CORRKCTIOll PROCOSé
La correction introduite par Legendre donne une plus grande exactitude à la méthode' d’Euler, parce que. quand on considère les projetions lioriiontales ou les portées, au rapport d'un arc de trajectoire d’nn certain nombre de degrés à sa projection , il est plus exact de substituer le rapport analogue dans un arc de cercle dont les inclinaisons aux extrémités sont les mêmes que
. Vi^alwn Wbù,« P» Ligota , p. . h , « .tt.canq« ptit»opb,« à* Prodj. on J<mr-
agi de treot/ polytcckaiqm , 1 1* caiiifr, <1/ JtorMBÎf». >•».
* Plu* exactement
ce.rapport dans uneligne droite qui attrait une inclinaison .moyenne - entre celles des extrémités, Mais il est facile de Voir que si , au lieu d'un arc de cercle ou d’une ligne droite , on prenait un arc de parabole ojculatrice A l’une des -extrémités de l’arc, on obtiendrait un Tapport beaucoup plus approché. Or nous avons donné' cc rapport représenté par «, qui, lorsque les inclinaisons extrêmes -p et ?’
ont respectivement p et p pour tangentes, est égal à p — f ' ' —
Ainsi, la valeur plus approchée des projections horizontales des arcs serait ’ ‘ ‘
. c-tKf) p-r ~ ,
tro »c-«(0) V;.rv
. Quant aux ordonnées, nous avons trouvé pour - la rapport
> '4 (tang’a— ; (ttngp— **ng#7 -
d’où ' -y
” — ï (tang<p + tang<p') j. *
' 55. DSOKB B-«XXCTITUD8 DES D1VEHSES MÉTHODES. - ,
Comparons entre eux les rapports donnés parles trois méthodes • pour juger de leur exactitude; en faisant le calcul pour l’arc de >. >
6o° à 55*, pour celui de 45° à 4o°, pour celui de i 5 ° à ao°, et pour celui de 5® à o°, nous aurons respectivement pour cës quatre angles et pour les différences, avec la correction proposée,
Méthode d’Etüer. cos — — . . . ;
6o* à 5 é\ Diff
45"-4 jlo*-
Diff.
t 5 *à ao.* Diff J
o, 6373 oo *$74
o*ya 38 bo 597
n-D /-vr •' s ••
0 , 9 » 3 aé 3 0
- . En comparant antre eu* les résultats de ces trois méthodes, on voit que celle de Legendre ne diffère pas sensiblement dé la méthode proposée lorsque les inclinaisons won petites, mais qne l'exactitude diminue à mesure qu’on s’éloigne du sommet de la trajectoire. Dans la méthode d’Euler. !«• différence est beaucoup plus grande pour les petits arcs; clic est encore double pour les arcs de a5° à ao°; A pour l’arc de (là* à 4o° et — pour celui de ,6o° à 55°; comparées à la quantité .cherchée., les résultats do la méthode d'Eulor diffèrent des valeurs absolues, respectivement de Trr« ’ i77 • 777'! ces corrections sous les très-grands angles ne sont pas à négliger. - • . ■ . .
Celte observation fait voir que pour appliquer convenablement la méthode d'Euler, même avec la correction de Legendre , il né faudrait pas prendre les arcs d’un pareil nombre de degrés, quelle que soit leur inclinaison, mais qu'il faut plus resserrer les divisions pour les angles élevés que pour les arcs de faible inclinaison, comme nous l’avons fait pour l’application du tir sous les grands angles, lorsque la résistance de l’air est exprimée par deux termes. ^
En opérant pour les ordonnées comme pour les projections horizontales, on aura les résultats contenus dans le tableau suî- ,. vanl :
Dàtiipiftlion des aura». . . . ... v •
6 S à S6% Diff.
i y i 4o\ Diff
i5* 4 10*. Diff.
o.^àSgo * *07»
... »ngO-t*i>ffO uugtp-t-toiisC
Met. — »
S* à O.' Diff.
En regardant, d'après ce qu'on à déjà dit , la méthode proposée comme celle qui donne la plus grande exactitude, et en y rapportant en conséquence les autres, on verra que la correction de Legendre est moins exacte que la méthode d’Euler : pour l’arc de
SUR LA BALISTIQUE. lli
6o° À 65° elle s’en écarte d e pour les autres arcs elle s'en
écarte de -j- environ; l’erreur de la méthode d’Euler est respectivement de -j-J-j, — 7 des parties d’ordonnées.
Pour mettre hors de doute la plus grande exactitude de la méthode proposée sur celles d’Euler et de Legendre, 'il sullira de considérer le cas où la vitesse serait très-faible et le projectile très-lourd, cas où la trajectoire ne différerait pas sensiblement d’une parabole ^dans ce cas, la méthode d’Euler, et celle de Legendre, donneraient des abscisses et, par conséquent, des portées t»p grandes et des ordonnée» trop petites ; la méthode proposée, au contraire, donnerait exactement les abscisses - et les. portées.
