DE PROJECTION

Tant que les portées ne sont pas très-considérables, que le projectile est animé d’une grande vitesse et que, par suite, l’angle de projection est très-petit, la trajectoire est très-allongée dans le sens horizontal , et son inclinaison au-dessus ou au-dessous de l’horizon est toujours très-petite; on peut donc, entre certaines limites, sans erreur sensible, négliger la composante verticale de la résistance de l’air. La composante horizontale sera alors la seule force qui agira suivant cette direction , et la pesanteur, la seule force verticale. Dans cette hypothèse, ces deux forcés seront indépendantes l’une de l’autre; la première sera considérée comme dans le mouvement rectiligne, la seconde comme si la résistance de l’air n’existait pas.

Cela posé, soit l’angle de projection du mobile. Via vitesse initiale, x et y le» coordonnés d’un point quelconque de la trajectoire, et v la vitesse du projectile eh ce point; faisant

V cos <p — V, , et conservent à c et A r les mêmes valeurs que

précédemment. Sans l’action de la pesanteur, le projectile se serait mû suivant la direction initiale OA; par conséquent, après avoir parcouru une longueur OB, dont la projection horizontale est x, il se sera élevé de BC = i tang Ç; mais, pendant la durée t du trajet, l’action de la pesanteur aura fait abaisser le pr^ectile

de Bm égal à i gt*, et, par conséquent, la liautcur mil ou y au-

dessus de l’horiiontale sera y *= x tang <p - — r 1 gt 1 -, or. V, étant la vitesse initiale du mobile suivant la ligne horizontale , on aura

et, par conséquent , pour l’équation dé la trajectoire, en faisant V» = a gh,

y = x ung <p — * (x, V,), , ...

En.comparant cette équation 4 l'équation exacte, on voit qu’elle en diffère en ce que la fonction ^ {x, V,) est remplacée par la fonction j x' (x» V,) J 1 . Elle s’en éloigne plus que celle que l’on obtiendrait en remplaçant t (x, V.) par- x.{x, V,)*. Comme on l’a déjà fait, cette méthode n’a d’ailleurs que l’avantage de se prêter fitcilèment à la construction par points, lorsqu'on a la loi du mouvement rectiligne , indépendamment de la pesanteur: mais au moyen des tables numériques des fonctions if (x, V,) que nous avons calculées, la première formule est à la fois plus facile et plus exacte. ^

La manière dont Lombard a traité ie mouvement des boulets 1 dans l’air revient A celle-ci ; mais cet auteur supposait la résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse, et il ne prenait que les deux premiers termes du développement de l'exponentielle, de sorte que la formule comporte trois causes d’erreurs; on ne doit donc pas s’étonner que, dans les applications qu'on en a faites, on ait trouvé des désaccords très-considérables avec l’expérience.

• dd. TABLES MS JONCTIONS «*, F' (a), F (a) ST + (a, i)., +' («, b).

Pour faciliter les applications numériques de nos formules, nous ^ons calculé des tables des fonctions «*, F' (a), F (a); nous leur avons donné toute l’étendue et le degré de précision que comporte et que demande l’application au tir des bouches à feu et des armes à feu portatives. Nous lesavons disposées de manière qu’elles soient indépendantes des dimensions et de la nature des projectiles, ainsi que de la grandeur des coefficients de la résistance de l’air. Pour cela, nj^avons pris pour variable le rapport a de la distance x au nombre c qui dépend du diamètre et de la densité du projectile, et nous l’avons fait varier de centième en centième d’unité, depuis o.oo jusqu'à 3.oo; ensuite de o.o5 en o.o5 depuis 3. oo jusqu’à 6.oo, et calculé ces troisjonctions avec 4 décimales exactes et leurs différences. Les valeurs de e* ne sont autres que les nombres correspondants aux logarithmes naturels; tes tables de ces logarithmes existent à la vérité dans les recueil» ordinaires, mais comme elles contiennent les logarithmes pour les nombres croissant par unité, elles ne sont pas directement applicables au cas qui nous occupe et pour lequel on a presque toujours à considérer des nombres plus petits que Limité. Cette table servira aussi à calculer les logarithmes naturels qui se présentent dans les applications de la balistique.

Les tables des valeurs de F' (a) et F (a), qui, vu leur mode commun de génération, peuvent être regardées comme des fonctions

1 Traité du moia>rmr*i dt$ pfjtciilet appliqué ou tir de* bouc fut i feu, p. 109 et uiivAUlet.