SOLUTION DES DIVERS PROBLÈMES. LS BOT ÉTANT À UAITM.R DE

LA BOOCRE X FED. ,

Proposons-nous derèsoudre, au moyen ces formules! les divers problèmes relatifs au tir des boulets et des obus. Supposons d’abord le but à hauteur de la bouche à feu; appelait X là portée horizontale, faisant « dans l’équation dè la trajectoire , et divisant ensuite par- X ,* on aura l'équation ' *: •

Cette équation se déduirait également de la solution gérfèralé déjà obtenue (a 5), eri y faisant it=i, De cette relation, Fon pourra déterminer une de ces trois choses : b vitesse V , l’angle de projection ç ou la portée Xv lorsque’ les deux autres seront connues. ; s VV'

'• » vitesse. } • 1 •» {

La vitesse V sera r d’après qe qu’on a vu (a o), . • . ,

* t r ' • •’ •/’ . . « w- .*J ~ T .• \ . fi r*

coasIq-M/^ v q-m -4 * Iq— m) ** * * '

dans laquelle on a fait, pour simplifier.

ll^==Q,F-Fl=N et F - — aF — t = M.

yX c ae c »c. ' . v ,

Dans le cas où les valeurs de y sont peu considérables,, et où l’on pourra remplacer + (tr, V,) par j ~ — ^j J , on

Aura plus simplement en taisant V' =A i~^— ( 26 ), .

sinif 1

/X . — fF

... , ANGLE UE rHOJECIION. .

Si J' on cherche la valeur de; l'angle de projection, on remarquera que „ quoique cet angle entre dans la valeur de V, ou V eosÇ, et, par conséquent, dans ta fonction ip, vu que cas? ne peut pas s'écarter beaucoup de l'unité, puisque les angles de projection Sont supposés petits, on pourrai t le regarder comme égal à l’unité, sans erreur notable; en tout cas, J on pourra lui supposer une valeur approchée, et admettre que la valeur de i (*, V;) est déterminée: alors on aura simplement

' s.in»^ — -+(*, V,).

' portés.

• Si la portée est l'inconnue , on cherchera , au moyen de plusieurs substitutions successives et des parties proportionniües , la

valeur de - qui satisfait à l'équation mise sous la forme

>A«imS X , / .. .

v .ci -c- ~ r Vf) - Lt ïs»

-JV

Mt SUB LA BALISTIQUE.

ou bien par le développement en série déjà donné (aé), et dans

lequel il n’y a qu’à faire» = i , X' = aàsina?, — = 6; on aura pour cette valeur

L 3 * , ■ 7* W »iôo \C/

^ 1t) “ f - etc -J;

13. LK BUT M 1 ÉTANT PAS à BAt'TXUR DK LA BOUC1I1 à TCV. VITESSE MITlALt.

Si le but n’est pas à hauteur de la bouche à feu , soit a sa distance horizontale, et b sou élévation au-dessus du centre de la'

bouche à feu. En faisant -= tanga, on aura, comme dans le cas

• yj

général (ai), en supposant seulement • = i , et faisant — (tangf — tang. *) =e o, Fa—rF -=H, F - — aF— -fil == M, on aura

et dans le cas où - serait peu considérable, en faisant , t

*é(Uog.^r-toDg.«)

on aurait plua simplement -

i — [ F — — i J — c©j<p • - X , A ** u Jr

A SOLE DK PROJECTION.

Les coordonnées a et b, appartenant à un point de la trajeo»

Loire, devront satisfaire â l'équation de cette courbe, qui, en remplaçant -j par i -f- tang V. deviendra

b = a tang 1 ? — ££jp£(i -f- tang*?}, d'où en faisant

on aura *• ’ . •

tang?^ —tang ^ —4— — ; — I— 1 = o.

Cette équation donne pour ? deux valeurs; mais la plus petite seule devant être admise, puisque le tirn’a lieu que sous de petits angles de projection , on aura ’

Cette équation ne diffère de celle qui aurait fieu dans le vide qu’eu ce que A est remplacé par k"= Cette solution sup-

pose qu’oti peut déterminer f (a, V.j» quoique V,, qui est égal à Vcosp, contienne l'inconnue; mais, comme on l’a déjà fait pbserver, on snppose 1 angle de projection petit . par conséquent, on peut, dans V cos ç, remplacer cos ? par l’uoité ou par une valeur approchée. • * . •

33. VITESSE ET ANC LU. OE PROJECTION DD* PROJECTILE QRI DOIT PiSSIB >«■ PAR DEUX POINTE DÔ*H*Sr +*'.*: *-

Deux problèmes qui ont une importance particulière dans le tir plongeant des canons et des obusiers, peuvent être résolus; ce »ent le# suivants: . - - . v . -

Trouver la vitesse initiale et l’angle de projection d’un projectile qui doit passer par deux points donnés.

Soient a et 6 les distances horizontale et verticale de l’uu des points de la boyche à feu, a' et 6' celles de l’autre point; V et ^ 4a vitesse et l’angle cherché.

Puisque la trajectoire doit passer par le point dont les coordonnées sont a et b, on aura

t = fl tang? — V

+ (fl. v,);

tangf-^-^ - T ,

de même; puisque le second point d6it se trouver sur la trajectoire, on aura x " , **

• 0 • 4- * — •' * ‘ rf * *

tang ?■— ?

Retranchant ces équations inçnihre à membre , ou aura

t ,:s t j iv. .i.c.rv> , *v». - »*. v.» î» v

d’où,, en observant que a gh et que Vcosip=V lt . . A ïv

og a’ïU’.y,) — * («• Vj)

Mettant à la place des fonctions il leurs développements, ordonnant par rapport i — , on aura une équation du second degré v ■ r

en. Y;. eu donnant i Al, N, les mêmes significations que précédemment, à M\ M', les valeurs analogues par rapporté et fet é\

et faisant q — — J , on aura, en ne conservant que la

valeur positive , „

». =z Vf> y- *" . \/ (« ) ~* F (t) . . / «'H'- «N y

r q — (a'M' — .»M) V ^ Vî'-(«'M’— «M)/

Connaissant —, on pourra déterminer les valeurs de la fonction

i (a, V.) et celle de A (a', V,); alore en divisant l’une par l’autre les équations premières, on aura:

Uni p — -)

•ir^ruî; ton» .pm*fns»*«p>f-v*'»K'Kî|»al ■Utu’iib 5

Jb*h *

i Ton tire pour la valeur de taog Ç ,

tang p :

S. > - vé.* •/ j ^ « M' füv v.f Y K 3* , r.*

Connaissant par ce moyen la valeur de on aura celle de V,

. i » Ti # • •• i. .

qui est égalé à — . — .. •

r co»? v~4»v 'fi

>0 tn/V

• 34. VITISSK 1T ANC,!. R DR PROJECTION D’ON PBOJECmi OUI DOIT PASSfR PAR UN Ppi^T DONS» SOUS DNE INCtlNAlSON DKTRRJIlNlis.

Trouver la vitesse initiale et l’angle de projection ^’un projectile qui doit passerpar un point donné sou* une -inclinaison déterminée. . ’ r ■ .

• e , » ÂlHj <rf«lfN»Mi

Soient a et b les distances horizontale et verticale du point dooné, et 8 l’inclinaison que doit avoir la trajectoire en ce point. La trajectoire devant passer par te point dont les coordonnées

saut a et A, on devra avoir I : «h tenir*. j*l '' «nq <m* t <v

d’où, en faisant ~ = tang t,

tang <p — tang s

1* cm'?

L'inclinaison de la trajectoire an point donné devant être 6, on dert-a avoir:

.tang P— tang 6 =

9 l CO»* Ç

retranchant ces deux équations membre à membre, on aura: tang « — tang 9 — j a +'.(«, V' ) — *(«, V). [s

remplaçant Acos’^par ‘ , multipliant les deux membres parc*, remplaçant lesfonctionsif'etiF par leurs développements, ordonnant par rapport à - , on aura une équation du a' degré, de laquelle on

retirera la valeurde — ; faisant, pour simplifier, F' aF' j 4 - 1 =m,

F'^— j — F' j =n, conservant à M et Nies valeurs qu’elles avaient

dans les problèmes précédents, et faisant ç*= — (tang s — tangS), on aura, en ne conservant que la valeur positive ,

if.rtZi-tU)

r q" — (a m — M) q " — (îm — M} \q m —

Au moyen de cette valeur, on pourra calculer ^ (a, V,). et (a, V,), En divisant les deux premières équations membre à membre, on aura :

t*t»g £ litlgô

langP — taoge

d’où l’on tirera pour la valeur de tang

i +’(«, V,) l*ng« — é («. V,) ung »

tang^:

Connaissant par ce moyen la valeur de p, on aura celle de V. qui est égaie à * ■

Lorsque i’on connaît d'une manière approximative' la valeur de V et on pourra obtenir d«; , jaieurs trS^^jprot Weji des

fonctions P (a, V.) et' de p' (a, V.) et résoudre plus facilement ces deux derniers problèmes. La valeur de p «'obtiendra immédiatement au moyen des .dernières équations, qui donneront tang p. un tirera la valeur de. A en retranchant les uns des ^ ut res,

cbmme'on l’a fait, les membres des deux équations de condition j.nuir v : * - -, • * *7? :

et ôn retirera la valëhr de A, qui sera respectivement, pour I» . , , ■ , LI , premiet et pour .le deuxième 'problème,

|I| M | '> v ')— ■♦( a - Vi) • ^ ««♦'(«, v, ) — »*(«,»,)

4 / il — , i ^ co»*0 1 (U«g* — uog») CM*ÿ

\ # j *li ■ * - ( .’i . »

après avoir déterminé P calculer h p£| la.con tile parlant sous l’angle de projection p passe rdo^ssohLa^é. ce qui donne

ri 9i. -oqotert wKfWrttd »'d

■ è'. MI-VO Ao« •« f

4 k wfp

oè .wtilMMoq

it’ i. 1* ' * t . *.!■» J • ,*.»<• ru*

dou, en divisant par a,- et remarquant que - == tang «, et par des transformations successives, on*tire:

i (tongf — Ungtj cw’f

à ( si n ^ co» € <— lia t cos £}

‘ - sStM ♦<•• »•)«»-

»»J -îj,' li d ; l} l " r ’ •* * *; •'I >- *Z <1. ’l j* •-!«•; m ï * j

1 On n’avait pas encore donné, même en supposant, ce qui est plus simple, que larésts- ’9è l'air est exprimée per un Seul terme proportionnel au carré drf> iètSM, Tt soloüoa de «Me queslion , ta plus important* du tir plongeant L'équation de ?« trajecUfeu et

Dans les problèmes qui viennent d’être résolus, on aura l’inclinaison de la trajectoire en un point quelconque situé à une distance x de 1a bouche à feu , et en particulier pour le point d’arrivée, la durée du trajet et la vitesse persistante par les formules déjà données :

tang 9 = Ung?— —jj f (*, V,). t = ÿ^X (*,-V,); . v.

■ ; . «= •- * îï..

Dans le tir sous les très-petits angles de projection , pour le point de chute ou pour des points peu élevés au-dessus de la boüche à feu, cos ? et cos 6 différent très-peu de l'unité, et l’on a*sans erreur sensible,