FASOLE [>E PLUS GBASD8 PORTÉE

On sait que, sans la résistance de l’air, l’angle de projection de 45* est celui sous lequel des projectiles animés de la même vitesse initiale donnent les pins grandes portées. Il n’en est plus ainsi lorsque le projectile se meut dans un milieu résistant, et il ett'&éile de voir que, dans ce cas, l'angle de portée maximum dort être plus petit que 45*7 •— ' '*

fin effet , la propriété essentielle du maximum d’une fonction quelconque, c’est que, pour des différences très-petites, soit en moitié. dans la variable; la fonction n’éprouve que des variations extrêmement petites et toutes dans le môme sensi il en est ainsi pour 1 équation des portées sur un -plan horizontal dans le vide, qui est X = o/i sin =z l>h sin Ç cos mais, dans le cas où le milieu oppose une certaine résistance au mouvement du projectile, on voit* par l’équation X^(x, V,) = îAsina®, qûe, pour un angle un peu plus grand que 45°, deux causes contribuent à la diminution de la portée :■ d’abord la diminution de sin a?, la meme qni diminue la portée dans le vide, et ensuite l'accroissement de a dans ■>!<(*, V,), ou l’effet dé la résistance sur un arc de plus grande étondue; au contraire, pour un artgle au-dessons de 4o\ la valeur de sin a? va effectivement en diminuant , •mm s ht diminution de l’angle de projection, et par suite de », produit une diminution dan> <l(ar, V,), ou dans l'effet dù anjhilioù. Gette cause agissant dans un sens contraire à la première, l’on voit qully aura un certain angle plus pctitque 45*pour leqncl fes deux effets corntraire* su contrc-lialaaceront; cel angle sera celui qui donnera la portée maximum. Oh voit aussi que cet angle devra être d’autant jdus petit, que la résistance du milieu se fera plus fortement

sentir. Ainsi, dans un milieu résistant, l'angle de portée maximiun est au-dessous de 4&°, et il s'en écarte d'autant plus, que la résistance du milieu est plus considérable , que la vitesse initiale est plus grande ou que le diamètre et la densité du projectile sont plus petits.

Pour obtenir une relation qui donnerait la portée maximum, il faudrait prendre la différentielle de la portée relativement à l'angle de projection et l'égalera zéro; mais l'équation a Asm 2 ?= X+ (*, V,)< qui donnerait la portée, contient l'angle <p d’une manière très-compliquée ; il serait difficile de l’employer k calculer la valeur de 9- Le moyen le plus facile est encore de calculer pour un projectile donné, et pour une vitesse initiale aussi donnée, 4 ou 5 valeurs de X correspondantes à autant de valeurs de en choisissant celles-ci lés unes au-dessus, les autres audessous de celles qui «doivent donner la portée maximum. ],a comparaison de ces portées indiquerait l'angle cherché «vec toute l'approximation dont on a besoin dans les applications. On devrait faire un semblable calcul pour une série de vitesses différentes et pour chaque espèce de projectile.

moi vement des projectiles socs les petits angles de projection.

• * ' '■ ■ ’SO. simplification. * • ■■

.* Les formules auxquelles nous sommes arrivés dans le cas d’on angle de projection quelconque au-dessus de l'horizon peuvent être simplifiées quand on les applique au tir des canons et des obusiers; l'on obtient dans ce cas une solution facile des problèmes que l’on peut avoir à résoudre. •. '

On t»e fait pas usage, dans le service de l'artillerie, du tir des boulets et des obus sous de très-grands angles de projection, particulièrement avec de grandes vitesses, parce que, aux grandes distances où porteraient les projectiles, l’irrégularité du tir produite par diverses causes déviatrices ôterait à ce tir l'efficacité né-

cessai» . Les affûts à rouages ne pourraient pas d'ailleurs résister aux effets du reeul : aussi les affûts ne permettent-ils pas un tir très-élcvé. Ce n’est même que par des dispositions particulières qu'en peut tirer sous des angles de x 5 * k 1 6® au-dessus de l’horiion. On peut donc regarder cette inclinaison comme une limite du tir des canons et des obusiers sur leurs affûts, et celle de t a® comme la limite dans les cas ordinaires.

Sous les faibles inclinaisons, le rapport de l’arc de la trajectoire à sa projection diffère très-peu de l’unité : la valeur de ce rapport, donné par les formules dont il a été parlé (ai), ne dépasse l'imité que de 0,00X37 ou —sous l’angle de 5 ®, de o, oo 5 16

ou 1/194 sous l’angle de 10®, de 0,00740 ou -L- sous celui de

il®, et enfin de 6, où i 84 ou jL sous celui de 1 5 ®. Ces quantités * # ... • ,

sont très-petites*, et comme elles n'influent que sur les termes qui tiennent counpt^ de la résistance de l’air, elles pourront être généralement négligées, et plus particulièrement avec les faihlos vitesses èt les gros projectiles. On se fera une idée exacte de leur degré d’importance, en remarquant qu’en remplaçant par l'unité le rapport a -de l’arc à sa projection, qui n’entre que comme diviseur des coefficients c et r rçlatifs à la résistance de l’air, c’est comme si l’on prenait cette résistance plus petite dans le rapport de a à l'unité , ou comme si la densité de l'air était réduite dans le mémo rapport, ou la pression barométrique diminuée' de t , -4, 6 ou 9 millimètres de hauteur do mercure, quantités qu'on néglige, la pfu» part du temps, dans les applications. On pourra donc négliger ces différences dans les formules avec d'autant pins de raison, que ce 11’est, en général , que sous les plus petits dé ces angtes qu’on tire avec de grandes vitesses, et que l’on ne s'approche de la limite supérieure que dans le tir è feu plongeant, qui s’exécute* avec les plus lourds projectiles et avec de petites yitesses, cas où l’influence de la résistance de l’air est la moindre. . *:■• •'-■■■ ••*. . " *

68 , SUR LA balistique:

Cela posé, si nous faisons « = 1 dans les formules générales auxquelles nous sommes arrivés , nous aurons , en cpnservant les mêmes notations que précédemment, pour l'équation de la trajectoire .pour l'expression de l’inclinaison, pour b durée du trajet et pour la vitesse, - ' • ' • * . ' >

UuigO^tang?- = t: *

et v, — V, -

ou V

/<*■ V,J cobO '