UT

SI'

et les deux premières ondes, se propageant avec la même vitesse, Be superposeront de manière à n'en plus former qn'une seule. C'est ce qui arrive dans certains cristaux ou les deux rayons polarisés que l'oeil peut appercevoir, et qui produisent ce qu'on appelle la double réfraction , se confondent dés que le plan de l'onde devient perpendiculaire à un certain aie nommé l'axe optique du cristal.

Sans rie» changer A la direction de l'axe des z, on peut disposer du plan des y, s, de manière a simplifier l'équation (114), Effectivement on y parviendra, en faisant coiucidcr le plan des y, z avec celui qui passant par laie des > aéra perpendiculaire au plan de l'onde. Alors la droite OP, perpendiculaire au plan de l'onde se trouvera comprise dans le pian des y, z ; et comme on aura par suite

la formule (34) donnera

En conséquence l'équation (114) deviendra

(118) (tH- r Pi)x'-KO-r- c, ( > .+ p P.,.(A î -u' , ))j a ±2 : * , ( , -,,(* I -w 2 ) wïM-(0+f>,+*ÏV, J w')i*=i.

Dans cette dernière le double signe + pourra être réduit arbitrairement soit au signe +, soit au signe ■ — . Dailleurs, en vertu de ce qui a rite dit précédemment [page 15], les valeurs de £>, T> et par suite celles de "V , *ï y ' ne varieront pas dans le passage de l'équation (114) à l'équation (118). Maintenant il est clair, que l'ellipsoïde représenté par l'équation (118) offrira un axe dirigé suivant Taxe des x, c'est a dire, suivant la trace du pian de l'onde sur le plan des x, y. Les deux autres axes de l'ellipsoïde se confondront avec les axes de la section faite dans cet ellipsoïde par le plan des y, z, c'est à dire, avec les deux axes de l'ellipse représentée par l'équation

(i!9) (D-f- "C.+'ft,! (i 1 — w')) ? ± 2 °^<,' (** — w 1 ) •^T■^-(t)-H l y*+ l %lW , )■ , = 1 Cela posé soient

le carré du demi-axe qui, dans l'ellipsoïde, coïncide avec la trace du plan de l'onde primitive sur le plan mené par le point O perpendiculairement à l'axe des a, et

les carrés des demi-axes de l'ellipse (134). Les vitesses de propagation il , £î" , ST

des troii ondes polarisées seront déterminées par les formates

h valeur de s'* étant

tendis que «"*, *'"* représenteront les deux valeurs de s 1 propres à vérifier l'équation

(122) } ^-(tH-^t+^M^-W))! !* J — (0+^«+%^)j-^ 2 (P-t^)^ = 0.

Lorsque le plan de Ponde primitive est perpendiculaire à l'axe des *, ou ce qui revient an même, Torsqu'on a

t/ = 0, v = 0, wriHhi, l'équation (122) se réduit à

(123) k-(tH-V.)i k-CO+^ + IPr,*,)} =0.

On peut donc prendre alors

et, en combinant les formules (120) avec les formules (121), (124), on se trouve immédiatement ramené aux équations (116), (117).

Lorsque le plan de Tonde primitive passe par l'axe des *, c'est à dire, lorsqu'on a

tvzz 0,

l'équation (122) se réduit à

On peut donc prendre alors

(126) «"' = O + T», , «'" ' = O + «P, + *P M iP. Alors aussi l'équation (118), réduite à

(127) (O + ^Ox' + CO + ^t + ^iAOj' + CO + ^a'r: 1,

représente un ellipsoïde qui a pour axes les axes coordonné* ; et l'on peut affirmer, que des trois ondes planes produites par la subdivision de Tonde primitive, dont le

usa,

•M^^ff-O+TrK»^».', .,Ç*<+V~<V-~ ! >-tr-Km>

Ofcwem» nom cm IVqMiM (137> pew tire tréemec m la i

§. 4. Propagation des ondes lumineuses dans un milieu où l'claslivilc de l'îtkcireste la même en tous sens.

Considérons un milieu dans lequel l'élasticité de l'éther reste U même en tous sens. Alors, comme on l'a dit [page 26j, des trois ondes planes dans lesquelles se divise généralement une onde plane de lumière non polarisée les deux premières, se propageant arec la même vitesse, se superposeront de manière à n'en plus former qn'iine seule dans laquelle la lumière sera polarisée parallèlement au plan de l'onde primitive, tandis que dans la troisième la lumière sera polarisée perpendiculairement à ce plan. De phn II troisième onde disparaîtra, si c'est dans le plan même de l'onde primitive que sont dirigés les déplacements et les vibrations initiales de molécules, et alors il n'y aura plus de polarisation. On arrive à la même conclusion, en substituant dans les équations (25) du §. 2 les valeurs de £,, îm., 3E, 3?, 2,, ai que fournissent les équations (56), ^57) du § 3. pour le cas oit l'élasticité de Peiner reste la même dans tous le sens. Effectivcraent, après la substitution dont il s'agit, lus formules (25) du §. 2 se réduisent à

r=— (0+"P')i" — «^"(«r + t'ij-T-H»:),

= — (0+10 K -i' e C («g + VT, -\- uk) ,

i maintenant on ajoute les formules (1) après avoir multiplié les deux membres de la remière par m, de la seconde par v, de la troisième par w, et si l'on a égard à l'équation

on trouvera

B* + Il* + W' = * > ,

J(»ig+i*iî+ig:)

Cela posé, en tenant compte des formules (26)- (27) du § 2, on déduira sans peine de l'équation (3) la valeur générale de

uis, après avoir substitué cette valeur dans chacune des formules (1), on tirera de ce* dernières formules les Taleurs des trois inconnues i, i . t.

Lorsque les déplacements et les vitesses des molécules de l'éther sont primitivement Hèles au plan de l'onde lumineuse, les valeurs initiales des deux quantités

•§+•9+».. -dT+-dT + -dT

s'évanouissent, et l'équation (3) doune généralement

(4) uÇ + vrj + wÇ = 0.

Par suite, en posant pour abréger

(5) #' = © + *?', on réduit les formules (1) à

<Pè d*T} à*:

t 6 > ÂJ"=-^' 3?"=-Ai *f=—v

Or on tire des formules (6)

„ 8insl , «in*/ sintl

(7) gzzt'ocosrt+gi , ij= i/o cos ##+>;! c = ç co8^+ç t *

£o »*;<>> £o> lu In Ci désignant les valeurs initiales de

t r B. in *i

b1 '' tf *' *' A'

Daiileurs ces valeurs initiales que déterminent les équations (26) , (27) du § 2 , jointes à léquation

(8) v =z <uc + iy + cz

ou, ce qui revient au même, à la formule

(9) hv = ujc + ty + wz ,

devront vérifier des conditions semblables soit à la condition (78), soit à la condition (63) du § 2, si Ton veut obtenir seulement des ondes lumineuses dont la vitesse de propagation soit dirigée dans le même sens que la droite OP 9 ou des ondes lumineuses dont la vitesse de propagation soit dirigée dans le sens opposé, la droite OP étant celle qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles dont les cosinus sont respectivement

Dans le premier cas, on aura

(il) fcs-fijfc-, *=-û;g- k=- fî rfP

la vitesse de propagation d'une onde étant

(12) Si = j;

et des formules (7), (10), (11) jointes aux équations

£ o =*o cos £*~t~0o8inJbp==9>(*)t

(13) { i; ='oC08*»+ksta*r:=x(*)i

on tirera

£ = fto cos (ib — «l)+0oSÎn(ib— rf) = ç>(tf — fif),

(14) { ij = f cos(Jfe— rf)+jjosin(Jb — rf)= *(* — fîf)i

t = f cos(** — *f)+ V> ■**(** — *0 = V(* — ^0'

Dans le second cas les formules (14) devraient être remplacées par celles qu'on en déduit en substituant aux binômes

kv — rt, tf — Sit

les binômes

ktf + et , v + fil.

Ajoutons que, l'équation (4) devant être vérifiée indépendamment des valeurs attribuées i v et a / , par conséquent pour des valeurs de

hv — st

n égales à lero et à r, on trouvera entre les constantes arbitraires

*oi '<>* foi 009 I)<m io des relations exprimées par les formules

(15) w*o + f f o + wf = 0, f/09 + t>Jj + UM = 0, ou , ce qui revient au même , par les formules

(16) a* + bt + cto = 0, ajo + ftljo + cîo = 0,

desquelles on tirera

Soient maintenant

a , b 9 c , et a ' , i ' , ©"

les cosinus des angles formés avec les demi-axes des coordonnées postives par deux nouvelles droites Q , OR perpendiculaires entre elles, et à la droite P. Posons d'ailleurs

(18) «>^) + *'xW + ^>W = ©W,

(19) a>(*)+*"x(,0+c>(*)=JT(>),

Les trois axes OP, OQ, OR étant rectangulaires entre eux aussi bien que les axes des x, y, z, on aura non seulement

( a* + *» 4- c 2 = 1 , a'* + *" + c'* = 1, a"* + *"» + c"* = i , ^ j o'a"+*'J"+c'c" = 0, a"a + b'b+c"c = 0, aa' + **' + ce' = 0;

mais encore

( a* •+■ a * + a" 2 = 1, b* + 6* + b"* = 1, <?* + c'* + c H * = 1, ^ ^j 4c4-4'c' + o"c" = 0, c« + c'o' + c"o"= 0, ab+a' b' +a'b" = 0;

et par suite des formules (17), (18), (19), respectivement multipliées par a, a', a' on par b, b', b" , ou enfin par c, c', c", on tirera

q> (v) = o' © (y) + a " n (v) , (22) ^ Z (^) = 4'©(^)+*"JI(^),

1fl(y) = c'fi»(*)+«?"JI(v) ,

En conséquence les formules (14) donneront

Î£ = a'w(«— Sît)+m"n(v— 520»

rç = *' w (*— !2*)+*"JI(*— fi») , Ç = c'w(w— fil) +c" JI (*— fit)*

Observons d'ailleurs que si l'on fait pour abréger

(24) «m, + *'fe + cC = a, «*'*,+ i'fc, + *'%, = $,

on conclura des Formules (18) (19) jointes aux équations (13) ro(f) = acosi i -f- fîsîiiï i-, JI(») = CcusX-r -*-5>6Ùl*p.

Dans le cas particulier ou le plan de l'onde primitive devient parallèle à Case des ,z, et où la droite OP, renfermée dans l'angle que comprennent entre eux les demi-axes des ,r et des y positives, forme avec le premier de ces demi -axes un angle aigu représenté par t, l'on *

(27) a = cost, h — sîiiT. c^fl-

Dana le même cas, en faisant coïncider la droite OQ avec un demi-axe ment! dans le plan des », y perpendiculairement a la droite OP, et la droite Oit avec le demi-axe des z positives, on trouvera

: slni,

4' = — cosi, c = e" sa t.

Par suite les formules (23) donneront

(30) £ = Bin*o(«— fit), jj— — co8ïffl(*— i2*)t £=3ff(»— Â)} et, comme on tïrera de l'équation (8)

(31) » = reoSï •+- j/sint, on aura définitivement

(32) ^^sinrai(xcosr+^sinT-i*0. ïj=-cosro;(.rcosr+ i ysiiir-i2(), ir=ÏI(-i:eosr+j/simï-i2f) ,

les fonctions cï(iv), Jï(r') étant toujours déterminées par les formules (26), ou ce qui révient an même, eu l'égard a l'équation (12) ,

/ 5:=siiiiHvcos(A-(.i-cosr+.J/>iiiT) — s/)-f-8sin(A'(jrcoSï+j8!ni) — ar)î,

(**){ Jj=-cosiîîlco8(fc(xcosr+ysinT) — rt)+-fisin(Jt(^-cost+^sïiiT) — st)[,

\ Ç=:€co8(Jt(jrcos»+jfsinT) — *0+©8in(Jt(*CO8ï+ysint) — st).

Remarquons encore que Céquation (5) ou , en d'autres termes, l'équation (18) du §- 3 peut être remplacée par la formule (80) du même paragraphe ; et que, si l'on fait pour abréger

cette formule donnera simplement

(34) s' = «,ir' + o,* , + >,/r , + eM.

De cette dernière jointe à la formule (12) on conclura

(36) S2* = a, -T- a, if + a, *• + etc.

D'ailleurs en désignant par I l'épaisseur d'une onde plane et par 7 la durée des oscillations moléculaires du fluide éthéré, on aura, comme dans les paragraphes précédents.

11 est important d'observer, f|n'<n vertu de la formule (38) la quantité * dépend uniquement de la durée des os cil talion s moléculaires, c'est a dire, de la nature de U couleur, tandis qu'en vertu de l'équation (35) jointe aux formules (12) et (37) les quantités <v, fi et / dépendent simultanément de la couleur et de la nature du milieu dans lequel se propagent les ondes lumineuses. Quant à l'angle i il dépend uniquement de 1a direction des plans parallèle?, qui renferment ces mêmes ondes.

§. 5. Sur la rêfrticlivn île lu lumière.

Considérons deux milieux séparés par le plan des y z dont chacun soit tel que l'éther y offre la même élasticité en tous sens, et dans l'un desquels se propagent des ondes lumineuses dont les plans soient parallèles à l'axe des z. L'existence de ces ondes que nous nommerons incidentes entraînera la coexistence 1° d'un second système d'ondes propagées dans le premier milieu, et que l'on nomme réfléchies , 2° d'un troisième système d'ondes propagées dans le second milieu, et que l'on nomme réfractées. Car, en faisant abstraction de ces ondes réfléchies et réfractées, on ne pourrait satisfaire aux conditions relatives il la surface de séparation des deux milieux.

Nous avons montré dans le bulletin des sciences comment de la remarque précédeulc on peut déduire non seulement les loix de 1a réflexion et de la réfraction de la lumière, mais encore la détermination de la quantité de lumière polarisée ] réflexion et par réfraction sous une incidence donnée, !a loi de Brewstcr sur l'angle

de polarisai ion complette, el les formules Insérées par Fresnel dans le n* 17 des annales de physique et de chimie. Nous nous bonerons pour l'instant à déduire de la même remarque la loi de la réfraction, en admettant, comme l'expérience le prouve, que la réflexion ne change pas la nature de la couleur, et que l'angle d'incidence eat égal à l'angle de réflexion. '

Pour un seul des trois systèmes d'ondes incidentes, réfléchies, ou réfractées, lea déplacements £, r, ç, de la molécule lumineuse correspondante au point (.r, y, i) se trouveraient déterminés par des équations semblables aux formules (33) du § 3. Ajoutons que, dans le passage des ondes incidentes aux ondes réfléchies, les quantités s et T ne varieront point, ni même les quantités k, Q, l , puisque les premières dépendent uniquement de la couleur, les autres de la couleur et de la nature du milieu. Quant à l'angle d'incidence t, on devra le remplacer, lorsqu'on passera des ondes incidentes aux ondes réfléchies, par son supplément ■ — r, afin d'exprimer que lea deux angles d'incidence et de réflexion sont eganx entre eux; et par suite on deira dana ce cas changer seulement le signe de la première dea deux lignes Irigonoraétriqnes cobt, sinr-

Cela posé Boîent

t que deviennent les coefficients

a, 6, €. D land on passe du système des ondes incidentes au système des ondes réfléchies, et

», t\ *\ fl\ r, x, e\ r, &

ce que deviennent les quantités

quand on passe du système des ondes incidentes aux ondes réfractées. Si l'on considère à la fois les deux systèmes d'ondes propagées dans le premier milieu, on devra, pour ce milieu, remplacer les équations (33} du § 3 par les formules

§ = tint jicos(*( -rcoBT+jsûw)— «/).{- f} sin(£( jtcost +jfsim:) — **){ + sia r JâiCos(i'(-,rcosT+ i yaïnT v — *f) + 6,sin(Jr(-xco»T+ysinT) — **)[ ,

Ij =-co»r}ScoB(i( ^rcosr+jsinr) — s/) + C sin(£( -rcotT-fr-jsinr) — #f)J + costj^cos^-xcosx+jrsinr) — jO + Si*' n (H~- rcosT ~Ky R J M ) — **)[ ,

Ç = Ccos(Jt(.rcos*+ i yaiiw) — st) ■+■ D sin(i( jtcost +jf aint) — «f)j -*- C,co»(À(.jrco«+ysînT)— *t)+"B t tin(k(-jrCQtt+ya'uH) — **)[-

On trouvera au contraire pour le second milieu

!£= BiaT , j5l'c08(A'(^'coftt'+ i y6iiiï')-//) + ffl'8in(i'(jrco8»'+ i yilnï')-»V)J, jj=-cost' J^'cos(X'(.rco8T'+^sinT')-s'/)-t-6'sin(l'(jc08ï'+jiinï')-#'i)f, Ç = €'cos(k'(&cùarf+i/9]ni") — s'l) + Srsin(A-'(;rco8r'+,y B »»ï') — a'f),

D'ailleurs la surface de séparation des deux milieux, et des deux masses de fluide éthéré qui s'y trouvent comprises, coïncide, lorsque ces deux masses sont daus l'état naturel, avec le plan des y, z représenté par l'équation (3) * = ;

et, pour que ces deux masses restent continues l'une a l'autre pendant la durée du mouvement, ïl est nécessaire que la valeur de § relative à un instant donné, et à un point donné de la surface de séparation, ne soit point altérée, quand on passe

eu posant .r~(l, ou tire de la

de la première masse à la seconde. Enfin, première des équations (1)

(4) £ = sûiT}(3l-t-a,)coi(*s/BinT — «() + (« + «,) iia(*jiln»— w)j et de la première des équations (2)

(5) g — 8 in x ja* cos (k'y sin x — al) + fi' sin (*' y si» t'— *'*)[ , la condition que nous venons d'énoncer donnera

(6) , sin x |(A +a,) cos (fty sin x — «0 + (fi + »,) sin (*y sin «— «l)j

=: sin x \ A' cos (i't/ siux' — s*r) + fi' sin (k'g sin x 7 — «V)j ;

si toutefois l'on admelque l'on puisse sans erreur sensible ne pas tenir compte des légères modifications qnc peut apporter le voisinage du second milieu a la valeur de | déterminée par la première des équations (1), et le voisinage du premier milieu à la valeur de £ déterminée par la première des équations (2).

Observons maintenant que, l'équation (6) devant subsister indépendamment des valeurs attribuées aux variables y et f, les coefTicieuts des puissances semblables de y et de t devront être égaux dans les deux membres de celle équation développés en séries convergentes ordonnées suivant les puissances dont H s'agit- De cette seule considération Ton déduira immédiatement les formules

(7) (% + A,) sin t = a' sin x\ (fi + fi,) sin x = fi' sin x ,

(8) * sin t -à *' sin x , (9) » s i , auxquelles on parvient encore très iimplcmcnt de la manière suivante.

Si l'on pose y = et ( — 1° dans l'équation (6), 2° dans cette ™-W donation différentiel: une, deux ou trois fois de suite par rapport à /, on en tirera successivement

(31 + Si) sin t = X sin x%

* (0 + 0.) sin t = a' 6' sin ff,

a' (A + S,) sin t = a 1 A' sin i',

' a' (0 -H 10,) sin t = a'' 0' sin t 1 ,

Or la première des équations (10) jointe à la quatrième, et la seconde jointe A la troisième , entraîneront les formules (7) et l'éqnation

de laquelle on conclura, en extrayant les racines quarrées positives des dem membres.

Si l'on posait / — dans l'équation (6) diffcrentfée une, deux, on trois fois, non plus par rapport à I, mais par rapport a y, on obtiendrait trois nouvelles formules, qui jointes aux formules (10) entraîneraient non seulement les équations (7) et (9), mais encore l'équation (8). La seconde de ces nouvelles formules serait

(11) k sîn t (0 + 0.) sîn t = k sin % 0' sin i',

et en la combinant avec la seconde des formules (7) on obtiendrait immédiatement l'équation (8).

En vertu de l'équation (9), la quantité a, réciproquement proportion elle A la durée T des oscillations moléculaires du fluide ethéré, ne varie pas dans le passade d'un milieu à un autre, et par conséquent la réfraction ne change pas la nature de la conteur. Donc, si nn rayon de lumière rouge, après n'être propagé dans l'air, traverse un liquide tel que l'eau, il paraîtra rouge encore à un observateur dont l'oeil aérait plongé dans ce liquide. Quant à l'équation (8), elle donnera

sin t'

-in t

D'ailleurs, en nommant Si, iï les vitesses de propagation de la lumière dans le premier et le second milieu, on aura, en vertu de la formule (12) du §. 4,

et par suite

D«M réfMjM (12) M«rn

l!TC

riMfc ■

: JQ

Or la formule (15) montre que le rapport du tiatts tiaxHemct ea aiaata de réfraclion eit connUmmeat égal au rapport entre lea viteaaea de propaiatioai aie h l aaai etg daaa le premier el le fécond milieu. Celte canraaaiaai ae trectre, raaaaat tm m confirmée par teipérieaee. Car. ea faùaM nrier I angle d incidence pana- m rayas a" sac couleur donnée, qui tombe «rr U surface «Tua corps réfringent, m abtieat ta». Jour» le même rapport entre lea siaua des deux angle* d'incidence et de réfraction. Le rapport cotre lea sinus de l'angle «"iactdeace f et de l'angle 4e réfraction t eat ce qu'oa nomme t indice de réfraction. Si ion désigne cet indice par 9, «a aura ca «cria de la formule (13)

rJn t

et par tuhe

§. 6. applications numérique».

Lorsque dam un milieu transparent l'élasticité de l'élher reste la même en loua •eus, la durée T dea oscillations moléculaires du fluide éihéré se trouve liée à l'épaisseur l d'une onde plane par l'équation

(1) a* = a,f + a,** + a,i* + eW. ,

[rojea la formule (35) du §. t], dans laquelle on a

D'ailleurs, la slteise de propagation Si d'un rayon de lumière étant donnée par la formule

on itira encore (*)

fi' = s, + «,*' + a, t* +• etc.

Dans les seconds membres des équations (1) el (5), comme dans les séries, que renferment les formules (64), (65), (66) du §. 3, les coefficients

des puissances ascendantes de i décroissent Irtja rapidement, et la valeur générale de ■„ i déterminée par la formule

est une quantité' tres petite de l'ordre Un — i, dans le cas on la distance t* de dent molécules délher, assez rapprochées pour éïércer l'une sur l'autre une action sensible, est considérée comme très petite du premier ordre. Ajoutons que, si un rayon d'une couleur déterminée se réfracte en passant d'un premier milieu dans un second, la nature de la couleur et par suite chacune des quantités T, a, restera Invariable, tandis que les quantités

se changeront dans les suivante!

désignant l'indice de réfraction. Alors aussi les coefficients

obtiendront des valeurs différentes dans le premier et dans le second milieu.

Vu très habile observateur Frauenhofer a déduit d'cxpériei coup de soin les indices de réfraction pour sept rayons colorés, correspondants à certaines raïes que présente le spectre solaire, el déterminé les diverses valeurs que prennent ces mêmes indices lorsqu'on fait passer les sept rayons de l'air dans des prismes de verre ou de cristal remplis ou entièrement formés de diverses substances liquides ou solides. Les substances employées par Frauenhofer sont l'eau, une solution de potasse, l'huile de térébenthine, trois espèces de crowuglass, et quatre espèces do

flinlglasa. Ajoutons que deux séries d'expériences sont relatives a l'eau, et deux autres a la troisième espèce de flintglass. Le tableau suivant contient le résultat des expériences de Frauenhofer relatives aux sept rayons qu'il a désignes par les lettres B, C, D, E, F, G, H. Pour plus de commodité uous représenterons les valeurs de correspondantes à ces mêmes rayons par