MéTHODZ DE leoiHdm
* Il ■ • J .... .... * »
Legendre 1 a proposé plusieurs méthodes d'approximation pour obtenir l’équation de la trajectoire , en faisant une supposition sur la variation de. la densité de l’air.
La principale est fondée sur eette formule ■ , de façon
que dans l’équation =— , op remplace - par - • ou i par
i ***- ■ . ce qui la transforme en celle-ci •
‘ A *P i • ji*
et il détermine» de manière q-’au point de départ, oùp = tang Ç>, la densité soit exactement celle qu’on doit avoir, c’est-à-dire
ou il lait =i . d ou a = — .
Par cette méthode, in densité supposée est égaie à la densité
1 Duierlalion sur
lettre» d* Prn»»
IUT la question de baKf tique, pmjvoVie p»r l’Acriétnie dtp «cie&cés et belles ,frarl<|rud>i78i, |nr Lfpain. * ’ r; ^ a
réelle aux troia points où Ton a p = tang p ,p =eo etp=s — tang ;
dans tes autres positions, elle sera plus petite que la vérit^je.
Le minimum aura lieu au point où p 3 = - — — = . c °J g , et le rap-
port de la densité supposée à la densité réelle sera ^ i — tang* ~ ç, quantité en général peu différente de l’unité; car lorsque ç est successivement 3o°, 45*, (îo D , oe rapport est. respectivement inférieur i l’unité de —, — .
4oo 67 16
Cela posé, l’équation cilp‘ =s dpdt, en y remplaçant ds 'par dxÿi+p devient,
• • » 1 ed î p =?.(» p' l )dxdp;
de cette équation il tire l’équation de la trajectoire , en faisant
B =^ + Un S ? - + -‘s Un g î? -
déterminant C par Téquation cubique
et en faisant y - C* H — m.
Déterminant enfin les valeurs des angles A et P par les relations r. •• ■■ ■>
tang A =s
-et ungP=i^,
on aura
• l 1 C— P , CO* P JC i4 J
* = 7^:1 *°8 + lo 8 ^ + - < A ~ p ) )’
et
j=ct-i(A-n
On observera : 1 0 que C doit être calculé avec précision au moyen
des fausses positions; .a* que les logarithmes indiqués sont hyperboliques, et que A — P, désignant la longueur absolue d'un arc, derra, après avoir été estimé eh degrés, être multiplié par On aura ainsi les valeurs de x et de y . pour autant de valeurs de p que l’on voudra. ,
Cette méthode, et plusieurs autres que Legendre développe, ont le mérite, d'une grande exactitude; mais on ne saurait disconvenir qu’elles n’ont pas la simplieité nécessaire pour les applications, et qu'elles’conduisent à des calculs trop pénibles.
Legendre fait une application numérique , et il compare sa formule à celle de Borda; mais les données de l’exemple qu’il choisit sortent des limites, de la pratique, car il prend 1 h = 10 c et l’angle de projection de 45°; or, pour des bombes de o“ 3a et o“ a a de diamètre, la valeur h = io c .indiquerait des vitesses d’environ 46 o” et de 360” 1 par seconde; il ne peut d’ailleurs être appliqué aux canons, qu’on netice pas sous des angles aussi grands.
Cet exemple était très-propre, sans doute, à faire ressortir l’exactitude relative de sa méthode sur celle de Borda; mais H induirait et» erreur sur leurs v^kprs réelles, considérées sous le rapport des applications au tir des projectiles.
