VL .
générales ayant une application particulière à l^t.ilisliqite, ont été également calculées dans la même «tendue. On a conserve 4 décimales exactes 1 . Nous rapportons dans ce travail un c^ail de ces tables pour .les valeurs de a de o.oâ en a.o5, depuis o.oo jusqu’à i.5o seulement.
Les tables de la fonction (a, b) sont à deux variables; 1a première ou a croit de centième en centième depuis a = o.oo jusqu'à a = i.5o et de o.o5 en o.oô depuis a — i.5o jusqu'à
a = 3.oo ; dans toute cette étendue — ou b croît de oio5 en o.o5 depuis 6 = o jusqu’à b = i.3o. Cette table s’étend ainsi au tir à toutes les distances et aux plus grandes vitasses dont on fait usage avec les projectiles qu’on emploie à la guerre.
Pour les valeurs de a et de b, qui ne tombent pas sur celles, des tables, on les calcule au moyen des différences relatives à a et de celles relatives à 4, qui sont écrites dans des colonnes distinctes. Par leur moyen, on pourra calculer les termes intermédiaires à un ou deux dix millièmes d'unité près depuis a — o.oo jusqu’à a = t .5o et à un millième d’unité au delà. Nous donnons un extrait de cette table pour les valeurs de o, de o.o5 en o.o5 depuis a — o.oo, jusqu’à a = i ,5o et pour celles de b jusqu’à i.oo, avec trois décimales seulement.
Nous n’avons pas eu besoin de calculer de tables spéciales pour
1 En calculant !ea tables de la fonction F* (a) , j ignorai, l'existence de celles que
Végs donne dans son Traité de mathématique en langue allemande; je n'en ai eu connaissance que par M. Tcrquem , férndit bibliothécaire du dépAt central de TartiHerie. En comparant cea tables avec les miennes , calculées avec 5 décimales , j'ai trouvé quelques différences d’une Unité sur le quatrième chiffre et provenant d'une unité seulement sur la S* décimale. J ai pu reconnaître que l'erreur était du cété des tables de Véga. Il’en a été de même pour trois nombres qui différaient de plus d'une uoilé sur la 5* décimale; ces valeurs sont a — s, 34, « = «,67', a = >.99. pour lesquelles Véga donne respectivement F' (a) «= 10090, F»= 5.o336, F'(a] — 6,3 i 6 j : pour ces valeurs, ma table porte a= 4.0091. a= b.oZS-j. a = 6,3*63. T a» recommencé le calcul avec des tables de logarithmes à 7 décimales et j’ai uouvé 4.00908. 5,03870, 6.3i6a0, ce qui fait voir que Terreur étail du côté de Véga. Une dernière erreur plus considérable existe pour a = 2.80; Véga donne F'o 3= 5,5o59, tandis que la valeur exacte est 5.5x394. Une erreur aussi grande est étonnante; les différences entre laa termes consécutifs auraient dû la Cure découvrir.
les valeurs de 6); nous avons pu y suppléer parcelles de
la fonction [a, b). La première étant exprimée e^F' (a) de la méifll manière que l’autre en F (a), il en résulte que quand ces dernières quantités sont égales entre elles, pour deux valeurs particulières a et a', c’est à-dire pour lesquelles F (a) = F'.(a') 1 les fonctions ^ (a-, b) et +’ (a', 6) ne diffèrent que par celles de
F gj et F' toujours très-rapprochées l’une de l’autre, et l’ona’ simplement
L’application numcflque Tait voir que cette différence est très- % petite tant que les valeurs de a et de 6 sont peu considérables ,
mais qu’elle n’est pas toujours négligeable. Pour en tenir compte dans tous les cas, nous avons, pour chacune des valeurs de a de la
table des fonctions + (a, b), calculé la différence a ^F- — F
de sorte qu’eu multipliant cette différence par le produit (t — f~6) b relatif à chaque valeur particulière de b, on aura 1a correction, toujours négative, à faire subir aux nombres de la table calculés
précédemment, avec l’attention de chercher les valeurs de a =-
dans la colonne des valeurs de a pour lesquelles F' (a') = F (a).
Le calcul des valeurs de la fonction x'{ a < 4) = (i -t- 6) F'« — b et dex” (a, b) = (i -f- b) e“ — b est facile et se réduit à une, simple multiplication au moyen de la table des valeurs de F' (a) et de «*. En effet, en mettant les fonctions x el X respectivement sous la formé
F a + (f a — «) 4 et e* -+- (e* — i) 4,
et après avoir cherché dans la table les valeurs de F' (a) ou e*, il suffira de retrancher l’unité de ces quantités, ce qui donnera presque toujours un nombre moindre que l’unité, et de multiplier le reste, par 4, qui ne dépassera jamais i,3o dans l’application au tir des bouches à feu. - . ~
sua LA BALISTIQUE. 8]
Nous avons donné k la table des valeurs de x (<*. b) la même étendue qu’aux précédentes; elle fournit, sans correction, les valeurs de z(a', b) pour les valeurs de a' telles que F' (a') =«“. Nous en dominons un extrait avec trois décimales, de o.oS en e.o5 depuis o.oo jusqu’à a i.5o et 6 = i ,3a.
CIRCONSTANCES DANS LESQUELLES LA RÉSISTANCE DE L’AIR LE U T ÊTRE REPRÉSENTÉE PAR UN SEUL TEBME PROPORTIONNEL AU CARRÉ DE LA.
L VITESSE, ET FORMULES QUI S’ï RAPPORTENT.
Nous avons fait voir (28 à 34) que lorsque l’angle deprojection d’un mobile au-dessus de l’horizon n’était pas plus grand que celui que permet le tir des canons et des obusiers, on arri- "vait à une solution facile des divers problèmes qu'on peut se proposer sur le tir de ces bouches à feu, dans le cas où la résistance de l’air était exprimée par deux termes respectivement proportionnels au cube et au carré do la vitesse. Ces mêmes formules se simplifient beaucoup dans l’hypothèse où la résistance, est exprimée par un seul terme proportionnel au carré de la vitesse; examinons d’abord les cas où cette supposition pourrait être admise.
Lorsque le projectile lancé sous un petit ahgle de projection n’a pas un grand trajet à parcourir; que sa vitesse initiale n’est pas considérable, et qu’en même temps il n’est ni de faible ca- . libre ni de faible densité, il en résulte que sa vitesse diminue peu du commencement du trajet à la fin. Dans ce cas, il est permis de simplifier l’expression de 'la résistance de l'air et de là réduire À un seul terme proportionnel au carré de U vitesse.
Dans l'expression générale de la résistance de l’air ^ = A * R- v‘
1 1 -f- ^ , la valeur de ~ est une très-petite fraction, de sorte que
si v n’est pas grand, le rapport - ne sera qu’une petite fraction
de Limité; et si en même temps il varie peu du commencement à la fin du trajet, on pourra, sans grande erreur, remplacer sa
Kt SUR LA BALISTIQUE,
valeur variable d'ufl instant à l'autre par une valeur moyenne regardée comme constante. " • : ’» • :
Les circonstances de fort calibre, de faible vitesse et de distances peu considérables se trouvent particuliérement réunies dans le tir plongeant où tir à ricochet; ce tir ne s’exécute qu’avec les boulets ou les obus, des plus forts calibres, avec des vitesses assez petites pour que le projectile soit dans sa branche descendante lorsqu’il arrive vers le point à battre et à des distances de la bouche à feu limitées à la fois par les circonstances du service et pour éviter les trop grandes déviations. Dans ce cas, le rapport
— ne sera qu’une petite fraction , et le rapport de la vitesse initiale V à la vitesse d’arrivée v, qui, d’après l’expression exacte
de le force accélératrice de la résistance de l’air j ^ i -j,
est -7 = ( i -f- « u sera peu différent de l'unité, de sorte
- que -f- -J , dans l’expression de la résistance de l’air, peut être
remplacé par sa valeur moyenne i -f- - et, en faisant
A! A (î -+- i ) . le résistance de l’air aura pour expression
d = AVR’v 1 . La valeur de A', comme celle de v, et dans certains cas celle de V, devront être déterminées au moins approximadve- . ment avant L'application des formules.
Soit, pour exemple, un boulet de a 4 lancé avec une vitesse initiale de « ao“\ k une distance de 35 o“. En prenant À=o.oa f,
- = o.ooa 3 pour la résistance de l’air, ia k ,oi pour le poids du boulet, a R =r o",i 485 pour son diamètre, g — g“,8o9 , on aura
ac = 2674“; — = 0.1 189 et v'= io4“,o; les valeurs extrêmes
de j seront 1.376 et i.a 38 ; elles diffèrent de leur valeur
moyenne 1.357, l’une et l’autre de 0.049 ou ^ de celle-ci en plus -ou en moins; cette faible différence dans l’expression de le
résistance de l’air ne peut apporter dans la forme de la trajectoire et dans les relations des divers éléments <]ue des erreurs négligea» blés; on peut donc, dans des circonstances semblables, remplacer l'expression binôme de la résistance par l'expression monôme, supposer celle-ci proportionnelle au carré de la vitesse, et déterminer le coefficient de cette résistance d’après la vitesse moyenne, qui devra être connue au moins approximativement. Dans l'exemple cité, on aurait A'= A 1 ,aâ7, et, par conséquent,
f=e 0.03396 ir RV et ne' r; = 3 137*, 3 , et, en général, pour l'expression de la résistance de Pair 7 = À'* R*o\ et, pour la
force retardatrice q— j7 , en faisant a C = . .
La quantité- c‘ est ici la hauteur due à la vitesse à laquelle la résistance qu’éprouverait le projectile dans Pair serait égale à «on poids ; carsi a est cette vitesse, on devra avoir A' w R' a a =P, ce qni donne n*=a</c'. Cela posé, et ejk suivant la même marche que précédemment, on arriverait à l’équation de la trajectoire, à l’inclinaison de cette courbe en un point quelconque , à la durée du trajet et à la vitesse de projectile, et ensuite à la solution des divers problèmes que l’on peut se proposer pour l’espèce de tir auquel l’hypothèse que nous avons faite s’applique. Mais il est plus simple de déduire ces solutions des résultats auxquels nous sommes
déjà arrivés; il suffira, en effet, de supposer partout - — o, alors les fonctions composées 4> [x, V,), et V (x, V,), se réduisent respectivement à F et F' ^ ; les fonctions x(x, V,), et x (*, V,).
se réduisent & F' et es 1 ; la valeur de d sera calculée pour le cas auquel on applique les formules.
D’après cela, on trouve pour l’équation de la trajectoire l’inclinaison, la durée et la vitesse du projectile, en'conservant les
mêmes notations que précédemment, mais en accentuant la valeur de c pour la distinguer.
.r^*tangf- ï ^.FQ|tangfi*=Ung?~ 7î ^'P(*)
, = ^p(-l).te = V^ J-.
V cm 0 \>c / - • coa B •
Cette équation de la trajectoire et ces autres valeurs sont au load les mêmes que celles auxquelles sont arrivés les divers auteurs 1 qui se sont occupés de balistique; seulement, celles que nous donnons sont beaucoup plus simples, par, suite de l’introduction des fonctions F et F . qui tiennent compte 'de la résistance de l’air. La solution des divers problèmes que l’on peut avoir à résoudre
s’obtiendra de même en faisant , comme on va le voir, - = o dans les résultats que nous avons déjà obtenus.
41 . SOLUTION DES DIVERS PBOBI.àilES EST HE LES POSTÉES, LES VITESSES INITIALES ET LES A.NGI.gs OS PROJECTION
Lorsque le but est à hauteur de la bouche à feu, on a * = o;
appelant X la portée horizontale , l'équation de la trajectoire, après avoir divisé par X, deviendra
d’où l'on tire , *
sin a? = i pÆ) , Il = -A- F(A) ou V- = A- P{A)
Quant à la valeur de X, on peut l’obtenir par approximation : i" en recherchant par plusieurs essais la valeur de
1 besout, Coars de mécanique , n' SïOi PoÎMon, Cours d* mécanique, L 4; P«*y, Cours de Mûtique, iifliogriphie de l'École deppli cation . MeU, 1 833 ; JObenbeim t diver* tuUur*, \ide- mémoire ({artillerie, l844, p. Ô4i.
qui satisfait à F équation mise sous la forme -p F -p — ik sai a
ce qui est facile au moyen de tables des fonctions F (a) et des parties proportionnelles; 2” en développant cette fonction au moyen du retour des suites , ce qui donnera, en appelant X' la portée dans levide, qui est X' = 2/1 sin a^,
,{v) + rt 4.
Ch» arrive à une expression simple des coordonnées du sommet de la trajectoire; en les appelant x et y, observant que ce point appartient i la trajectoire et que l'inclinaison est nulle , on aurjr,
en remplaçant les fonctions F* et F' par leurs expressions en e“\ les deux équations, • . .*
y = *' tang 9 ^ j>I ,J et O-tang ?- 1 )
d’où l’on tire : ■' ...
iWlog(i-*- £ *sin a et y = x' ( tang — c'tangf.
Lorsque le point à battre n’est pas à hauteur de la bouche à feu, a et 6 étant les coordonnées de ce point, on a
4ç=«tangft-- ï J-F(j),
en faisant - =tang a, on aura, si la vitesse initiale est l’inconnue,
h= : f/“) ou v =V/-
4e«*f(UDgÇ — lange) \c / V j
4 co*’ Ç (Ung<p-
et par des transformations connues,
cos*$ (Ungp— tange) • \cj
4*in(P— i) co*0
>in (<&-— t) coe ^
"(il
Si l'angle de projection <p est J'inconpue , on aura deux valeurs
dont la plüs petite seule peut être admise; en faisant— 77^— A', elle serai -, ..... . ’
umg ? = îi — J \/k’(h'-rb - . v,- , .
Lorsque la trajectoire doit passer par deux points donné» dont les coordonnées sont a et b, a et b', et qu’on demande la vitesse ' et l’angle de projection , la solution est très-simple.; car des deux équations qui doivent exister en même temps,
■ ■ ' • ■ jt • *• r. - •
b — a tang ? — F (^) . V = a' Ung^-^pg),
OU
en divisant l’une par l’autre, on aura :
UDgO
. trtge —
1 p (iÿ
« V , « Vf./ i». : - \«/ « \C/ «
T 7 =s -7 — r* » <1 ou tang p — • — —
1 *7*. !\«ÏÏ-"A,
. Connaissant f, on tirera des mêmes équations
d ’ où A = ■■ /> ■ c • P uis v =y 2
Si. la trajectoire doit passer par im point donné dont les .coordonnées sont a et b) et faire en ce point un angle 6 avec l’horizon , on aura les deux équations •>' s ■*
6 = « tang ^ tang 6 = tapg *-^*'(4).
0 ou, en faisant -= tang *,
tang 9 — tang « :
Akxm'Ç
divisant membre à membre , on aura
et tang Q — - tang 6 :
1 k cot'C
UagP—lADge
et ’ tang <p —
,F> v) Uüg,— F (j) uo * s
En retranchant ces deux équations l’une de l’autre , on aura
t^.-t*ngtf=-^(aF'(3-F(4}) et
Dans chacun de ces problèmes on déterminera la durée et la vitesse du projectile par les valeurs de I et de », qui ont été données plus haut.
Là solution des principaux problèmes qu’on peut se proposer dans lç tir plongeant se trouve ainsi très -facile dans l’hypothèse de la résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse du projectile; mais on doit, comme on l’a dit, déterminer la valeur de c pour chaque cas particulier, ce qui force à déterminer, quand elles ne sont pas connues , la vitesse initiale et la longueur du trajet, d’où dépend la vitesse moyenne qui entre dans
j+ J et, par suite, dans celle de C. Cette
méthode n'est pas sans inconvénients, à cause des opérations préliminaires qu’elle exige ; et il est préférable, dans tous les cas, d’employer les formules directes, qui sont plus exactes et -qui n’entraînent à aucun calcùl préparatoire ,
8S . Sl< fi Ii A BALISTIQUE
ha méthode que nous avons indiquée pour le cas des petites vitesses des gros projectiles et des courtes distances ne pourrait * être appliquée sans des erreurs notables lorsque ces circonstances ne sont pas réunies; telestie cas du tir des bon lets aux grandes distances et avec les vitesses qu’on leur imprime ordinairement; la vitesse du projectile varie trop rapidement, et le terme proportionnel au cube de la vitesse a une IrOp grande influence pour qu’il puisse être remplacé par une valeur moyenne. Ainsi, un boulet de î 4 , ayant o“, 1 485 de diamètre et pesant i a l ,o i , animé d'une vitesse initiale de 5 oo“ *, conserverait, d’après la loi de résistance de l’air que nous avons admise, aux distances de 5 oo“, i ooo“,
1 5 oo“. a 000“, des vitesses de 36 o”, 370“, ata", 169"; la
valeur du coefficient 1 -t- serait respectivement 1,988, 1,88a,
1,818, 1,768, et celle de A', qui doit multiplier' wRV, devrait être respectivement ausai 0,0637, o,o 5 oa, 0,0491, 0,0472. 0 résulte de cette diminution , que si on voulait chercher les vitesses initiales qui, sous des angles observés, ont donné les portées de 5 oo", 1000“, 1 5 oo”, a 000“, et qu’on adoptât le coefficient qui satisferait à. l’observation de la portée de 5 oo“ et • qui donnerait une certaine vitesse , On trouverait pour les autres des vitesses plus grandes. En effet , en observant que ce coefficient devrait être plus petit pour les distances plus grandes, on voit que . cela revient à supposer la résistance de l’air trop grande; par conséquent, on trouverait des vitesses initiales d’autant plus grandes que les portées dont on les déduirait seraient plus considérables*. On voit ainsi que les formules que nous avons données en premier liçu présentent dans tous les cas plus d’exactitude et plus de .simplicité. « ' , ' . ■ ’ '
. 1 'Cm ce qui est arrivé presque coiHUmouutl , «I notamment dans les upéricncç* d'artillerie eiéc niées A Givre de i83o à i$4o, per ordre de M. le ministre de la marine.. Ctal à i tortdqn'on on a conclu que les vHeasesd'on boulet lancé avec des charges égales de pondre ..mènent aient arec isngic de projection, ,* - 0
