III III

ou

Il suffit d'avoir examiné quelques cristaux de quartz pour savoir que ce sont toujours les incidences des divers Thomboèdres dérivés sur les faces du rhomboèdre primitif ou sur celles de son inverse qui s'obtiennent le plus facilement et avec le plus de netteté^ il est donc commode d'avoir quelques formules pour calculer immédiatement le symbole de ces rhomboèdres en fonction d'une de leurs incidences, et réciproquement.

Comme on ne connaît dans le quartz, sur les angles culminants du rhomboèdre primitif, que les deux modifications a* et a'', tandis quHl en existe une très-grande quantité sur les angles latéraux , je ne m'occuperai ici que de

ces dernières.

Les notations e' et e^' représentant en général tous les

rhomboèdres directs et inverses situés sur les angles e, la

valeur de / et de /' sera donnée par les formules

Dsin(C + a) ^^ sin(CH-a — E)'

f.\ :)sin(C + a^)

^^ ""sin(C -*-«' — £)'

dans lesquelles 'è représente la longueur de la demi-dîagonale oblique des faces du rhomboèdre primitif, C est Tangle aigu que ces faces font avec un plan perpendicidaire à Taxe vertical , E est le supplément de Tangle au sommet formé par la diagonale oblique avec Tarète culminante opposée b ; a est l'angle obtus que les rhomboèdres directs font avec le plan perpendiculaire à l'axe, et a' l'angle aigu que les rhomboèdres inverses font avec le même plan (Jig- 87, PL III) 5 par conséquent, C -I- a est l'inclinaison donnée immédiatement par l'observation d'un rhomboèdre direct sur la face primitive correspondante , et C + a' est l'angle compris entre un rhomboèdre inversa et la face primitive opposée \ comme les cristaux n'ont en général qu'un, seul sommet, il est rare que ce dernier angle s'obtienne directement, mais il est toujours facile de le déduire de

celui qu'on mesure entre le rhomboèdre dérivé et la face e* adjacente.

Réciproquement, si l'on connaît la notation d'un rhomb(Jfedre direct ou inverse, les angles a et a' se calculeront au moyen des formules

(4) "'°g°''= (2r-'t)cotC -

Le symbole d'un rhomboèdre quelconque est aussi lié à celui de son inverse par la relation

(5) l'=z^fii.

ik-

( i83 ) Enfin, le signe des rhomboèdres tangents sera

^1 -+-a« pour les rhomboèdres directs,

e ^ ^ pour les rhomboèdres inverses.

Les formules relatives aux rhomboèdres situés sur les angles culminants de la forme primitive sont aussi simples que les précédentes, et elles s^établiraient avec la même facilité.

On peut également calculer la notation des faces nommées plagièdres par Haûy en fonction d'une de leurs incidences, et réciproquemeiît. On sait, en effet, que toutes ces faces appartiennent soit à la zone p 5 é*, soit à la zone

e^ se*j s étant la face rhombe commune aux deux zones. La position de ces zones une fois déterminée , il existe plusieurs méthodes qui donnent les longueurs interceptées par les plagièdres sur les arêtes de la forme primitive, lorsqu'on possède Tinclinaison de ces modifications sur une des faces de leur zone.

L'une des méthodes les plus simples consiste à employer les équations suivantes :

1°. Pour les plagièdres de la zone p s é^^ situés audessous du rhombe \ u i^ w étant les trois nombres entiers employés dans la notation de Miller, ces nombres seront donnés par la relation

et les quantités m et n se déduiront du rapport

n %iïxse' siiïTtp

dans lequel Tre' et irp représentent l'incidence du plagièdre sur la face verticale et sur la face primitive qui font partie de la zone.

2°. Pour les plagièdres situés au-dessus de 5, on aura

et

sin se^ sin

n 3 sin^/? sinr^'

et

sin j?<?'

4°. Pour les plagièdres situés au-dessus du rhombe.

et

m' sin ^e' sinrc*

3**. Pour les plagièdres de la zone e' 5 e*, situés au-des- j sous de 5, les équations seront (

m' sin se^ sin xe^ \

n' sin sé^ * ^

n' . ^ sinrff* sm 5<?'

Si maintenant on considère \'àfig, 88, P/. ///, sur laquelle

le rhomboèdre e' est indiqué par le triangle a mm! et le prisme hexagonal e* par les triangles ne" e"' et n' ee\ ||

il est facile de voir que le rhombe 5, pour se trouver à la

fois dans les deux zones, p droit e* gauche, et e^ gauche

e' droit, doit être représenté par le triangle e" n q dont le ^

symbole peut s'écrire indifféremment, dans le système de f

Lévy, [d^ d* b^) ou (h^ d^ d*). Tous les plagièdres de la

zone e' s e*, devant couper la face e* suivant des lignes pa- •! )

rallèles à am ou 7ig, seront exprimés par des symboles de

ni

la forme [b^'d^d^^) ou [b' d^ d^)\ le premier indiquera des plagièdres inférieurs au rhombe , pour toutes les va->

leurs de x plus petites que - ; pour x = o la modification

sera exprimtSe par le signe [b^ d^ d^) qui est précisément celui du second prisme ^/^, tangent aux arêtes latérales ^ pour

X = - l'expression (i' d^ d^) représentera le prisme hexagonal e* figuré par les triangles e e' n' et n e" e!" : si la valeur de X dépassait -5 on retomberait sur les plagièdres de la zone p se*^ dont nous parlerons tout à Theure, et comme

l'expression {b^d^d*') peut s'écrire (^^ J^* A''),pourx=.oo la troncature se réduirait au triangle /l'é' e^^ compris dans une face du rhomboèdre primitif.

Le second symbole (b"" d^ d^) se rapporte encore à des plagièdres inférieurs, si x est plus petit que -^ pour x = -

ou a (ft^ <i* /i* ), qui est précisément le rhombe, représenté par le triangle nqe"\ toutes les valeurs de x supérieures à

- nous donnent des plagièdres supérieurs au rhombe \ si

j: = 2, le plagièdre (b^ d^ d^) se confond avec le rhora-

boèdre e' , etsi x=m>2, l'expression (b^ d^ d^) indique des troncatures situées sur l'arête d'intersection des faces p

et e^ ^ lorsque m devient égal à 00 , on retombe comme tout à l'heure sur un triangle a me' compris dans la face rhomboïdale p'.

Les plagièdres de la zone p sè^ peuvent tous être ramenés à un plan coupant la face^, par exemple, suivant la ligne e" n , menée par l'angle latéral e" et par le milieu de l'arête D. i3

culminante a e', ce plan rencontrant d'ailleurs Tarèle latérale e'e'" en un point quelconque de sa longueur-, le symbole général de tous ces plagièdres sera donc de la forme

[d^ d"" i'), X étant un nombre quelconque plus petit que Tuniié ; si x était égal à i, oa retomberait sur le prisme

hexagonal e* -, toutes les valeurs de x plus petites que j indiqueront des plagièdres supérieurs au rhombe, toutes les valeurs comprises entre y et i se rapporteront au contraire

à des plagièdres inférieurs.

Il est d'ailleurs facile de voir, comme précédemment, que pour les valeurs extrêmes a: =;= o et a: =00 on a un triangle n e' e'" compris dans la face rhomboïdale //, ou un plan parallèle à Tarète latérale e e'^ et coupant la face p suivant la ligne n n'^ \ le symbole de ce plan pourrait donc s'écrire d'^ : c'est le solide auquel Haiiy a donné le nom de dodécaèdre met asiatique.

Il est évident, d'après ce que j'ai dit précédemment slir les rapports qui existent entre la notation rhomboédrique de Miller et celle de Lévy, que si , parmi les longueurs Il ^ w ou «' i^' iv', on a soin de compter celles qui ont le même signe algébrique sur les deux arêtes de même espèce qui concourent avec une troisième arête d'espèce différente, à chaque angle solide latéral de la forme primi-

live, les expressions (ft" ^ d^), {b'' d"" d ) ou (ft^ d^ d') pourront toujours se ramener à l'une des formes (6^ cf * /i*'V

(é^ r/* e/^) ou (flf * d' b^ ) que je viens de discuter.

Si maintenant, étant donné le signe cristallographique d'un plagièdre quelconque, on voulait trouver son inclinaison sur une des faces de sa zone, on pourrait avoir recours aux relations suivantes :

i^. Pour les plagièdres inférieurs de la zone p 5 e^,. dont le syijabole général est y dans la notation de Miller,

( »87 ) (// (^ w)^ 11= — 2Wy 011 peut poser

I sin se'' u -\- IV

3 sin sp u

et

Or

tang - ( TT (?' - TT/?) = tang i {p e') . ^--^

au moyeu de la demi-somme et de la demi-différence des angles tt e* et Tzp^ on pourra donc déterminer chacun d'eux. 2®. Pour les plagièdres supérieurs, on posera

sin^

w -h 2 f siQ se^

et

tang - [tp — te') = lang-(/?c'). :^!—j^

relations d'où Ton pourra conclure les valeurs de tp et de ^e*. i^. On aura de même pour les plagièdres inférieurs

de la zone e' 5e*, dont le symbole général est («/(^'tv'),

u' == w\ les formules suivantes :

a* — (/ sin se^

iu

sin se

et

d'où Ton tirera les valeurs de a: e* etdexe'.

4". Enfin , pour les plagièdres supérieurs de la même zone, en posant

2 w' -j- t^' sm se

v' sin se''

et

tang -(t f' — Te') = tang- (^' ^■)

on connaîtra t e' et t e*.

Mes observations m'ont fait voir qHe les faces plagièdres de zones ilî^é^^ntes, mais d'angles égaux, étaient plus communes qu'on ne l'avait remarqué jusqu'ici 5 il peut donc être utile, lorsque l'on connaît une de ces faces, de déterminer immédiatement le symbole de son inverse ; jcette transformation se fait facilement, au moyen des formules suivantes qui se trouvent page 85 de la traduction française d^i Traité de Cristallographie de Miller :

h kl sont les coefficients d'une face plagiëdre quelconque, et p q r ceux de la forme inverse de cette face.

Les autres faces du quartz que j'ai nommées faces isolées, parce qu'elles ne font pas partie des zones principales dont j'ai parlé jusqu'à présent, sont toujours comprises au moins dans une zone formée par deux faces de position bien déter^ minée ; leur signe cristallographique s'obtiendra donc en général par un calcul fort simple, au moyen dé leur incidence sur une de ces faces.

Quant aux zones qui , à cause de leur multiplicité, jouent un rôle très-important dans la cristallisation du quartz, on peut les déterminer, soit au moyen des procédés algébriques donnés par M. Miller dans sa Cristallographie, soit par une construction géométrique sur la figure du rhomboèdre en perspective ou en projection^ dans ce dernier cas on ramène toujours leur détermination à une comparaison de triangles semblables dérivant immédiatement de la position des faces sur les arêtes de la formé primitive.

Extrait des 'Annales de Chimie et de Physique, 3^ série, t. XLV.

PAUIS> — IMP&IMERIE DE MALLKT-nACHELIER ,

rue du Jauliiiei, 12.