproche de ce qui aurait lieu dans le vide. Pour ce cas, il faudrait supposer

f'=ro, et, pr conséquent, -i-=o; alors les fonctions F— ,F— , eU

deviennent toutes trois égales à f unité, et on retombe sur les formules du mouvement dans le vide ,

.*? ,;. J ! 4» v»-'r^ t] *. •.«*!*■ -■» . v.Jc' fn ?

*= * tang ? — ; tang $ = Ung Ç

due , ou dés projectiles de plus fort calibre ou de plus grande densité , l’arc de la trajectoire se rapproche^ de plus en plus d'un arc de parabole. 1 <

17. PSOMUÉTés-GÉNéiaiES OC UOl'VtMEST DES PROJECTILES DANS D'AIR.